oracle ในอัลกอริทึมการค้นหาของโกรเวอร์มีการใช้งานอย่างไร

อัลกอริธึมการค้นหาของโกรเวอร์ให้ความเร็วในการหากำลังสองที่พิสูจน์ได้สำหรับการค้นหาฐานข้อมูลที่ไม่เรียงลำดับ อัลกอริทึมจะแสดงโดยวงจรควอนตัมต่อไปนี้:

ในการแสดงมากที่สุดเป็นส่วนสำคัญของโปรโตคอลเป็น "ประตู oracle"ซึ่ง "อย่างน่าอัศจรรย์" ประสิทธิภาพการดำเนินงาน|อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่มีคนพูดว่าความยากลำบากที่จะรู้ว่าประตูดังกล่าวเป็นอย่างไร ที่จริงแล้วอาจดูเหมือนว่าการใช้ "oracle" นี้เป็นเพียงวิธีการกวาดล้างความยากลำบากใต้พรม $U_\omega$ $|x\rangle\mapsto(-1)^{f(x)}|x\rangle$

เราจะรู้ได้อย่างไรว่าการดำเนินการดั้งเดิมนั้นเกิดขึ้นจริงหรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นความซับซ้อนของมัน (เช่นในแง่ของความซับซ้อนของการสลายตัวของประตู) คืออะไร?

complexity-theory circuit-construction algorithm

— แอลเอส
แหล่งที่มา

นั่นคือสิ่งที่ฉันสงสัยด้วย ในการทดลองเช่นนี้พวกเขานำวิธีแก้ปัญหาไปสู่ oracle ซึ่งมีรสชาติคล้ายกับการโกงกับฉัน ...

— M. Stern

คำตอบที่ดีสำหรับคำถามนี้มีอยู่ในคำตอบนี้ใน CS Theory SE

— glS

คำตอบ:

ฟังก์ชั่นเป็นเพียงฟังก์ชั่นบูลโดยพลการของสตริงบิต:\} สำหรับแอปพลิเคชันที่จะทำลายการเข้ารหัสเช่น[1] , [2] , หรือ[3]นี่ไม่ใช่การค้นหาฐานข้อมูลจริง ๆ ซึ่งจะทำให้การจัดเก็บฐานข้อมูลทั้งหมดเป็นวงจรควอนตัม แต่อย่างใด แต่เป็นหน้าที่เช่น $f$ $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

x \mapsto {\begin{cases} 1, & if S H A - 256 (x) = y; \\ 0, & otherwise, \end{cases}

$\begin{equation*} x \mapsto \begin{cases} 1, & \text{if $\operatorname{SHA-256}(x) = y$;} \\ 0, & \text{otherwise,} \end{cases} \end{equation*}$

สำหรับ fixedซึ่งไม่มีโครงสร้างเราสามารถใช้ประโยชน์จากการค้นหาแบบคลาสสิกซึ่งแตกต่างจากการพูดฟังก์ชั่น $y$

x \mapsto {\begin{cases} 1, & if 2^{x} \equiv y (\mod 2^{2048} - 1942289), \\ 0, & otherwise, \end{cases}

$\begin{equation*} x \mapsto \begin{cases} 1, & \text{if $2^x \equiv y \pmod{2^{2048} - 1942289}$}, \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases} \end{equation*}$

ซึ่งมีโครงสร้างที่สามารถเอาเปรียบเพื่อพลิกกลับเร็วขึ้นแม้ในคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม

คำถามโดยเฉพาะค่าใช้จ่ายที่ไม่สามารถตอบได้ในทั่วไปเพราะสามารถใด ๆ วงจรมันเป็นเพียงเรื่องของการทำวงจรควอนตัมออกจากวงจรคลาสสิก แต่โดยปกติตามตัวอย่างข้างต้นฟังก์ชันมีราคาถูกมากในการประเมินบนคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมดังนั้นจึงไม่ควรสร้างภาระที่หนักหน่วงในคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่ทุกอย่างเกี่ยวกับอัลกอริทึมของ Grover อยู่ในงบประมาณของคุณ $f$ $f$

