จะเปลี่ยนรูปแบบอินพุต n-bit เป็นอย่างไร?

ฉันสนใจในอัลกอริทึมควอนตัมที่ได้รับเป็นอินพุทลำดับ n บิตและที่ผลิตออกเป็นรุ่น reshuffled (เปลี่ยนแปลง) ของลำดับ n บิตนี้

เช่นถ้าอินพุตเป็น 0,0,1,1 (ดังนั้น n = 4 ในกรณีนี้) คำตอบที่เป็นไปได้คือ:

0,0,1,1
0,1,0,1
0,1,1,0
1,0,0,1
1,0,1,0
1,1,0,0

โปรดทราบว่าควรสร้างเพียงหนึ่งเอาต์พุตซึ่งจะถูกเลือกแบบสุ่มในเอาต์พุตที่ใช้ได้ทั้งหมด

วิธีนี้จะนำไปใช้ที่ดีที่สุดในอัลกอริทึมควอนตัมได้อย่างไร?

คำตอบสำหรับเรื่องนี้ได้เสนอไปแล้วซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบสำหรับวิธีสร้างอัลกอริทึมควอนตัมที่สร้างลำดับ 2 n บิตด้วยจำนวน 1 บิตเท่ากันหรือไม่ . แต่ปัญหาของการแก้ปัญหาคือต้องใช้ $\binom{n}2$ ช่วย qubits ซึ่งมีขนาดใหญ่อย่างรวดเร็วถ้า n มีขนาดใหญ่

บันทึก:

โปรดอย่าให้อัลกอริทึมแบบดั้งเดิมโดยไม่มีคำอธิบายใด ๆ ว่าขั้นตอนของอัลกอริธึมแบบคลาสสิคสามารถแมปกับคอมพิวเตอร์ควอนตัมสากลได้อย่างไร
สำหรับฉันมี 2 วิธีที่ดีในการตีความ"เลือกแบบสุ่มระหว่างผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้" : (1) ผลลัพธ์ที่ดีที่เป็นไปได้แต่ละรายการมีโอกาสเท่าเทียมกันในการเลือก (2) ทุกผลลัพธ์ที่ดีที่เป็นไปได้มีโอกาส> 0 ของการถูกเลือก

algorithm

— JanVdA
แหล่งที่มา

การป้อนข้อมูลที่เป็นสตริงไบนารีของความยาวที่ของบิต 1 และส่งออกเป็นใด ๆของพีชคณิตเป็นไปได้ของมันได้หรือไม่ สิ่งนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมที่มี 1 ขั้นตอน คุณต้องการalllผลไปได้หรือไม่

n

$n$

k

$k$

(\binom{n}{k}) - 1

$\binom{n}{k}-1$

— user1271772

ไม่ควรสร้างเอาต์พุตเดียวเท่านั้นซึ่งจะถูกเลือกแบบสุ่มในเอาต์พุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด

— JanVdA

อัลกอริทึมแบบดั้งเดิมจะดีพอไหม (คุณยังสามารถเรียกใช้บนคอมพิวเตอร์ควอนตัมได้) หรือคุณต้องการ sth อันไหนดีกว่าอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมที่ดีที่สุด?

— Norbert Schuch

@JanVdA: ทำไมไม่เลือก 1 และ 0 ใดก็ได้แล้วสลับทั้งสองบนคอมพิวเตอร์แบบเก่า?

