อัลกอริทึมการค้นหาของ Grover มีแอปพลิเคชันใด

อัลกอริทึมการค้นหาของโกรเวอร์มักพูดถึงในแง่ของการค้นหารายการที่ทำเครื่องหมายไว้ในฐานข้อมูลที่ไม่เรียงลำดับ นี่เป็นพิธีการทางธรรมชาติที่อนุญาตให้นำไปใช้โดยตรงกับการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา NP (ซึ่งเป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ดีจำได้ง่าย)

ฉันสนใจที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับแอปพลิเคชั่นอื่น ๆ ของการค้นหาของโกรเวอร์เพื่อค้นหาค่าต่ำสุดค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานของตัวเลข ทำให้ฉันสงสัยว่ามีแอปพลิเคชั่นอื่นที่ไม่ค่อยชัดเจนในการค้นหาของ Grover (หรือแอปพลิเคชันของการสรุปทั่วไปเช่นแอมพลิจูดแอมพลิจูด) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันแล้วหรือไม่ ความเข้าใจสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีการทำสิ่งนี้จะได้รับการชื่นชม

นอกเหนือจากคนที่คุณกล่าวถึงโปรแกรมอื่นของ (แก้ไข) อัลกอริทึมของโกรเวอร์ซึ่งฉันรู้คือการแก้ปัญหาการปะทะกันในทฤษฎีความซับซ้อนของควอนตัมคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์คำนวณ มันเรียกว่าอัลกอริทึมบาท

บทนำ :

ปัญหาการชนกันส่วนใหญ่มักอ้างถึงรุ่น2 ต่อ 1ซึ่งอธิบายโดย Scott Aaronson ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา ระบุว่าคือแม้และฟังก์ชั่นF : { 1 , . . , n } → { 1 , . . , n }เรารู้ล่วงหน้าว่าfเป็น 1 ต่อ 1 หรือ 2 ต่อ 1 เราได้รับอนุญาตให้ทำการสอบถามเกี่ยวกับค่าของf ( i )สำหรับi ∈ { 1 , 2 $n$$f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$$f$$f(i)$ } จากนั้นปัญหาจะถามว่ามีคำถามจำนวนเท่าใดที่เราต้องพิจารณาเพื่อให้แน่ใจว่า fเป็น 1 ต่อ 1 หรือ 2 ต่อ 1$i\in\{1,2,...,n\}$$f$

การแก้ไขรุ่น 2 ต่อ 1 ต้องกำหนดอย่างแน่นอนต้องใช้แบบสอบถามและโดยทั่วไปแล้วฟังก์ชั่น r-to-1 ที่แตกต่างจากฟังก์ชั่น 1 ต่อ 1 ต้องใช้n $n/2+1$คำสั่ง$n/r+1$

วิธีการแก้ปัญหาแบบคลาสสิกที่กำหนด :

นี่เป็นแอปพลิเคชันที่ตรงไปตรงมาของหลักการของช่องพิราบ: หากฟังก์ชั่นคือ r-to-1, หลังจากนั้นหลังจากการค้นหาเรารับประกันว่าจะพบการชนกัน หากฟังก์ชั่นเป็น 1 ต่อ 1 แสดงว่าไม่มีการชนกัน หากเราโชคไม่ดีการค้นหาด้วยn / rสามารถส่งคืนคำตอบที่ชัดเจนได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาn / r + $n/r+1$$n/r$$n/r+1$

โซลูชันคลาสสิกแบบสุ่ม :

หากเราอนุญาตให้สุ่มปัญหาได้ง่ายขึ้น โดยวันเกิดที่ผิดธรรมดาถ้าเราเลือก (แตกต่าง) แบบสอบถามแบบสุ่มจากนั้นมีความน่าจะเป็นสูงที่เราจะพบการชนกันในฟังก์ชัน 2 ต่อ 1 คงที่หลังจาก ข้อความค้นหา$\Theta(\sqrt{n})$

ควอนตัมโซลูชั่น BHT :

โดยสังหรณ์ใจอัลกอริทึมรวมการเร่งความเร็วรากที่สองจาก ความขัดแย้งวันเกิด โดยใช้การสุ่ม (คลาสสิก) กับการเร่งความเร็วรากที่สองจากอัลกอริทึมของโกรเวอร์ (ควอนตัม)

ครั้งแรกปัจจัยการผลิตที่จะฉได้รับการคัดเลือกโดยการสุ่มและฉสอบถามที่ทั้งหมดของพวกเขา หากมีการขัดแย้งกันระหว่างอินพุตเหล่านี้เราจะส่งคืนคู่การชนของอินพุต มิฉะนั้นปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมด map กับค่าที่แตกต่างกันโดยฉ จากนั้นอัลกอริทึมของ Grover จะใช้ในการค้นหาอินพุตใหม่ไปยังfที่ collides เนื่องจากมีเพียง n 2 / 3ปัจจัยการผลิตดังกล่าวเพื่อฉอัลกอริทึมของโกรเวอร์สามารถหาหนึ่ง (ถ้ามี) โดยการทำเพียง O ( $n^{1/3}$$f$$f$$f$$f$$n^{2/3}$$f$$\mathcal{O}(\sqrt{n^{2/3}})=\mathcal{O}(n^{1/3})$$f$

แหล่งที่มา:

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Collision_problem

2. https://en.wikipedia.org/wiki/BHT_algorithm

3. อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับปัญหาการชน - Gilles Brassard, Peter Hoyer, Alain Tapp

อัลกอริธึมของ Grover มีการใช้อย่างกว้างขวางในการเข้ารหัสควอนตัมเช่นกัน มันสามารถใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ เช่นปัญหาลอการิทึมยอดเยี่ยมปัญหาการค้นหารูตพหุนาม ฯลฯ

อัลกอริทึมของ Grover สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลขใด ๆ ได้เร็วกว่าการค้นหาแบบ brute-force เนื่องจากปัญหาการปรับให้เหมาะสมสามารถกำหนดเป็นปัญหาการค้นหาได้ $M$ ภายในการวิ่งแต่ละครั้งและคุณทำซ้ำเพื่อหาจำนวนลอการิทึมของการวิ่งโดยใช้การค้นหาแบบไบนารีเพื่อกลับบ้านไปสู่สิ่งที่ดีที่สุด $M$): https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/040605072?journalCode=sjope8

ในความเป็นจริงอัลกอริทึมของโกรเวอร์เป็นที่รู้จักกันดีขั้นตอนวิธีการควอนตัมสำหรับหลาย ๆ ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพยาก (เช่นคน NP-สมบูรณ์) ที่ไม่ได้มีโครงสร้างที่เป็นมากคล้อยตามขั้นตอนวิธีฉลาดคลาสสิกกว่าการค้นหาแรงเดรัจฉาน: https: // link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-78773-0_67