วัตถุประสงค์ของการใช้ความเที่ยงตรงในการเปรียบเทียบแบบสุ่ม

บ่อยครั้งเมื่อเปรียบเทียบสองเมทริกซ์ความหนาแน่น $\rho$ และ $\sigma$ (เช่นเมื่อ $\rho$ เป็นการทดลองใช้ของอุดมคติ $\sigma$ ) ความใกล้ชิดของทั้งสองรัฐนี้ได้รับจากสถานะควอนตัมความจงรักภักดี

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$ กับการนอกใจกำหนดเป็น

1 - F

$1-F$ F

ในทำนองเดียวกันเมื่อเปรียบเทียบว่าการนำระบบเกตไปใช้งานใกล้เคียงกับรุ่นในอุดมคติได้อย่างไรความเที่ยงตรงจะกลายเป็น

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$ ที่

d ψ

$d\psi$ เป็นHaar วัดมากกว่ารัฐบริสุทธิ์ น่าแปลกใจที่สิ่งนี้สามารถทำให้เกิดความไม่พอใจในการทำงาน

ทีนี้เรามานิยามเมทริกซ์ $M = \rho - \sigma$ ในกรณีของเมทริกซ์ความหนาแน่นหรือ $M = U - \tilde U$ เมื่อทำงานกับประตู จากนั้น Schatten norms ¹เช่น $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ , $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$ หรือบรรทัดฐานอื่น ๆ เช่นบรรทัดฐานเพชรสามารถคำนวณได้

บรรทัดฐานเหล่านี้มักจะง่ายต่อการคำนวณ²มากกว่าความเที่ยงตรงด้านบน สิ่งที่ทำให้เรื่องแย่ลงคือในการคำนวณการเปรียบเทียบแบบสุ่ม ความไม่ซื่อสัตย์นั้นไม่ได้เป็นตัวชี้วัดที่ดีแต่เป็นตัวเลขที่ใช้ทุกครั้งที่ฉันเห็นเมื่อดูค่าการเปรียบเทียบสำหรับโปรเซสเซอร์ควอนตัม ³

ดังนั้นทำไม (ใน) ความถูกต้องค่า go-to สำหรับการคำนวณความผิดพลาดของประตูในโปรเซสเซอร์ควอนตัม (โดยใช้การเปรียบเทียบแบบสุ่ม) เมื่อมันดูเหมือนจะไม่มีความหมายที่เป็นประโยชน์และวิธีการอื่น ๆ เช่น Schatten norms บนคอมพิวเตอร์คลาสสิค?

^{1 Schatten p-norm ของคือ $M$ $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 คือเสียบแบบจำลองสัญญาณรบกวนบนคอมพิวเตอร์ (แบบดั้งเดิม) และจำลอง}

^{3 เช่นQMX5 ของ IBM}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Mithrandir24601
แหล่งที่มา

Nielsen และ Chuang ในหนังสือของพวกเขา "การคำนวณควอนตัมและข้อมูลควอนตัม" มีส่วน (บทที่ 9) เกี่ยวกับการวัดระยะทางสำหรับข้อมูลควอนตัม

น่าแปลกที่พวกเขาพูดในหัวข้อ 9.3 "ช่องควอนตัมเก็บข้อมูลได้ดีแค่ไหน" เมื่อเปรียบเทียบความเที่ยงตรงกับมาตรฐานการติดตาม:

การใช้คุณสมบัติของระยะการติดตามที่สร้างขึ้นในส่วนสุดท้ายนั้นไม่ใช่เรื่องยากส่วนใหญ่จะให้การพัฒนาแบบขนานตามระยะการติดตาม อย่างไรก็ตามมันกลับกลายเป็นว่าความถูกต้องเป็นเครื่องมือที่ง่ายกว่าในการคำนวณด้วยและด้วยเหตุนี้เราจึง จำกัด การพิจารณาตามความน่าเชื่อถือ

ฉันคิดว่านี่เป็นส่วนหนึ่งที่ใช้ความซื่อสัตย์ ดูเหมือนว่ามันค่อนข้างมีประโยชน์พอ ๆ กับการวัดระยะทางแบบคงที่