— user1271772

เมื่อคุณไม่ได้ระบุการกระจายแบบสุ่มที่คุณต้องการฉันจะปล่อยไว้ที่นี่: DilbertและXKCD ;)

— Ali

คำตอบ:

สามารถทำได้ด้วย qubits เพิ่มเติมตามบรรทัดเหล่านี้: $\lceil\log n\rceil$

แปลง qubits เพิ่มเติมเพื่อให้พวกเขาเข้ารหัสหมายเลข เลือกอย่างสม่ำเสมอ $k\in\{0,\ldots,n-1\}$

cyclically เปลี่ยนการป้อนข้อมูล qubitsครั้ง $k$

ขอให้คนสุดท้ายของ qubits การป้อนข้อมูลเดิมได้รับการแก้ไขเป็นส่งออกและ recurse ที่เหลือของพวกเขา $n-1$

นี่เป็นอัลกอริทึมแบบคลาสสิก แต่คุณสามารถเรียกใช้บนคอมพิวเตอร์ควอนตัมได้แน่นอนเพราะ Norbert ได้เสนอแนะในการแสดงความคิดเห็น (แง่มุมของคำถามที่ยืนกรานเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่เป็นควอนตัมยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันดังนั้นหากใช้อัลกอริทึมแบบดั้งเดิมเช่นที่ฉันแนะนำบนคอมพิวเตอร์ควอนตัมไม่เพียงพอก็จะเป็นประโยชน์สำหรับคำถามที่ ชี้แจง)

โปรดทราบว่าเนื่องจากคำถามถามหาผลลัพธ์แบบสุ่มอัลกอริธึมจะต้องสร้างเอนโทรปีในบางจุดสันนิษฐานว่าผ่านการวัดหรือการปฏิบัติการอื่น ๆ ที่ไม่รวมกันบน qubits (เช่นการเตรียมใช้งาน) ในอัลกอริทึมด้านบนเป็นขั้นตอนแรกที่สร้างเอนโทรปี: โดยไม่คำนึงถึงสถานะของ qubits เพิ่มเติมก่อนที่จะดำเนินการในขั้นตอนที่ 1 พวกเขาควรมีสถานะ หลังจากดำเนินการตามขั้นตอนที่ 1 แล้ว (โดยมีการเข้ารหัสเลขฐานสองสมมติว่า)

\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} | k ⟩ ⟨ k |

$\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n-1} \lvert k \rangle \langle k \rvert$

k

$k$

— John Watrous
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันสนใจในอัลกอริทึมควอนตัมจริงสำหรับปัญหา - ถ้าคุณสามารถแมปอัลกอริธึมแบบดั้งเดิมกับโปรแกรมควอนตัมแล้วมันก็ใช้ได้ แต่ฉันไม่มีเงื่อนงำว่าจะทำอย่างไร

— JanVdA

ฉันคิดว่าคำถามกำลังได้รับความสนใจ: คุณไม่ได้มองหาอัลกอริทึมจริงๆ แต่คุณกำลังมองหาโค้ด สิ่งที่ฉันอธิบายคืออัลกอริทึมและงานที่เหลือคือการใช้อัลกอริทึมนั้น (หรืออีกอันหนึ่ง) เป็นโค้ดในบางภาษาหรือเป็นคำอธิบายระดับต่ำของวงจรควอนตัม ฉันขอแนะนำให้คุณแก้ไขคำถามเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น - แต่ระวังให้ดีว่าคุณกำลังขอให้บางคนทำงานที่น่าเบื่อและไร้แนวคิดให้คุณ ทางเลือกในการเรียนรู้วิธีการทำสิ่งนี้ด้วยตัวเองอาจดูน่ากลัว แต่อาจกลายเป็นทางออกที่ดีกว่าในระยะยาว

— John Watrous

ฉันได้เพิ่มหมายเหตุไปที่คำถาม ฉันคิดว่าเราตีความอัลกอริทึมควอนตัมแนวคิด ต่างกัน สำหรับผม algorithm_ a_classical ไม่ได้เป็นอัลกอริทึมควอนตัมแต่อาจจะมีการแมปเป็นอัลกอริทึมควอนตัม

— JanVdA

@JanVdA: คุณหมายถึงอะไรโดยอัลกอริทึมควอนตัม? ตัวอย่างเช่นคุณต้องการให้เกี่ยวข้องกับเกทอย่างน้อยหนึ่งประตูหรือไม่? หรือว่ามันต้องมีอย่างน้อยหนึ่งประตู ? หรือว่ามันต้องมีชุดประตูเฉพาะอื่น ๆ ด้วย? คุณต้องการใช้ชุดเกตแบบใด

