อัลกอริทึมของโกรเวอร์ถูกนำมาใช้ในสิ่งอื่น ๆ ที่จะค้นหารายการ $\mathbf{y}$ ในรายการเรียงลำดับของรายการ $[\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, ..., \mathbf{x}_{n-1}]$ ของความยาวn $n$ แม้ว่าจะมีคำถามมากมายเกี่ยวกับหัวข้อนี้ แต่ฉันก็ยังคิดถึงประเด็นนี้อยู่

การค้นหาในรายการแบบคลาสสิค

ปกติผมจะออกแบบฟังก์ชั่นการค้นหาด้วยวิธีนี้

s e a r c h ([x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n - 1}], y) = i \in N such that x_{i} = y

$\mathrm{search}([\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, ..., \mathbf{x}_{n-1}], \mathbf{y}) = i \in \mathbb{N} \quad \text{such that } \mathbf{x}_i = \mathbf{y}$ ดังนั้นผมจึงให้รายการและรายการที่อยากเป็นปัจจัยการผลิตและผมได้รับตำแหน่งของรายการในรายการเป็นผลผลิต ฉันคิดว่าฉันได้เข้าใจว่าข้อมูลเกี่ยวกับการ

y

$\mathbf{y}$ ถูกฝังอยู่ในขั้นตอนวิธีการผ่าน oracle ประตู

O

$O$ เพื่อฟังก์ชั่นของเราจะกลาย

{s e a r c h}_{y} ([x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}]) = i \in N such that x_{i} = y

$\mathrm{search}_\mathbf{y}([\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n] ) = i \in \mathbb{N} \quad \text{such that } \mathbf{x}_i = \mathbf{y}$ ลองทำตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ พิจารณาการค้นหาเอซโพดำ

1 ♠

$1\spadesuit$ ตามลำดับไพ่ 8 ใบจากสำรับมาตรฐาน 52 ใบ:

รายการความยาว $8$ คือ $[ \mathbf{x}_0 = J\clubsuit,$ $\mathbf{x}_1 = 10\diamondsuit,$ $\mathbf{x}_2 = 4\heartsuit,$ $\mathbf{x}_3 = Q\clubsuit,$ $\mathbf{x}_4 = 3\spadesuit,$ $\mathbf{x}_5 = 1\spadesuit,$ $\mathbf{x}_6 = 6\spadesuit,$ $\mathbf{x}_7 = 6\clubsuit]$ ]

องค์ประกอบที่อยากเป็น $\mathbf{x}_5$ 5ฉันควรจะได้รับ $\mathrm{search}_{\spadesuit}(cards) = 5$ 5บัตรแต่ละใบสามารถเข้ารหัสด้วย $\lceil{\log_2 52}\rceil = 6$ บิตรายการมี $8$ องค์ประกอบดังนั้นเราต้องการ $6\times 8 = 48$ บิตในการเข้ารหัสรายการ ในกรณีนี้ oracle $O$ จะใช้ฟังก์ชัน:

f (x) = {\begin{cases} 1, & x = 1 ♠ \\ 0, & otherwise \end{cases}

$f(\mathbf{x}) = \begin{cases} 1, & \mathbf{x} = 1\spadesuit \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

อย่างไรก็ตามอินพุตของอัลกอริทึมของ Grover ไม่ใช่สถานะของ $48$ qubits

(หมายเหตุ: ภาพของสำรับสับถูกนำมาจากที่นี่ )

Grover และ oracle ของมัน

(. เช่นหลายแหล่งที่มาที่นี่ - กราฟิกอธิบาย) บอกว่าใส่ของขั้นตอนวิธีการที่แตกต่างกัน: การป้อนข้อมูลที่เป็นรัฐที่นำมาจากพื้นที่ค้นหา $S = \{ 0, 1, 2, ..., N \} = \{0, 1, 2, ..., 7 \}$ โดยที่ $N$ คือจำนวนองค์ประกอบของรายการ แต่ละหมายเลขสอดคล้องกับตำแหน่งขององค์ประกอบในรายการ

