ทำไมจึงเป็นสิ่งสำคัญที่ผู้เริ่มต้นมิลโตเนียนไม่ต้องเดินทางไปกับมิลโตเนียนขั้นสุดท้ายในการคำนวณควอนตัมอะเดียแบติก?

ผมเคยอ่านในหลายแหล่งและหนังสือเกี่ยวกับควอนตัมวณอะเดียแบติก (AQC) ว่ามันเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการเริ่มต้นมิล Hฉันจะไม่ได้เดินทางด้วยสุดท้ายมิลHฉเช่น[ Hฉัน , Hฉ] ≠ 0 . แต่ฉันไม่เคยเห็นเหตุผลว่าทำไมจึงสำคัญ$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

ถ้าเราคิดการพึ่งพาอาศัยเส้นเวลามิลโตเนียนของ AQC เป็น H ( T ) = ( 1 - เสื้อ

ดังนั้นคำถามของฉันคือ: ทำไมจึงเป็นสิ่งสำคัญที่มิลโตเนียนเริ่มต้นไม่เดินทางกับมิลโตเนียนรอบสุดท้าย?

ใน adiabatic QC คุณเข้ารหัสปัญหาของคุณใน Hamiltonian เพื่อให้ผลลัพธ์ของคุณสามารถสกัดจากสถานะพื้น การเตรียมสถานะพื้นนั้นยากที่จะทำโดยตรงดังนั้นคุณจึงควรเตรียมสถานะพื้นของมิลโตเนียนที่ 'ง่าย' แทนแล้วค่อยๆสอดแทรกระหว่างทั้งสองอย่างช้าๆ หากคุณไปช้าพอสถานะของระบบของคุณจะยังคงอยู่ในสภาพพื้นดิน ในตอนท้ายของกระบวนการคุณจะมีทางออก

งานนี้เป็นไปตามทฤษฎีอะเดียแบติกทฤษฎีบทสำหรับทฤษฎีบทที่จะต้องมีช่องว่างพลังงานระหว่างสภาพพื้นดินและรัฐตื่นเต้นครั้งแรก ช่องว่างที่เล็กลงจะยิ่งช้าลงคุณต้องทำการสอดแทรกเพื่อป้องกันการผสมระหว่างสถานะกราวด์กับสถานะตื่นเต้นครั้งแรก หากปิดช่องว่างการผสมดังกล่าวจะไม่สามารถป้องกันได้และคุณจะไม่ช้าพอ กระบวนการนี้ล้มเหลว ณ จุดนั้น

หากการเดินทางครั้งแรกและครั้งสุดท้ายของแฮมิลตันหมายความว่าพวกเขามีพลังงานที่เหมือนกัน ดังนั้นพวกเขาจึงเห็นด้วยกับการที่รัฐได้รับพลังงานที่ได้รับมอบหมายและไม่เห็นด้วยกับพลังงานที่พวกเขาได้รับ การสอดแทรกระหว่างสองมิลโตเนียนเพียงแค่เปลี่ยนพลังงาน รัฐภาคพื้นขั้นสุดท้ายจึงเป็นรัฐที่น่าตื่นเต้นในตอนเริ่มต้นและสภาพพื้นดินดั้งเดิมจะตื่นเต้นในตอนท้าย เมื่อถึงจุดหนึ่งเมื่อผ่านกันและกันพลังงานของรัฐเหล่านี้จะเท่ากันดังนั้นช่องว่างระหว่างพวกเขาจึงปิด เพียงพอที่จะเห็นว่าช่องว่างพลังงานต้องปิดในบางจุด

การมีผู้ที่ไม่เดินทางมิลโตเนียนจึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นในการเปิดช่องว่างและสำหรับ AQC

ถ้าสองเมทริกซ์ (ในกรณีนี้มิลโตเนียนส์) เดินทางพวกเขามีไอเกนเดียวกัน ดังนั้นถ้าคุณเตรียมสถานะพื้นฐานของแฮมิลตันคนแรกนั่นจะ (พูดคร่าวๆ) ว่าจะยังคงเป็นไอเก็นสเตทตลอดช่วงวิวัฒนาการอะเดียแบติกทั้งหมดและคุณจะได้สิ่งที่คุณใส่ออกไม่มีค่าอะไรเลย

หากคุณต้องการเข้มงวดมากกว่านี้เล็กน้อยอาจเป็นไปได้ว่ามิลโตเนียนเริ่มต้นของคุณมีความเสื่อมซึ่งถูกยกขึ้นโดยมิลโตเนียนครั้งที่สองและคุณอาจหวังที่จะทำให้ระบบวิวัฒนาการไปสู่สภาพพื้นดินที่ไม่เหมือนใคร อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าความเสื่อมนั้นยกขึ้นทันทีมีจำนวนมิลโตเนียนที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนสอง ไม่ว่าเอฟเฟ็กต์ใด ๆ ที่มันจะมีผลทันที ฉันเชื่อว่าคุณไม่ได้รับอะเดียแบติกที่เหมาะสม แต่คุณต้องเขียนสถานะเริ่มต้นของคุณในฐานะการทับซ้อนของ eigenstates ใหม่และการเริ่มต้นเหล่านี้จะพัฒนาไปตามกาลเวลา แต่คุณจะไม่เพิ่มการทับซ้อนของรัฐของคุณด้วยสถานะเป้าหมาย (สถานะกราวด์)

ในบริบทของการเพิ่มประสิทธิภาพการเป็นไอซิงซึ่งมีมิลโตเนี่ยนเริ่มต้นที่เดินทางด้วยปัญหามิลโตเนียนหมายถึงว่ามันเป็นผลิตภัณฑ์หลักของตัวดำเนินการซึ่งหมายความว่า eigenstates นั้นเป็นบิตคลาสสิก ดังนั้น groundstate ที่จุดเริ่มต้น ( t = 0) จะเป็นแบบคลาสสิกเช่นกันไม่ใช่การทับซ้อนของ bitstrings ที่เป็นไปได้ทั้งหมด$\sigma^Z$$t$

ยิ่งไปกว่านั้นแม้จะอยู่เหนือขอบเขตอันเข้มงวดของ AQC (เช่นการเปิดระบบควอนตัมควอนตัม, QAOA เป็นต้น) หากผู้ขับขี่ขับรถมิลโตเนียนเปลี่ยนเส้นทางแล้วมันไม่สามารถชักนำให้เกิดการเปลี่ยนผ่านระหว่าง eigenstates ของปัญหามิลโตเนียน ; และคุณต้องการไดรเวอร์ที่สามารถชักนำให้เกิดการหมุนเพื่อสำรวจพื้นที่การค้นหา

เริ่มต้น Let 's ด้วยตัวอย่างง่ายๆที่และH ฉเดินทางเพราะพวกเขามีทั้งเส้นทแยงมุม:$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

นี้จะได้รับและอธิบายใน Eq 2 ของTanburn และคณะ (2015)

• $\epsilon = 0.1$
• $||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

ดังนั้นทฤษฎีบทอะเดียแบติกยังคงใช้อยู่ แต่เมื่อกล่าวว่ามิลโตเนียนต้องเปลี่ยน "ช้าพอ" มันกลับกลายเป็นว่าต้องเปลี่ยน "อนันต์ช้า" ซึ่งหมายความว่าคุณจะไม่ได้รับคำตอบโดยใช้ AQC