ดูเหมือนว่ายังมีการขยายความตรงไปตรงมาค่อนข้างมากต่อการตระการตาของรัฐ

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

ความน่าจะเป็นของการเตรียมระบบในสถานะและ $p_j$ $\rho_j$ $\mathcal{E}$ ช่องมีเสียงดังโดยเฉพาะอย่างยิ่งของดอกเบี้ย 1 $0\leq F\leq 1$

นอกจากนี้ยังมีส่วนขยายเพื่อความน่าเชื่อถือของสิ่งกีดขวางเพื่อวัดว่าช่องทางนั้นรักษาความยุ่งเหยิงได้ดีเพียงใด ที่กำหนดให้รัฐถือว่าเข้าไปพัวพันกับโลกภายนอกในบางวิธีและการทำให้บริสุทธิ์ของรัฐ (ระบบการโกหก ) เช่นว่าจะบริสุทธิ์ รัฐอยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงในช่องEจำนวนเฉพาะแสดงสถานะหลังจากการใช้งานของการดำเนินการควอนตัม คือแผนที่ตัวตนในระบบR $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

มีสูตรบางอย่างที่ได้มาเพื่อทำให้การคำนวณความเที่ยงตรงและความยุ่งเหยิงลดความซับซ้อนลงในบทนี้ด้วย

หนึ่งในคุณสมบัติที่น่าดึงดูดใจของความเที่ยงตรงของการพัวพันคือมีสูตรที่ง่ายมากซึ่งทำให้สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

ที่ 'องค์ประกอบการดำเนินงาน' ตอบสนองความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์ บางทีคนอื่นสามารถแสดงความคิดเห็นในการใช้งานจริงมากขึ้น แต่นี่คือสิ่งที่ฉันรวบรวมจากการอ่าน $E_i$

อัปเดต 1: Re M.Stern

มันเป็นการอ้างอิงเดียวกัน Nielsen และ Chuang พวกเขาแสดงความคิดเห็นโดยการพูดว่า "คุณอาจสงสัยว่าทำไมความเที่ยงตรงปรากฏบนด้านขวามือของคำจำกัดความกำลังสองมีสองคำตอบสำหรับคำถามนี้ง่าย ๆ และซับซ้อนหนึ่งคำตอบง่าย ๆ คือคำนี้รวมถึงคำนี้ทำให้ ชุดความจงรักภักดีตามธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับความน่าเชื่อถือพัวพันตามที่กำหนดไว้ด้านล่างคำตอบที่ซับซ้อนมากขึ้นคือข้อมูลควอนตัมคือในปัจจุบันในสถานะของวัยเด็กและมันก็ไม่ชัดเจนว่านิยามของ 'ถูกต้อง' สำหรับข้อมูลเช่น อย่างไรก็ตามดังที่เราจะได้เห็นในบทที่ 12 ความเที่ยงตรงเฉลี่ยทั้งมวลและความน่าเชื่อถืออันยุ่งเหยิงก่อให้เกิดทฤษฎีที่อุดมไปด้วยข้อมูลควอนตัมซึ่งทำให้เราเชื่อว่ามาตรการเหล่านี้อยู่ในแนวทางที่ถูกต้อง

ที่จะตอบคำถามที่สองของคุณเป็นไปทำไมไม่มองไปที่ความจงรักภักดีของ $\bar{\rho}$ มีจุดดีที่กล่าวถึงใน "มาตรการ Distinguishability ระหว่างตระการตาของรัฐควอนตัม" ซึ่งผมคิดว่าอยู่ใน PhysRevA แต่มีรุ่น arXiv ที่นี่

จุดที่พวกเขาพูดถึงในหน้า 4 คือสมมติว่าคุณมีสองตระการตาและที่เกิดขึ้นจะมีชุดเดียวเฉลี่ยความหนาแน่นของเมทริกซ์แล้วความจงรักภักดีไม่สามารถ แยกแยะระหว่างพวกเขา $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

อัปเดต 2: Re Mithrandir24601 ดังนั้นคำจำกัดความหนึ่งสำหรับ gate fidelity นั้นถูกกระตุ้นโดยการคิดว่าพฤติกรรมที่เลวร้ายที่สุดของ channel คืออะไรสำหรับสถานะอินพุตที่กำหนด $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

