ทำไมประตูควอนตัมจึงรวมกันและไม่รวมกันเป็นพิเศษ

11

ระบุว่าขั้นตอนทั่วโลกของรัฐไม่สามารถมองเห็นได้ทางร่างกายทำไมวงจรควอนตัมจึงถูกใช้เป็นหน่วยและไม่ใช่หน่วยพิเศษ? หนึ่งคำตอบที่ฉันได้รับคือมันสะดวกสบาย แต่ฉันก็ยังไม่แน่ใจ

คำถามที่เกี่ยวข้องคือ: มีความแตกต่างในการดำเนินงานทางกายภาพของรวมกัน(เมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์) และพูดในแง่ของประตูประถมหรือไม่? สมมติว่าไม่มี (ซึ่งเป็นความเข้าใจของฉัน) จากนั้นการใช้งานทางกายภาพของและควรจะเหมือนกัน (เพียงเพิ่มการควบคุมไปที่ประตูประถม) แต่จากนั้นฉันก็เถียงว่าและของหน่วยสองหน่วยนี้อาจไม่เท่ากับเฟส (เป็นเมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์) ดังนั้นจึงน่าจะเป็นไปได้ . $U$ $V: =e^{i\alpha}U$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$

ฉันทำอะไรผิดในการให้เหตุผลของฉันที่นี่เพราะมันชี้ให้เห็นว่าตอนนี้และจะต้องดำเนินการแตกต่างกันถึงแม้ว่าพวกเขาจะเทียบเท่ากับขั้นตอน? $U$ $V$

อีกคำถามที่เกี่ยวข้อง (อันที่จริงที่มาของความสับสนของฉันฉันจะขอบคุณสำหรับคำตอบนี้): ดูเหมือนว่าเราสามารถใช้วงจรควอนตัมเพื่อประเมินทั้งโมดูลัสและเฟสของการทับซ้อนที่ซับซ้อน (ดูhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ) แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าอีกครั้งว่าและแตกต่างกันอย่างมาก $\langle\psi|U|\psi\rangle$ $U$ $e^{i\alpha}U$

quantum-gate unitarity

— DCW
แหล่งที่มา

มันมีความถูกต้องทางปรัชญามากกว่าที่จะบอกว่ากลุ่มเป็นโปรเจคทีรวมกันแทน นั่นเป็นเพราะการดำเนินการคือการใช้เมทริกซ์รวมพลและสูญเสียเฟส VS เซตที่ขั้นตอนที่เป็น1แผนที่จะไปเพื่อให้พวกเขาอยู่ฝั่งตรงข้ามของลูกศร

P U

$PU$

1

$1$

S U \to U \to P U

$SU \to U \to PU$

— AHusain

@AHusain "แผนที่" คืออะไร? ในแง่ของการ quotienting ออกก็จะไปPU

U \to S U \to P U

$U\to SU\to PU$

— Norbert Schuch

ไม่ SU เป็นเซตย่อยที่มีดีเทอร์มิแนนต์ 1 ดังนั้นมันจะรวมกับแผนที่ลงใน U. PU คือการหารออกมา คุณสามารถนำโปรเจคทีรวมเข้าด้วยกันและให้ตัวแทนใน SU ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ 1 แต่นั่นไม่ใช่อัตโนมัติ

— AHusain

9

แม้ว่าคุณจะ จำกัด ตัวเองเฉพาะการปฏิบัติการที่รวมเป็นพิเศษรัฐจะยังคงสะสมขั้นตอนทั่วโลก ตัวอย่างเช่นเป็นเอกสิทธิ์เฉพาะ แต่ ⟩ $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ $Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

หากรัฐจะไปสะสมเฟสทั่วโลกสำรวจanywaysสิ่งที่ได้รับประโยชน์ที่เราจะได้รับจากการ จำกัด ตัวเองเพื่อการดำเนินงานรวมกันเป็นพิเศษ?

มีความแตกต่างในการใช้งานทางกายภาพของรวมกัน(เมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์) และพูดในแง่ของประตูประถมบ้างไหม? $U$ $V :=e^{i\alpha}U$

ตราบใดที่คุณไม่ได้ทำสิ่งใดที่สามารถทำให้เฟสทั่วโลกมีความเกี่ยวข้องได้ แต่ถ้าคุณจะทำอะไรบางอย่างเช่นเอ่อ -

เพิ่มการควบคุมในประตูประถม

ใช่เช่นนั้น หากคุณทำสิ่งนี้คุณจะไม่สามารถละขั้นตอนทั่วโลกได้ การควบคุมเปลี่ยนเฟสโลกเป็นเฟสสัมพัทธ์ ถ้าคุณต้องการละเว้นเฟสโกลบอลอย่างสมบูรณ์คุณจะไม่มีตัวแก้ไขการดำเนินการ "เพิ่มตัวควบคุม" ในกล่องดำ

