ลำดับที่สั้นที่สุดของประตูควอนตัมสากลที่สอดคล้องกับการรวมกันที่กำหนด

คำถาม: จากการรวมกันของเมทริกซ์ที่กระทำกับ qubits เราจะสามารถหาลำดับที่สั้นที่สุดของ Clifford + T ประตูที่สอดคล้องกับการรวมกันนั้นได้หรือไม่$n$

สำหรับพื้นหลังของคำถามการอ้างอิงที่สำคัญสองข้อ:

1. การสังเคราะห์ที่แม่นยำและรวดเร็วของยูนิต qubit เดี่ยวที่สร้างโดย Clifford และ T ประตู โดย Kliuchnikov, Maslov และ Mosca
2. การสังเคราะห์ที่แน่นอนของวงจร multiqubit Clifford + Tโดย Giles และ Selinger

การได้รับการสลายตัวที่เหมาะสมเป็นปัญหาที่แน่นอน (และแน่นอนการสลายตัวเป็นเรื่องยากมากประตูสำหรับขนาดใหญ่) คำถาม "ง่ายกว่า" ที่คุณอาจถามก่อนคือลำดับที่สั้นที่สุดของ cnots และการหมุน qubit เดี่ยวโดยมุมใด (IBM ใด Rigetti และ Google ในเร็ว ๆ นี้เสนอข้อเสนอพื้นฐานที่เป็นสากลนี้สามารถแสดงได้ในแง่พื้นฐานของ Cliffords และ t-gates) คำถาม "เรียบง่าย" นี้ยังเปิดอยู่และมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน คำถามที่เกี่ยวข้องคือสิ่งที่เป็นการสลายตัวที่เหมาะสมที่สุดของประตูจากพื้นฐานสากลเพื่อเปลี่ยนจากสถานะพื้นสู่สถานะสุดท้าย$\exp(n)$$n$

ฉันกำลังสมมติว่าคุณกำลังอ้างถึงการย่อยสลายที่แน่นอน หากคุณต้องการการย่อยสลายโดยประมาณมีวิธีการที่แตกต่างกันเช่นการย่อยสลาย Trotter-Suzuki หรือการประมาณการย่อยสลายที่แน่นอน

"quantum csd compiler" ใน Qubiter ทำการแยกส่วนที่ไม่เหมาะสมของ n qubit ใด ๆ ให้เป็น cnots และ single qubit rots โดยใช้รูทีนย่อย csd (Cosine-Sine Decomposition) ที่มีชื่อเสียงจาก LAPACK บุคคลที่กล้าได้กล้าเสียบางคนอาจพยายามค้นหาการปรับให้เหมาะสมสำหรับคอมไพเลอร์ควอนตัมของคิวเบอเตอร์ คุณสามารถใช้คอมไพเลอร์ของ Qubiter ยกตัวอย่างเช่น (ฉันเขียนบทความนี้) เพื่อให้คอมพิวเตอร์คลาสสิคของคุณค้นพบควอนตัมฟูริเยร์ควอนตัมแปลงสภาพของ Coppersmith อีกครั้ง!

Qubiterเป็นโอเพ่นซอร์สและมีให้ที่ github (เปิดเผยอย่างเต็มที่ - ฉันเขียนมัน)

สมมติว่าการสังเคราะห์ที่แน่นอนเป็นไปได้สำหรับการรวมกันของคุณ (จำนวนข้อ จำกัด ทางทฤษฎีในรายการ) และดังนั้นอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ในคำถามให้ลำดับของประตู Clifford + T ที่นำมาใช้รวมกัน ตามที่ระบุไว้ในกระดาษ Giles-Selinger คุณจะได้ลำดับที่อยู่ไกลจากจุดที่เหมาะสมที่สุด ดังนั้น ณ จุดนี้คุณได้ลดปัญหาคำในกลุ่มที่สร้างโดยชุดประตู Clifford + T บางกลุ่มมีอัลกอริทึมในการย่อคำที่กำหนดในขณะที่ยังคงเป็นตัวแทนองค์ประกอบเดียวกันของกลุ่มในรูปแบบปกติที่สั้นที่สุดในชั้นเรียนนั้น คนอื่นทำไม่ได้

รายละเอียดเพิ่มเติมเพื่อแสดงหลักการ: ให้เราบอกว่ามี qubits แสดงอื่น ๆ สำหรับตัวสร้างที่ทำเกทเฟสบน qubit ,สำหรับเป็นตัวควบคุมเป็นต้นแต่ละตัวจะถือว่าเป็นตัวอักษร อัลกอริทึมจะคายคำบางคำในตัวกำเนิดเหล่านี้ กลุ่มคือกลุ่มที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเหล่านี้และมีความสัมพันธ์มากมายเช่นและเมื่อ$2$$S_1$$1$$CNOT_{12}$$1$$S_i^4=1$$X_i Y_j = Y_j X_i$$i \neq j$ท่ามกลางความสัมพันธ์อื่น ๆ อีกมากมาย ดังนั้นสิ่งนี้จึงกำหนดกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างประณีต เนื่องจากเรามีคำจากอัลกอริทึมที่ให้มา แต่ยังไม่ได้รับการปรับให้เหมาะสมภารกิจคือการจัดให้มีรูปแบบปกติที่สั้นที่สุดที่สะดวกที่สุดในปัญหาคำสำหรับกลุ่มนี้ ดังนั้นหากให้คำว่าหนึ่งสามารถใช้ความสัมพันธ์สองครั้งและความสัมพันธ์หนึ่งครั้งเพื่อให้ได้เป็นคำที่สั้นกว่าที่แสดงองค์ประกอบกลุ่มเดียวกัน สำหรับการนำเสนอกลุ่มที่กำหนดหนึ่งต้องการอัลกอริทึมที่ใช้คำโดยพลการและลดมัน โดยทั่วไปไม่สามารถทำได้$S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$$S_1 S_2 = S_2 S_1$$S_1^4=1$$S_2$

ข้อจำกัดความรับผิดชอบสำหรับด้านล่าง: โครงการที่กำลังจะมา / Haskell Implementation Joint w / Jon Aytac

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับการแก้ปัญหาของคำว่าชุดประตู Clifford + T แต่เราสามารถทำสิ่งที่ง่ายกว่าโดยมีเพียงการเรียกใช้ (เรียกพวกเขาว่า ) ในชุดนั้นและมีเพียงความสัมพันธ์ของแบบฟอร์ม 1 นั่นคือกลุ่ม Coxeter ที่เกี่ยวข้องกับชุดประตู Clifford + T แต่มีปัญหาคำที่แก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ ดังนั้นหนึ่งอาจใช้ผลลัพธ์ของอัลกอริทึม Giles-Selinger และอาจย่อให้สั้นลงโดยใช้ความสัมพันธ์แบบง่าย ๆ เหล่านี้เท่านั้น (หลังจากดูเซ็กเมนต์ด้วยตัวอักษรร่วมด้วยเท่านั้น ในความเป็นจริงอัลกอริทึมใด ๆ ที่ใช้การรวมกันและการประมาณหรือการสังเคราะห์ลงใน Clifford + T สามารถป้อนเข้าสู่กระบวนการนี้ได้เพื่อทำให้สั้นลงเล็กน้อย$r_i$$(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$