ค่าใช้จ่ายทั่วไปเพียงอย่างเดียวที่ด้านบนของเป็นเงื่อนไขพิเศษไม่ใช่เกทโดยที่คือ xor และส่วนเสริมพิเศษสำหรับมัน หากเรามีวงจรสร้างขึ้นจากและวงจรสำหรับจากนั้นถ้าเราใช้กับร่วมกับ qubit เสริมในตอนแรกในรัฐโดยที่ $f$

C : | a ⟩ | b ⟩ \to | a ⟩ | a \oplus b ⟩

$C\colon \left|a\right> \left|b\right> \to \left|a\right> \left|a \oplus b\right>$

\oplus

$\oplus$

F : | x ⟩ | a ⟩ | junk ⟩ \mapsto | x ⟩ | a \oplus f (x) ⟩ | {junk}^{'} ⟩

$F\colon \left|x\right> \left|a\right> \lvert\text{junk}\rangle \mapsto \left|x\right> \left|a \oplus f(x)\right> \lvert\text{junk}'\rangle$

C

$C$

f

$f$

| x ⟩

$\left|x\right>$

| - ⟩ = H | 1 ⟩ = (1 / \sqrt{2}) (| 0 ⟩ - | 1 ⟩)

$\left|-\right> = H\left|1\right> = (1/\sqrt{2})(\left|0\right> - \left|1\right>)$

H

$H$ เป็นประตู Hadamard จากนั้นเราจะได้รับ

\begin{aligned} F | x ⟩ | - ⟩ | junk ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (F | x ⟩ | 0 ⟩ | junk ⟩ - F | x ⟩ | 1 ⟩ | junk ⟩) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| x ⟩ | f (x) ⟩ | {junk}^{'} ⟩ - | x ⟩ | 1 \oplus f (x) ⟩ | {junk}^{'} ⟩) . \end{aligned}

$\begin{align*} F\left|x\right> \left|-\right> \lvert\text{junk}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl( F\left|x\right> \left|0\right> \lvert\text{junk}\rangle - F\left|x\right> \left|1\right> \lvert\text{junk}\rangle \bigr) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl( \left|x\right> \left|f(x)\right> \lvert\text{junk}'\rangle - \left|x\right> \left|1 \oplus f(x)\right> \lvert\text{junk}'\rangle \bigr). \end{align*}$

ถ้าดังนั้นดังนั้นการทำให้ง่ายขึ้นเราจะได้ที่จากนั้นดังนั้นและโดยทั่วไป $f(x) = 0$ $1 \oplus f(x) = 1$

F | x ⟩ | - ⟩ | junk ⟩ = | x ⟩ | - ⟩ | {junk}^{'} ⟩,

$F\left|x\right> \left|-\right> \lvert\text{junk}\rangle = \left|x\right> \left|-\right> \lvert\text{junk}'\rangle,$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

1 \oplus f (x) = 0

$1 \oplus f(x) = 0$

F | x ⟩ | - ⟩ | junk ⟩ = - | x ⟩ | - ⟩ | {junk}^{'} ⟩,

$F\left|x\right> \left|-\right> \lvert\text{junk}\rangle = -\left|x\right> \left|-\right> \lvert\text{junk}'\rangle,$

F | x ⟩ | - ⟩ | junk ⟩ = (- 1)^{f (x)} | x ⟩ | - ⟩ | {junk}^{'} ⟩ .