— Craig Gidney
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณ แต่ไม่มีตัวแก้ไข "เพิ่มการควบคุม" สำหรับประตูในชุดประตูสากลและคุณสามารถแยก

และ

ออกเป็นประตูเหล่านี้เพื่อเพิ่มการควบคุมได้เช่น c-

คือประตู CNOT

U

$U$

V

$V$

X

$X$

— dcw

1

@Daochen ใช่คุณสามารถทำได้ แต่มันไม่ใช่ตัวอย่างของการเพิ่มการควบคุมโดยไม่สนใจเฟสโกลบอลของการดำเนินการย่อย คุณจะต้องตัดสินใจอย่างชัดเจนเกี่ยวกับระยะทั่วโลกของการปฏิบัติงานย่อยเมื่อตัดสินใจว่าการดำเนินการควบคุมโดยรวมควรทำอย่างไรและจะย่อยสลายอย่างไร

— Craig Gidney

8

ความจริงที่ว่าประตูควอนตัมนั้นมีความเป็นเอกลัษณ์นั้นมีรากฐานมาจากความจริงที่ว่าวิวัฒนาการของระบบควอนตัมแบบปิด สำหรับช่วงเวลาที่เราพยายามที่จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงแบบรวมที่อัตราคงที่เราใช้สมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา:

\frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{i ℏ} H | ψ (t) ⟩,

$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$

โดยที่คือ Hamiltonian ของระบบ: เมทริก Hermitian ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะจะอธิบายค่าลักษณะพลังงาน โดยเฉพาะค่าลักษณะเฉพาะของนั้นเป็นจริง คำตอบของสมการนี้คือ $H$ $H$

ที่คือเมทริกซ์ที่คุณได้รับโดยการ eigenvectors ของและเปลี่ยนค่าลักษณะเฉพาะของพวกเขากับ

| ψ (t) ⟩ = \exp (- i H t / ℏ) | ψ (0) ⟩

$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$

U = \exp (- i H t / ℏ)

$U = \exp(-iHt/\hbar)$

H

$H$

E

$E$

e^{i E t / ℏ}

$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$ . ดังนั้นจากเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะจริงเราจะได้เมทริกซ์ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะนั้นเป็นจำนวนเชิงซ้อนกับหน่วยบรรทัดฐาน

สิ่งที่จะให้วิวัฒนาการนี้เป็นเมทริกซ์รวมพิเศษโดยเฉพาะ? เมทริกซ์รวมพิเศษคือสิ่งที่ดีเทอร์มีแนนต์ ; นั่นคือมีลักษณะเฉพาะทั้งหมดคูณไป1สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อ จำกัด ที่ค่าลักษณะเฉพาะของผลรวมทั้งหมดเป็นศูนย์ นอกจากนี้เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะของคือระดับพลังงานไม่ว่าจะเป็น $1$ $1$ $H$ $H$ ผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะมีค่าเท่ากับศูนย์ขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณตัดสินใจที่จะแก้ไขว่าจุดพลังงานศูนย์ของคุณคืออะไร (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณตัดสินใจที่จะยอมรับอนุสัญญาว่าระดับพลังงานทั้งหมดของคุณไม่เป็นลบนี่ก็หมายความว่าไม่มีระบบที่น่าสนใจที่จะมีทรัพย์สินของค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานที่รวมเป็นศูนย์)

ในระยะสั้นประตูรวมกันมากกว่าพิเศษพิเศษเพราะปัจจัยของประตูไม่สอดคล้องกับคุณสมบัติที่มีความหมายทางกายภาพ - ในแง่ที่ชัดเจนว่าประตูเกิดขึ้นจากฟิสิกส์และเงื่อนไขที่สอดคล้องกับปัจจัยของประตูเป็น 1 เป็นเงื่อนไขของกรอบอ้างอิงของตัวเองและไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงทางกายภาพ

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

4

ยกตัวอย่างเช่นเมื่อเขียนประตูสำหรับไดอะแกรมวงจรควอนตัมคุณสามารถเขียนพวกมันได้โดยใช้แบบแผนของการกำหนดดีเทอร์มิแนนต์หนึ่งตัว (จากกลุ่มรวมพิเศษ) แต่มันก็เป็นแค่การประชุม มันทำให้ไม่มีความแตกต่างทางกายภาพกับวงจรที่คุณใช้ ดังที่กล่าวไว้ในที่อื่นว่าสิ่งที่คุณผลิตตามธรรมชาตินั้นสอดคล้องโดยตรงกับการรวมเป็นพิเศษหรือไม่นั้นเป็นตัวเลือกของการประชุมและคุณกำหนดพลังงาน 0 ของคุณให้เป็น

$U$ $V=e^{i\alpha}$ $V$ $U$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

— DaftWullie
แหล่งที่มา

0

$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ $H$

— user1271772
แหล่งที่มา