H

$H$

Y

$Y$

— user1271772

อัลกอริทึมควอนตัมเป็นอัลกอริทึมที่สามารถแมป (ที่ระดับขั้นตอน) กับโปรแกรมสำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัมสากล อินพุทและเอาท์พุทของขั้นตอนของอัลกอริทึมควอนตัมคือ qubits (หรืออาจแมปกับชุดของ qubits) ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมควอนตัม = อ่าน (สังเกต) ค่าของ qubits (ดังนั้น qubits จะถูกแมปกับบิตจริง) ไม่มีข้อ จำกัด ในชุดประตู แนวคิดก็คืออัลกอริทึมที่สมบูรณ์สามารถทำงานบนคอมพิวเตอร์ควอนตัมสากล

— JanVdA

หมายเหตุ: คำตอบนี้ถือว่าคุณต้องการให้การเรียงสับเปลี่ยนสอดคล้องกันนั่นคือคุณต้องการแทนที่จะเป็น 1/3 โอกาสของมีโอกาส 1/3 ของและมีโอกาสที่ 1/3 ของ100 $\frac{1}{\sqrt{3}} ( |001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$ $001$ $010$ $100$

ระวังวิธีที่คุณระบุงานนี้เพราะมันเป็นไปไม่ได้ง่ายมากเนื่องจากข้อ จำกัด ในการกลับตัว ตัวอย่างเช่นสำหรับอินพุตคุณต้องการส่งออกสถานะ GHZrangle) แต่ถ้าคุณต้องการส่งออกสถานะ GHZ สำหรับอินพุตและนั่นจะไม่ทำงาน คุณไม่สามารถส่งสถานะอินพุตหลายสถานะไปยังสถานะเอาต์พุตเดียวกัน (โดยไม่มี decoherence) ตราบใดที่คุณพูดว่า "ฉันสนใจเฉพาะอินพุตที่เรียงลำดับจากน้อยไปมากเช่น 0000111 แต่ไม่ใช่ 1110000 หรือ 0010110 คุณสามารถทำสิ่งที่คุณต้องการกับสิ่งเหล่านี้ได้" สิ่งนี้จะใช้ได้ $|001\rangle$ $\left| {3 \atop 1} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$ $|010\rangle$ $|100\rangle$

เคล็ดลับหนึ่งในการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนควอนตัมของอินพุตที่เรียงลำดับคือการเตรียม "สถานะการเปลี่ยนแปลง" โดยการใช้เครือข่ายการเรียงลำดับกับรายการค่าเมล็ดในแต่ละครั้ง เครือข่ายการเรียงลำดับจะส่งออก qubits ที่ถือเมล็ดที่เรียงลำดับ แต่ยัง qubits ที่ถือการเปรียบเทียบเครือข่ายการเรียงลำดับ สถานะการเรียงสับเปลี่ยนเป็นเพียงการเปรียบเทียบ qubits เพื่อนำไปใช้กับอินพุตของคุณคุณเพียงเรียกใช้อินพุตผ่านเครือข่ายการเรียงลำดับในสิ่งที่ตรงกันข้าม โปรดทราบว่ามีรายละเอียดที่ซับซ้อนบางอย่างที่นี่; ดูกระดาษ " เทคนิคที่ได้รับการปรับปรุงเพื่อเตรียม Eigenstates ของ Fermionic Hamiltonians " คุณต้องสรุปเทคนิคนี้เพื่อทำงานกับอินพุตด้วยค่าซ้ำ ๆ แทนที่จะเป็นค่าเฉพาะ