การป้อนข้อมูลของ $\mathrm{search}_{\spadesuit}(\cdot)$ คือตอนนี้ $\lceil \log_2 8 \rceil = 3$ qubit เวกเตอร์ $|\psi\rangle$ ซึ่งจะต้องเป็นซ้อนของรายการทั้งหมดในพื้นที่ค้นหาS $S$

พวกเรารู้

$|0_{3\text{qubits}}\rangle = |000\rangle$ สอดคล้องกับ $J\clubsuit$ ;
$|1_{3\text{qubits}}\rangle = |001\rangle$ สอดคล้องกับ $10\diamondsuit$ ;
$|2_{3\text{qubits}}\rangle = |010\rangle$ สอดคล้องกับ $4\heartsuit$ ;
$|5_{3\text{qubits}}\rangle = |101\rangle$ สอดคล้องกับ $1\spadesuit$ ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่ต้องการ
และอื่น ๆ ...

ในกรณีนี้เรามี

{s e a r c h}_{♠} (| ψ ⟩) = | 5_{3 qubits} ⟩

$\mathrm{search}_{\spadesuit}(|\psi\rangle) = |5_{3\text{qubits}}\rangle$ แต่ในกรณีนี้, Oracle ของเราจะต้องมีการใช้ฟังก์ชั่น

f (| ψ ⟩) = {\begin{cases} 1, & | ψ ⟩ = | 5_{3 qubits} ⟩ \\ 0, & otherwise \end{cases}

$f(|\psi\rangle) = \begin{cases} 1, & |\psi\rangle = |5_{3\text{qubits}}\rangle \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

การสร้าง oracle ต้องการให้เรารู้ว่า $\spadesuit$ อยู่ในตำแหน่งที่ 5 อะไรคือจุดที่จะใช้งานอัลกอริธึมถ้าเราค้นหาองค์ประกอบเพื่อสร้าง oracle?

grovers-algorithm

— incud
แหล่งที่มา

ฉันยังมีปัญหาในการเข้าใจข้อดีของอัลกอริทึมของ Grover สมมติว่าฉันมี N รายการในรายการ ทุกครั้งที่โทรมายัง Oracle มันประเมินความเป็นไปได้ทั้งหมดของ N หรือไม่ แม้ว่าการประเมินจะเร็วมาก แต่ถ้าเรายังต้องวนซ้ำทุกการกำหนดค่าความซับซ้อนของการประเมินผลของ Oracle ก็คือ O (N) ดังนั้นอัลกอริทึมของโกรเวอร์จึงดูเหมือนจะไม่เร็วกว่าการค้นหาที่โง่ ถูกต้องหรือไม่

— Sanparith Marukatat

@SanparithMarukatat มันไม่ถูกต้อง รายการในรายการของคุณเป็นเงื่อนไขการซ้อนทับของรัฐที่เกี่ยวข้องในการค้นหา เมื่อ Oracle ทำงานในสถานะนี้จะนับเป็นการดำเนินการเดียว ความสามารถของ Oracle ในการทำเครื่องหมายข้อความค้นหา - สำหรับคำทับซ้อนของคุณเป็นส่วนพื้นฐานของการเข้าใจของโกรเวอร์ เพื่อทำความเข้าใจอัลกอริทึมของโกรเวอร์ฉันแนะนำให้คุณเข้าใจก่อนว่าการทำเครื่องหมายนี้ออกจากสถานะที่ต้องการเกิดขึ้นได้อย่างไร หลังจากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้เข้าใจบทบาทของรัฐ

ใน Oracle

| - ⟩

$|- \rangle$

— R. Chopin

หากคุณเข้าใจเช่นนั้นคุณควรศึกษาผู้ปฏิบัติงานที่สามารถเพิ่มความกว้างของคำศัพท์ที่ต้องการในการทับซ้อนในขณะเดียวกันก็ลดความกว้างของคำศัพท์ที่ไม่พึงประสงค์ของการซ้อนทับ สำหรับฉันวิธีที่ง่ายที่สุดในการเข้าหา Grover คือดูที่โอเปอเรเตอร์ที่มีค่าเฉลี่ย (บางคนใช้มุมมองทางเรขาคณิต แต่ฉันไม่คิดว่าชัดเจน)