$F\left|x\right> \left|-\right> \lvert\text{junk}\rangle = (-1)^{f(x)} \left|x\right> \left|-\right> \lvert\text{junk}'\rangle.$

— Squeamish Ossifrage
แหล่งที่มา

กระดาษต้นฉบับของโกรเวอร์ "กลศาสตร์ควอนตัมช่วยในการค้นหาเข็มในกองหญ้า" ระบุไว้อย่างชัดเจนมันสันนิษฐานว่า C (S) สามารถประเมินได้ในเวลาที่แน่นอน การค้นหาของ Grover ไม่ได้กังวลเกี่ยวกับความสามารถในการใช้งาน แต่การลดพหุนามในสิ่งที่เรียกว่าความซับซ้อนของแบบสอบถาม (กี่ครั้งที่คุณปรึกษา oracle เช่นฐานข้อมูลแบบดั้งเดิม)

อันที่จริงแนวคิดเรื่องoracleในการคำนวณถูกนำเสนอโดยAlan Turingเพื่ออธิบายโครงสร้างที่คำอธิบายเกี่ยวกับ UTM อาจไม่สามารถใช้งานได้จริง (Wikipedia) มันมีความหมายบางอย่างที่มีมนต์ขลัง

แต่แน่นอนกลับมาที่คำถามของคุณเราจะสร้างวงจรสำหรับการค้นหา Grover (หรืออัลกอริทึมใด ๆ ) ได้อย่างไร เราจำเป็นต้องรู้คำตอบล่วงหน้าเพื่อค้นหาผลลัพธ์หรือไม่? ในแง่หนึ่งคุณต้องทำ นั่นคือสิ่งที่การปรับปรุงอย่างชาญฉลาดในการค้นหา Grover พยายามทำงานเช่นนั้นเราไม่จำเป็นต้องรู้คำตอบที่แน่นอนล่วงหน้า แต่คุณสมบัติบางอย่างของมัน ขอยกตัวอย่างด้วย

สำหรับปัญหาการจดจำรูปแบบโดยใช้การค้นหาของ Grover หากฉันมี 4 รูปแบบใน 2 qubits (00, 01, 10, 11) และฉันต้องการทำเครื่องหมายและขยาย 11 เส้นทแยงมุมของ oracle ของฉันควรจะรวมกัน (1,1,1 -1) เพื่อดูแลการเปลี่ยนเฟส pi สำหรับการแก้ปัญหา ดังนั้นเพื่อให้ง่ายต่อการติดตั้งคุณต้องรู้คำตอบทั้งหมดก่อนล่วงหน้า

การปรับปรุงที่สมบูรณ์ของรูปแบบที่สมบูรณ์หากได้รับในกระดาษ "การจับคู่รูปแบบควอนตัม" โดย Mateas และ Omar ในสาระสำคัญมันสร้าง oracles คงที่มากเท่าที่มีตัวอักษรในชุด ดังนั้นสำหรับสตริงไบนารีของเราจะมี oracle ที่ทำเครื่องหมาย 1s ทั้งหมดและอีกอันที่ทำเครื่องหมาย 0s ทั้งหมด ออราเคิลถูกเรียกตามเงื่อนไขโดยขึ้นอยู่กับสิ่งที่ฉันต้องการค้นหา ถ้าฉันต้องการค้นหา 11 ฉันเรียก oracle 1 บน LSqubit และ oracle 1 อีกครั้งบน MSqubit โดย oracle แรกฉันจะขยายสถานะ (01, 11), คือสถานะที่มี LSQ เป็น 1 และในการเรียกครั้งที่ 2 มันจะขยาย (10, 11) อย่างที่คุณเห็น 11 เป็นรัฐเดียวที่ได้รับการขยายสองเท่าสิ้นสุดในความน่าจะเป็นในการวัดที่สูงขึ้น แม้ว่าวงจรควอนตัมที่คอมไพล์จะเปลี่ยนไปตามรูปแบบการค้นหาอินพุตของฉัน คำอธิบายระดับสูงของอัลกอริทึมควอนตัมยังคงเหมือนเดิม คุณสามารถนึกว่า oracles เป็นการเรียกใช้ฟังก์ชันตามกรณีสวิตช์ของชุดตัวอักษรที่เรียกใช้สำหรับอักขระแต่ละตัวในสตริงการค้นหา

— Aritra
แหล่งที่มา