อะไรคือความแตกต่างระหว่างระบบ qudit ที่มี d = 4 และระบบสองบิต

ผมเข้าใจว่า qudit เป็นควอนตัมระบบ -state ถ้าd = 4นี่เป็นสิ่งเดียวกันกับระบบสองควิบิตซึ่งแสดงสถานะควอนตัม4รัฐด้วยหรือไม่ พื้นที่ของฮิลแบร์ตนั้นเหมือนกันใช่มั้ย มีความแตกต่างทางทฤษฎีหรือการปฏิบัติบ้างไหม?$d$$d=4$$4$

สำหรับ qubits เรามักจะยึดผู้ปฏิบัติงานของเราทั้งหมดบนเมทริกซ์ Pauli ชุดเกทพื้นฐานของเราประกอบด้วยเมทริกซ์ Pauli เอง, Clifford gates เช่นและSที่แมประหว่างเมทริกซ์ Pauli, การควบคุมการทำงานเช่น CNOT ที่ใช้ Pauli ในหนึ่ง qubit ขึ้นอยู่กับ Pauli eigenstate ของอื่น ๆ เป็นต้น$H$$S$

สำหรับท่านใดที่มีขนาดใหญ่ระบบควอนตัมมิติเราต้องไปหาชุดพื้นฐานของผู้ประกอบการที่จะเล่นบทบาทเดียวกัน$d$

วิธีการหนึ่งคือพูดถึงเมทริกซ์ของ Pauli เราเลือกกลุ่มที่มีคำสั่งและกำหนดโอเปอเรเตอร์ในกลุ่มนั้น นี่คือข้อความของฉันถึงวิธีการทำเช่นนี้ถึงแม้ว่ามันจะเน้นไปที่การวางโค้ดโคลงทั่วไป$d$

$1/2$

ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดพื้นที่ของฮิลแบร์ตนั้นมีความเหมือนกันและมีความเป็นสากลที่ยึดถือสิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งเดียวกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือชุดเกตพื้นฐานของเรา ดังนั้นจำนวนประตูที่จำเป็นสำหรับงานที่กำหนดอาจมีความแตกต่างในแง่ของค่าคงที่และค่าสัมประสิทธิ์ และคณิตศาสตร์อาจดีกว่าอันอื่น แต่ความซับซ้อนจะเหมือนกัน

$\phi : \; \; (\mathbb{C}^2)^{\otimes 2} \simeq \mathbb{C}^4$$\sigma_z \otimes 1$$\phi$

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างระบบทั้งสองชนิดคือระบบสองควิบิตสามารถอยู่ในสภาพที่ยุ่งเหยิงได้จริง ในทางกลับกันระบบมิติเดียว d = 4 ไม่มีสิ่งกีดขวางเนื่องจากสิ่งกีดขวางนั้นมักถูกกำหนดด้วยความเคารพมากกว่าหนึ่งฝ่าย ดังนั้นสำหรับวัตถุประสงค์ของโปรโตคอลควอนตัมที่ใช้ประโยชน์จากความยุ่งเหยิงเป็นทรัพยากรระบบสองควิบิตและระบบควอนตัม 4 มิติเดียวนั้นแตกต่างกันมาก

นอกจากนี้ยังมีความแตกต่างถ้าคุณพิจารณาการทดลองหรือการใช้งาน เพื่อให้เป็น qubit ทางกายภาพฉันต้องใช้ระบบควอนตัมสองระดับ Qudits กว่าต้องการระบบควอนตัมที่ซับซ้อนมากขึ้นเช่นที่มีสี่ระดับสำหรับ ad = 4 qudit เหตุผลทางวิศวกรรมสำหรับการใช้ระบบที่ซับซ้อนมากขึ้นคือคุณต้องการระบบสี่ระดับน้อยกว่า

ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่าง " คู่ของ qubits " และ " สี่มิติ qudit " เดียวคือเมื่อคุณพูดว่าคุณมี " สอง qubits " คุณจะต้องตั้งสมมติฐานบางอย่างเกี่ยวกับประเภทของการดำเนินงานที่คุณสามารถทำได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเหมาะสมที่จะพูดถึงสอง qubits หากพวกเขาสามารถได้รับการปฏิบัติเป็นสองระบบที่แตกต่างกันหรือในคำอื่น ๆ ถ้ามันเป็นไปได้ที่จะดำเนินการเฉพาะกับพวกเขา ในทำนองเดียวกันชนิดของการดำเนินการที่เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าสามารถดำเนินการกับสอง qubits นั้นแตกต่างจากการดำเนินการบน qudits

จากมุมมองของภาคปฏิบัติความแตกต่างคือมีแนวโน้มที่จะพิจารณาการดำเนินการที่แตกต่างกันว่า "ง่าย" เมื่อพูดถึงชุดของ qubits มากกว่า (ชุด) qudits