— R. Chopin

10

หากคุณมี 8 รายการในรายการ (เช่นในตัวอย่างการ์ดของคุณ) ดังนั้นอินพุตของ oracle คือ 3 (qu) บิต จำนวนไพ่ในสำรับ (52) ไม่เกี่ยวข้องคุณต้องใช้ 3 บิตเท่านั้นในการเข้ารหัสไพ่ 8 ใบ

คุณสามารถคิดว่า 3 บิตเข้ารหัสตำแหน่งในรายการการ์ดที่คุณกำลังค้นหา ถ้าอย่างนั้นคุณก็ไม่รู้ตำแหน่ง แต่ oracle รู้ดี ดังนั้นถ้าคุณกำลังค้นหาเอซโพดำแล้วออราเคิลก็รู้ว่าเอซโพดำคือการ์ดที่ 6 (หรือการนับครั้งที่ 5 จากศูนย์) และใช้ฟังก์ชัน

f (x) = {\begin{cases} 1, & if x = 5, or binary '101' \\ 0, & otherwise \end{cases}

$f(\mathbf{x}) = \begin{cases} 1, & \text{if x = 5, or binary '101'} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

PS: เป็นการดีกว่าถ้าคุณคิดว่าอัลกอริทึมของ Grover แตกต่างกัน: คุณมี oracle ที่ใช้ฟังก์ชั่นบูลีนซึ่งมีเอาต์พุตสำหรับการรวมบิตของอินพุตบิตเดียวมิฉะนั้นจะแสดงผลลัพธ์เป็นศูนย์และงานของคุณคือ ปัญหามีความซับซ้อนเช่นเดียวกับการค้นหาในรายการหรือฐานข้อมูลที่ไม่เรียงลำดับนั่นคือสาเหตุที่อัลกอริทึมของ Grover อธิบายไว้เป็นการค้นหาในฐานข้อมูลที่ไม่เรียงลำดับ แต่การใช้อัลกอริทึมกับการค้นหาฐานข้อมูลในโลกแห่งความเป็นจริงทำให้เกิดคำถามที่เกินกว่าอัลกอริทึม อัลกอริทึมของ Grover กำลังค้นหาสิ่งที่ oracle รู้ $1$

— kludg
แหล่งที่มา

ใช่ขออภัยว่า 6 มาจากการแก้ไขก่อนหน้านี้

— incud

2

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันแก้ไขการเขียนผิดพลาด อะไรคือจุดประสงค์ในการดำเนินการของอัลกอริทึมหากต้องการสร้าง oracle ฉันต้องทราบตำแหน่งขององค์ประกอบการสืบค้น

— incud

1

@ incud แน่นอนมันไม่สมเหตุสมผล ฉันได้อัพเดตคำตอบแล้ว

— kludg

" อัลกอริทึมของ Grover กำลังค้นหาสิ่งที่ oracle รู้ ": ไม่จำเป็น พยากรณ์อาจตรวจสอบเฉพาะคุณสมบัติบางอย่างของอินพุตดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้ในตอนท้ายจะมีข้อมูลมากกว่าที่เข้ารหัสใน oracle itsef ตัวอย่างทั่วไปคือการค้นหาในสมุดโทรศัพท์ oracle "ถาม" สำหรับบันทึกที่แนบมากับชื่อเฉพาะ แต่เมื่อพบระเบียนที่ถูกต้องแล้วเราจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติมของหมายเลขโทรศัพท์ที่แนบกับบันทึกนั้นซึ่งไม่ได้เข้ารหัสใน oracle

