คิดอย่างไรกับ Z gate ในทรงกลม Bloch?

11

ฉันสับสนเกี่ยวกับวิธีการเข้าใจ gate ในทรงกลมของ Bloch $Z$

พิจารณาเมทริกซ์เป็นที่เข้าใจได้ว่าและ . $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ $Z|0\rangle = |0\rangle$ $Z|1\rangle = -|1\rangle$

อธิบายได้ที่นี่ว่า gate คือการหมุนรอบแกนจากนั้นฉันจะเข้าใจอย่างไร เนื่องจากเป็นขั้วโลกใต้ฉันรู้สึกว่าเป็นธรรมชาติที่จะคิดว่าการหมุนรอบแกนไม่ได้ทำอะไรเลย $Z$ $\pi$ $Z$ $Z|1\rangle = -|1\rangle$ $|1\rangle$ $\pi$ $Z$

quantum-gate bloch-sphere

— Bick
แหล่งที่มา

7

วิธีคิดเกี่ยวกับทรงกลมของ Bloch นั้นอยู่ในรูปของเมทริกซ์ความหนาแน่นของรัฐ $Z$ ทำหน้าที่อย่างใดอย่างหนึ่ง $|0\rangle\langle 0|$ หรือ $|1\rangle\langle 1|$ ไม่ทำอะไรเลยเช่นเดียวกับเมทริกซ์ความหนาแน่นแนวทแยง หากต้องการดูผลกระทบของการหมุนคุณต้องดูว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมนั้นเปลี่ยนไปอย่างไร $Z$ เช่น $|+\rangle\langle +|$ .

— DaftWullie
แหล่งที่มา

8

$|1\rangle$ และ $-|1\rangle$ ที่ได้รับมอบหมายไปยังจุดเดียวกันบนทรงกลม Bloch เพราะพวกเขามีค่าเท่ากันขึ้นอยู่กับขั้นตอนการทั่วโลก พีชคณิต: $|1\rangle \equiv -|1\rangle$ ที่ไหน $\equiv$ หมายถึง "เท่ากับเฟสสากล" ความหมายมีบ้าง $\theta$ ดังนั้น $-|1\rangle = e^{i \theta} |1\rangle$ .

สิ่งที่ทำให้คุณสับสนคือแม้ว่าจะมีความจริงที่ว่า $|0\rangle \equiv Z |0\rangle$ และ $|1\rangle \equiv Z |1\rangle$ สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับชุดค่าผสมเชิงเส้นของทั้งสอง ตัวอย่างเช่น, $Z |+\rangle \not\equiv Z |+\rangle$ ถึงแม้ว่า $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ .

— Craig Gidney
แหล่งที่มา

2

ตามWikipediaเราสามารถเขียนสถานะบริสุทธิ์ใด ๆ

| ψ ⟩ = \cos (\frac{θ}{2}) | 0 ⟩ + e^{i ϕ} \sin (\frac{θ}{2}) | 1 ⟩

$|\psi\rangle = \cos\left( \frac{\theta}{2} \right) |0 \rangle + e^{i \phi} \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) |1 \rangle$

ที่ไหน $\theta$ และ $\phi$ คือมุมบนทรงกลมของ Bloch:

เกือบทุกจุดบนพื้นผิว (เช่นสถานะบริสุทธิ์) มีการแทนเฉพาะในแง่มุมยกเว้นเสา เช่นเดียวกับบนโลกขั้วโลกใต้ไม่มีลองจิจูดที่กำหนดไว้อย่างดี (ลองจิจูดใดก็ใช้งานได้เหมือนกัน) สำหรับ $|1 \rangle$ ระบุขั้นตอนใด ๆ $\phi$ หมายถึงสิ่งเดียวกัน "ละติจูด" $\theta$ อยู่ที่นี่ $\pi$ เรามาเสียบลงในสมการ:

| 1 ⟩ = \cos (\frac{π}{2}) | 0 ⟩ + e^{i ϕ} \sin (\frac{π}{2}) | 1 ⟩ =

$|1\rangle = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) |0 \rangle + e^{i \phi} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) |1 \rangle =$

= 0 + e^{i ϕ} | 1 ⟩

$= 0 + e^{i \phi} |1 \rangle$

หากคุณคุ้นเคยกับตัวตนของออยเลอร์คุณอาจจำได้ $e^{i \phi}$ เป็นการหมุนในระนาบเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่ $Z$ เป็นการหมุนสำหรับ $\phi = \pi$ เราได้รับชื่อเสียง $e^{i \pi} = -1$ ในที่สุดก็มาถึง $|1 \rangle = - |1 \rangle$ .

— Norrius
แหล่งที่มา

1

นี่เป็นสิ่งที่ผิด การเขียน

| 1 ⟩ = - | 1 ⟩

$|1\rangle=-|1\rangle$ กำลังทำให้เข้าใจผิด: สิ่งเหล่านี้เป็นสถานะเทียบเท่าในการที่พวกเขาแตกต่างกันเพียงในช่วงโลก แต่สิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าเวกเตอร์ของรัฐเหมือนกัน คุณได้รับผลลัพธ์นั้นเนื่องจากคุณกำลังสมมติว่ามี bijection ระหว่างเวกเตอร์สถานะและจุดบน Bloch sphere ซึ่งไม่ใช่กรณี Bijection ตั้งอยู่ระหว่างจุดบนทรงกลมของ Bloch และสถานะที่อธิบายว่าเป็นเมทริกซ์ความหนาแน่น

— glS

@glS ขอบคุณ

1 = - 1

$1=-1$ หลังจากนั้นดูเหมือนว่าจะคาว มันเหมาะสมหรือไม่ที่จะปรับปรุงคำตอบนั้นจากมุมมองของคุณหรือมันผิดอย่างไร้ความหวัง?

— Norrius

นั่นคือการโทรของคุณ =) ฉันคิดว่าคำตอบที่ถูกต้องคือคำตอบของ DaftWullie (ฉันเชื่อว่าผู้ถามมีความเข้าใจผิดเหมือนกันกับคำตอบของคุณ) ฉันไม่เห็นคำตอบที่เหลือเกี่ยวกับคำถามนี้อีกเลย

— glS