จำนวนเต็มใดที่ได้รับปัจจัยจากอัลกอริธึม

อัลกอริทึมของ Shorคาดว่าจะช่วยให้เราสามารถแยกจำนวนเต็มมากกว่าที่ทำได้ในคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมที่ทันสมัย

ณ ปัจจุบันจะมีการรวมจำนวนเต็มจำนวนน้อยลงเท่านั้น ยกตัวอย่างเช่นบทความนี้กล่าวถึงตัวประกอบ 3 $15=5{\times}3$

ในแง่นี้การวิจัยที่ล้ำสมัยคืออะไร? มีกระดาษเมื่อเร็ว ๆ นี้ที่ระบุว่ามีการแยกตัวประกอบจำนวนมากขึ้นหรือไม่?

shors-algorithm

มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด แต่ไม่ใช่การทำซ้ำที่แน่นอน: จำนวนใดที่สูงที่สุดที่ QC ประเมินในการทดสอบที่ไม่เฉพาะเจาะจง

— agaitaarino

คำตอบ:

การแยกตัวประกอบเฉพาะของ 21 (7x3) น่าจะเป็นสิ่งที่ใหญ่ที่สุดในปัจจุบันด้วยอัลกอริธึมของชอร์ มันทำในปี 2012 ตามรายละเอียดในเอกสารนี้ มันควรจะตั้งข้อสังเกตอย่างไรว่าตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มากเช่น 56,153 ในปี 2014 ได้รับปัจจัยโดยใช้วิธีการลดโดยมีรายละเอียดที่นี่ สำหรับการอ้างอิงที่สะดวกดูตารางที่ 5 ของเอกสารนี้ :

{\begin{matrix} ตารางที่ 5: บันทึกการแยกตัวประกอบควอนตัม \\ \begin{array}{cccccc} จำนวน & # ของปัจจัย & \begin{matrix} # ของ qubits \\ จำเป็น \end{matrix} & ขั้นตอนวิธี & \begin{matrix} ปี \\ การดำเนินการ \end{matrix} & \begin{matrix} การดำเนินการ \\ โดยไม่ต้องก่อน \\ ความรู้ของ \\ วิธีการแก้ \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & แคระแกร็น & 2001 [2] & χ \\ 2 & 8 & แคระแกร็น & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & แคระแกร็น & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & แคระแกร็น & 2009 [5] & χ \\ 2 & 8 & แคระแกร็น & 2012 [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & แคระแกร็น & 2012 [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & ลด & 2012 [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & ลด & 2012 [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & ลด & ยัง & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & ลด & ยัง & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{.}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

— ทุ่งหญ้า
แหล่งที่มา

@SqueamishOssifrage: ที่ไหนที่มันบอกว่า algorithm การย่อเล็กสุดคือ "จำกัด จำนวนซึ่งปัจจัยที่มีความสัมพันธ์ทำให้การค้นหามีขนาดเล็กลงมากเช่นการแตกต่างกันในตำแหน่งบิตเพียงเล็กน้อยหรือแตกต่างกันในทุกตำแหน่ง แต่ไม่กี่ตำแหน่ง"?

— user1271772

N

$N$

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$

\log N

$\log N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

— user1271772

@SqueamishOssifrage: "ไม่มีเอกสารที่ฉันอ่านดูเหมือนจะพยายามประเมินการเติบโตของเวลาเพื่อแก้ปัญหาเป็นหน้าที่ของจำนวน qubits" สิ่งนี้ได้พยายาม: journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 แต่ "เวลาในการแก้ปัญหา" ไม่ใช่สิ่งที่สำคัญมันเป็นความพยายามที่จำเป็น การกรอง GNF นั้นง่าย แต่ขั้นตอนเมทริกซ์นั้นยุ่งยากอย่างน่ากลัว การใช้อัลกอริธึมของชอร์ในวิธีที่เหมาะสมที่สุดนั้นค่อนข้างยุ่งยาก อัลกอริทึมย่อเล็กสุดง่าย

— user1271772

@SqueamishOssifrage: ในที่สุด: "โปรดทราบว่าอัลกอริธึมการย่อเล็กสุดถูก จำกัด เฉพาะตัวเลขที่ปัจจัยที่มีความสัมพันธ์รู้จัก" .. ไม่มีส่วนใดของอัลกอริทึมที่ จำกัด ความสัมพันธ์ "รู้จัก" อัลกอริทึมไม่ได้คิดอะไรเกี่ยวกับปัจจัย ไม่มีความสัมพันธ์ บิตคือตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดซึ่งพิจารณาจากการย่อขนาดเล็กสุด การย่อขนาดสามารถทำได้โดยใช้ qubits น้อยกว่าสำหรับบางหมายเลขมากกว่าตัวเลขอื่น ๆ เช่นเดียวกับขั้นตอนวิธีของชอร์ เช่นเดียวกับ GNFS ในความเป็นจริงหากจำนวนที่คุณต้องการแยกตัวประกอบเป็นเลขคู่มันค่อนข้างง่ายที่จะแยกตัวประกอบ

— user1271772

$21=7\times 3$ $a$

สำหรับขั้นตอนวิธีการอบอ่อน : รัฐของศิลปะคือ 376289 แต่เราไม่ทราบว่าจะขยายขนาดได้อย่างไร ขีด จำกัด บนน้ำมันดิบมากถึงจำนวนของ qubits จำเป็นในการปัจจัย RSA-230 เป็น5500000000 qubits ( แต่นี้สามารถนำมาลงอย่างมีนัยสำคัญโดยคอมไพเลอร์ที่ดีขึ้น) ในขณะที่ขั้นตอนวิธีของชอร์สามารถทำมันได้ด้วย 381 qubits

— user1271772
แหล่งที่มา

คุณจะสังเกตเห็นในตารางในคำตอบของฉันมีคอลัมน์สำหรับ "ดำเนินการโดยไม่มีความรู้ก่อนการแก้ปัญหา" มี "x" สำหรับการใช้อัลกอริทึมของ shor ทั้งหมดทำให้ฉันเชื่อว่าสิ่งที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับแฟคตอริ่ง 15

— heather

ขนาดของจำนวนแฟคตอริ่งไม่ได้เป็นตัวชี้วัดที่ดีสำหรับความซับซ้อนของปัญหาการแยกตัวประกอบและสอดคล้องกับพลังของอัลกอริทึมควอนตัม การวัดที่เกี่ยวข้องควรเป็นช่วงเวลาของฟังก์ชันผลลัพธ์ที่ปรากฏในอัลกอริทึม

นี้จะกล่าวถึงในเจ Smolin กรัมสมิ ธ เอ Vargo: ทำท่าจำนวนมากปัจจัยในคอมพิวเตอร์ควอนตัม , ธรรมชาติ 499, 163-165 (2013) โดยเฉพาะอย่างยิ่งผู้เขียนยังให้ตัวอย่างของตัวเลขที่มีเลขฐานสอง 20000 ซึ่งสามารถนำมารวมกับคอมพิวเตอร์ควอนตัมสองควิบิตด้วยการใช้งานแบบเดียวกันกับที่เคยใช้มาก่อนเพื่อแยกแยะตัวเลขอื่น ๆ

ควรสังเกตว่า "การทำให้เรียบง่ายแบบแมนนวล" ซึ่งผู้เขียนดำเนินการเพื่อให้ได้อัลกอริทึมควอนตัมนี้เป็นสิ่งที่ได้ทำเช่นสำหรับการทดลองแบบแฟคตอริ่งดั้งเดิม 15

— Norbert Schuch
แหล่งที่มา