— glS

4

ในขณะที่เราคิดว่าฟังก์ชั่นของ oracle อาจจะง่ายที่สุดในการคำนวณค่าเหล่านี้ทั้งหมด แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่ทำ ในกรณีที่คุณอธิบายพยากรณ์มี 8 ปัจจัยการผลิตที่เป็นไปได้ (เช่นการเข้ารหัสใน 3 (คู) บิต) และพยากรณ์ไม่ทั้งหมดคำนวณที่คุณต้องการได้ทันที ดังนั้นขณะที่คุณพยายามประเมิน oracle สำหรับค่า , oracle ค้นหา (ในตัวอย่างนี้) การ์ดที่มีค่า $x$ $x$ สอดคล้องกับแล้วตรวจสอบว่าการ์ดนั้นเป็นการ์ดที่ทำเครื่องหมายไว้หรือไม่ แนวคิดที่ว่าทุกครั้งที่คุณเรียกออราเคิลจะต้องผ่านกระบวนการนั้นหนึ่งครั้ง โดยรวมแล้วคุณประเมินฟังก์ชันเป็นจำนวนครั้งที่เท่ากับจำนวนครั้งที่คุณเรียกใช้ oracle จุดประสงค์ของอัลกอริธึมการค้นหาใด ๆ คือการเรียก oracle นั้นให้น้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้

ในกรณีที่ฟังดูเป็นวงกลมเล็กน้อย (รับอินพุต , หาการ์ดที่สอดคล้องกับ) จำไว้ว่าตารางค้นหาของคุณสำหรับ $x$ $x$ สอดคล้องกับการ์ดที่สามารถสั่งได้ซึ่งเป็นคำถามค้นหาที่แตกต่างกันง่ายกว่าและเร็วกว่ามาก

ความแตกต่างที่สำคัญในตัวอย่างของคุณเปรียบเทียบกับสถานการณ์การใช้งานที่สมจริงยิ่งขึ้นคือ:

พื้นที่การค้นหามักจะมีขนาดใหญ่มาก ไม่มีโอกาสที่เป็นจริงในการคำนวณค่าทั้งหมดล่วงหน้า แน่นอนว่าเป็นสิ่งที่เราพยายามหลีกเลี่ยง
โดยปกติแล้วเราไม่ได้พูดว่า 'find ace ace of spades' แต่มีที่ไม่น่ารำคาญที่จะประเมินเพื่อทดสอบว่า $f(x)$ $x$ เป็นรายการ 'ที่ทำเครื่องหมายไว้' หรือไม่ ความจริงที่ว่า oracle สามารถใช้เวลาค่อนข้างนานในการประเมินแม้จะเป็นรายการเดียวก็คือสิ่งที่ทำให้ oracle เป็นส่วนที่มีค่าใช้จ่ายสูงในการดำเนินการ (และประตูอื่น ๆ ทั้งหมดให้ฟรี) และทำไมคุณต้องลดจำนวนการโทร .

$x$ $y=f(x)$ $y=1$ $x$ $f(x)$ $x_0$

— DaftWullie
แหล่งที่มา

2

คำถามคือท้ายที่สุด: "อะไรคือจุดประสงค์ในการใช้งานอัลกอริธึมถ้าเราค้นหาองค์ประกอบเพื่อสร้าง oracle แล้ว?"

ในขณะที่บางคนสร้าง oracle ไว้ล่วงหน้ามันอาจจะไม่ใช่คนที่ใช้ oracle

$\sqrt{\text{size of list}}$ ขนาดของรายการตามธรรมชาติเราไม่สามารถหวังการค้นหาฐานข้อมูลตามที่เสนอก่อนหน้านี้ซึ่งฉันไม่สามารถแสดงความคิดเห็นสำหรับการขาดชื่อเสียงเมื่อพูดว่า 5 ล้านปุ่มจะส่งคืนเนื้อหาที่เราต้องการหากเนื้อหาของเราไม่ได้รับการจัดการโดย 5 ล้านกุญแจเหล่านั้น คีย์ที่ 9 ล้านซึ่งไม่เกิดขึ้นในตัวอย่างของเรา อัลกอริทึมของ Grover ทำอย่างไร