คุณอาจต้องการดู "การบีบอัดควอนตัม " ซึ่งเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ States (การซ้อนทับที่เหมือนกันของสถานะ bit ทั้งหมดที่มีชุดบิต ) ที่คุณต้องการสร้าง ความแตกต่างที่สำคัญคือคุณจะใช้วงจรการบีบอัดควอนตัมในทางกลับกันและคาดว่าจะมีการเข้ารหัสตัวเลข "มีกี่อัน" แทน "ให้สถานะกับจำนวนที่ถูกต้อง" $\left| {n \atop k} \right\rangle$ $n$ $k$

ฉันเดาว่าสิ่งที่ฉันพูดคือการผลิตรัฐเหล่านี้ซับซ้อนกว่าที่คุณคาดไว้ ฉันคิดว่าเหตุผลที่ซับซ้อนคือเพราะขนาดของแอมพลิจูดในเอาต์พุตของคุณขึ้นอยู่กับสถานะพื้นฐานการคำนวณของอินพุตของคุณ ตัวอย่างเช่นสำหรับคุณต้องการเอาท์พุทซึ่งเป็น superposition ของสี่สถานะคลาสสิกดังนั้นคุณจึงมี prefactor ของซ่อนอยู่ใน\ แต่สำหรับเอาต์พุตที่ต้องการมีหกสถานะคลาสสิกและซ่อน prefactor ของ{6}} $|0001\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{4}}$ $\left| {4 \atop 1} \right\rangle$ $|0011\rangle$ $\left| {4 \atop 2} \right\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{6}}$

— Craig Gidney
แหล่งที่มา

ฉันต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเพื่อให้ความสำคัญกับคำตอบของคุณ แต่ฉันไม่เห็นด้วยกับย่อหน้าที่ 2 ของคุณเกี่ยวกับข้อ จำกัด ในการกลับรายการ โปรดทราบว่าคุณได้ใช้เป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับแต่มีวิธีแก้ปัญหามากมายที่เราใช้งานอยู่ ด้วยตัวเลขที่ซับซ้อน (เช่นต่อไปนี้เป็นวิธีที่เป็นไปได้

\frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩)

$\frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$

| 001 ⟩

$|001\rangle$

\frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ - | 010 ⟩ + i . | 100 ⟩)

$\frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle - |010\rangle + i. |100\rangle)$

— JanVdA

@JanVdA ถูกต้องเราสามารถใช้เฟสเพื่อสร้างเอาท์พุตแบบมุมฉากได้ การอ่านคำถามของคุณคือคุณต้องการระยะเดียวกันในทุกกรณี

— Craig Gidney

คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถทำการคำนวณแบบดั้งเดิม อัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดคือ:

เลือกบิตใดก็ได้ (เร็วที่สุดที่คุณสามารถเข้าถึงได้)
หาบิตที่มีค่าตรงข้าม (ถ้าในขั้นตอนที่ 1 คุณได้รับ 0, หา 1)
เปลี่ยนพวกเขา (0 กลายเป็น 1 และ 1 กลายเป็น 0)

ขั้นตอนที่ 2 เกี่ยวข้องกับการค้นหาผ่านสตริงบิตซึ่งใช้การดำเนินการแบบคลาสสิกจะใช้การดำเนินการแต่ถ้าคุณสามารถรับค่าบิตโดยการประเมินฟังก์ชันคุณอาจจะสามารถ การใช้อัลกอริทึมควอนตัมโกรเวอร์หาบิตตรงข้ามกับการดำเนินงาน $N$ $\mathcal{O}(N)$ $n^{\textrm{th}}$ $\mathcal{O}\left(\sqrt{N}\right)$

— user1271772
แหล่งที่มา

ขอบคุณ แต่อัลกอริทึมจะเปลี่ยนเพียง 2 บิต (ดังนั้นมันจะไม่สร้างการเปลี่ยนลำดับทั้งหมด) และมันก็ยังเป็นอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมในขณะที่ฉันต้องการจะดูอัลกอริทึมควอนตัม

— JanVdA