เนื่องจากความปรองดองในอาร์กิวเมนต์ทั้งสองคุณสามารถ จำกัด สถานะบริสุทธิ์ในการย่อขนาดนี้ความเท่ากันในส่วนที่สองเป็นเพียงสัญกรณ์

ในการกำหนดว่าเกตจะถูกนำไปใช้งานได้ดีเพียงใดสามารถดูได้เช่นกันในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในการติดตั้งเกทโดยช่อง โดยการกำหนด $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

ในสูตรที่คุณได้รับและกระดาษที่คุณได้เชื่อมโยงพวกเขารวมกว่ามีมาตรการที่เหมาะสม*นี่ทำให้ฉันคิดว่าสิ่งนี้ควรถูกมองว่าเป็นความซื่อสัตย์โดยเฉลี่ย $\psi$ $^*$ ซึ่งคุณสามารถจินตนาการได้ว่าอาจมีประโยชน์มากกว่าในการทดลองเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณทำการทดลองซ้ำ มันอาจไม่น่าจะบรรลุขั้นต่ำที่แน่นอน $\bar{F}(U,\tilde{U})$

มีกระดาษเวอร์ชัน arXiv ที่นี่โดย Michael Nielsen ซึ่งเขาพูดถึงความเที่ยงตรงของประตูโดยเฉลี่ย

ความแตกต่างพิเศษเพียงอย่างเดียวระหว่างความเที่ยงตรงสำหรับเกตและความเที่ยงตรงเฉลี่ยของเกตที่กล่าวถึงกับสูตรที่คุณให้ไว้ในตอนแรกคือจตุรัสของการติดตาม: คุณมี ในการอัพเดท 1บางคนชอบที่จะใช้เป็นความจงรักภักดีมากกว่าเพราะมันสามารถเชื่อมต่อได้ง่ายกว่าเพื่อความน่าเชื่อถือที่ยุ่งเหยิง ฉันจำเป็นต้องอ่านเพิ่มเติมเล็กน้อยเพื่อแสดงความคิดเห็นอย่างถูกต้อง $[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

( )นอกเหนือจาก: ฉันคิดว่าการเรียกว่า 'Haar measure' อาจทำให้เข้าใจผิดฉันได้เห็นมันในเอกสารเช่นกัน เท่าที่ผมรู้ว่าพื้นที่ของรัฐที่บริสุทธิ์โดยปกติจะเป็นทอพอโลยี , สำหรับพื้นที่ Hilbert มิติ เห็นได้ชัดว่ามาตรการที่พวกเขาใช้จะรับมาจากวัด Haar บนโดยความฉลาดหรือดังนั้นฉันได้อ่านที่นี่:/physics//a/98869/41998 $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— snulty
แหล่งที่มา

ที่ให้คำอธิบายที่สมเหตุสมผลว่าทำไมมันอาจมีประโยชน์สำหรับรัฐและบิตเกี่ยวกับความน่าเชื่อถือพัวพันน่าสนใจแน่นอน อย่างไรก็ตามปัญหาที่ฉันได้รับคือ (ตามเอกสารนี้ ) ว่าการทำสิ่งเดียวกันกับประตูก็ไม่ได้ผลเหมือนกัน (เว้นแต่ฉันจะทำอย่างอื่นหายไป)

— Mithrandir24601

คุณสามารถอ้างอิงความเที่ยงตรงของวงดนตรีที่คุณพูดถึงได้หรือไม่? ทำไมจึงแตกต่างจากความน่าเชื่อถือของสถานะผสม

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$

— เอ็มสเติร์น

@ M.Stern ฉันได้ย้ายความคิดเห็นของฉันไปยังการอัปเดต

— snulty

@ Mithrandir24601 ขออภัยที่ตอบช้าฉันพยายามหาเวลาอ่านบทความที่คุณเชื่อมโยงและเวลาเขียนคำตอบ! ดูอัปเดต 2

— snulty

ส่วนของคุณคุณถูกต้อง - ฉันแค่เป็นนักฟิสิกส์ขี้เกียจ มันคือ (ถึงความรู้ของฉัน) การวัด Haar แต่การเรียกมันว่า 'Haar measure over states' คือใช่ไม่ใช่คำสั่งที่แม่นยำที่สุดทางเทคนิคเท่าที่เคยมีมา ...

— Mithrandir24601