เราถาม oracle: อะไรคือคำตอบที่มีอยู่แล้วสำหรับคำถามที่มีอยู่แล้ว? แม้แต่ Mateus และ Omar ก็ยังถามถึง "oracle-for-a-specific-symbol-symbol" ระหว่างรันไทม์ตำแหน่งของสัญลักษณ์ในสตริงที่รวบรวมไว้แล้วคืออะไร? oracle จะให้คำตอบกับคำถามของเราหลังจากการปรึกษาหารือเพียงครั้งเดียว แต่ในเรื่องนี้ไม่สามารถเขียนคำตอบในรูปของไบนารี่สตริงและส่งมาให้เราผ่านช่องทางการสื่อสารแบบดั้งเดิม มันจะซ่อนคำตอบในทับซ้อนสำหรับเราที่จะดึงมันออกมา

ฉันปล่อยให้จินตนาการหรือคำอุปมาวิ่งหนีไปในบิตต่อไปนี้: เราไม่ค่อยได้ยินคำตอบในครั้งแรกและเราต้องขอให้นักพยากรณ์ทำซ้ำคำตอบเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีกจนกว่าเราจะแน่ใจว่าคำพยากรณ์นั้นพูด ยกเว้นว่าเราเริ่มเห็นภาพหลอนจากข้อมูลที่ผิดในกระบวนการแพร่ถ้าเราถามหลายครั้งเกินไป

— เบรนแดนเอ็ม
แหล่งที่มา

2

เมื่อพิจารณาจากคำพยากรณ์ที่คุณให้ไว้การค้นหานั้นไม่มีจุดหมายแน่นอน อย่างไรก็ตามออราเคิลนั้นพลาดจุดของอัลกอริทึมของโกรเวอร์เนื่องจากการค้นหาการ์ดในสำรับไม่ใช่การค้นหาที่ไม่มีโครงสร้างเพราะตามที่คุณระบุไว้คุณทราบคำสั่งอยู่แล้ว ดังนั้นการค้นหาของคุณมีโครงสร้าง เหตุผลที่ใช้ oracle นี้คือมันแสดงให้เห็นว่า Grover's อาจถูกนำไปใช้อย่างไรโดยไม่ต้องพูดถึง oracle ที่จะทำให้ Grover มีประโยชน์เพราะ oracle นั้นมีความซับซ้อนมากกว่าของมีค่า ดังนั้นการพยากรณ์ที่ดีกว่าเพื่อแสดงให้เห็นถึงประโยชน์ของโกรเวอร์อาจเป็นดังนี้:

ฉ (x) = {\begin{cases} 1, & x [0, ..., 3] + x [4, ..., 7] = 1010 \\ 0, & มิฉะนั้น \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} 1, & x[0, \ldots, 3] + x[4, \ldots, 7] = 1010 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

สิ่งที่พยากรณ์นี้มีความหมายว่าคุณมีการค้นหา 8-qubit ที่คุณใช้สี่ qubits แรกและเพิ่มลงในสี่ qubits ที่สองและพลิก M หากการเพิ่มทำให้ 10 (1010 ในไบนารี) ความแตกต่างระหว่าง oracle นี้กับที่คุณให้ไว้คือ oracle นี้ทดสอบรูปแบบ (ตัวถูกดำเนินการเพิ่มเป็น 10) ในขณะที่คุณทดสอบความเท่าเทียมกัน (คือดัชนี 5) oracle นี้สร้างได้ยากกว่ามาก แต่ใช้ประโยชน์จากพลังที่แท้จริงของ Grover's ซึ่งก็คือการค้นหาที่โหดร้ายซึ่ง oracle ของคุณกำหนดพื้นที่การค้นหา

— Woody1193
แหล่งที่มา

อัลกอริทึมของ Grover: รายการอยู่ที่ไหน

การค้นหาในรายการแบบคลาสสิค

Grover และ oracle ของมัน