ในการสุ่มตัวอย่าง bosonถ้าเราเริ่มต้นด้วย 1 โฟตอนในแต่ละโหมดแรก$M$ของ interferometer ความน่าจะเป็นในการตรวจจับ 1 โฟตอนในแต่ละโหมดเอาต์พุตคือ: $|\textrm{Perm}(A)|^2$โดยที่คอลัมน์และแถวของ$A$เป็นคอลัมน์แรก$M$ของเมทริกซ์ที่รวมกันของ interferometer $U$และแถวทั้งหมด

สิ่งนี้ทำให้ดูเหมือนว่าสำหรับการรวมกันของ$U$เราสามารถสร้าง interferometer ที่เหมาะสมสร้างเมทริกซ์$A$และคำนวณค่าสัมบูรณ์ของการถาวรของ$A$โดยการหาสแควร์รูทของความน่าจะเป็นในการตรวจจับโฟตอนหนึ่งในแต่ละโหมด ได้รับจากการทดสอบการสุ่มตัวอย่าง boson) เรื่องนี้เป็นเรื่องจริงหรือมีเรื่องเล่าอะไรบ้าง?มีคนบอกฉันว่าคุณไม่สามารถรับข้อมูลเกี่ยวกับการถาวรจากการสุ่มตัวอย่างโบซอนได้

นอกจากนี้สิ่งที่เกิดขึ้นกับส่วนที่เหลือของคอลัมน์ของ$U$ : วิธีการว่ามันคือการที่ผลการทดลองเท่านั้นขึ้นอยู่กับคนแรกที่$M$คอลัมน์ของ$U$และทุกแถวของมัน แต่ไม่ได้ทั้งหมดในคอลัมน์อื่น ๆ ของ$U$ ? คอลัมน์ของเหล่านั้น$U$ไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทดสอบในโหมดแรก$M$เลยใช่ไหม

มันดูเหมือนจะเป็นจริงจนถึงจุดหนึ่ง เมื่อฉันอ่านกระดาษ Scott Aaronson มันบอกว่าถ้าคุณเริ่มต้นด้วย 1 โฟตอนในแต่ละโหมดแรกของ interferometer และค้นหาความน่าจะเป็นP Sที่เซตs i photons จะถูกส่งออกในแต่ละโหมดi ∈ { 1 , ... , N }โดยที่∑ i s i = M , คือ P s = | ต่อ (A) | $M$$P_S$$s_i$$i\in\{1,\ldots, N\}$$\sum_is_i=M$ ดังนั้นถ้าคุณใช้อินสแตนซ์พิเศษโดยที่si=0หรือ 1 สำหรับทุกเอาต์พุตที่เป็นไปได้ใช่ความน่าจะเป็นเท่ากับค่าถาวรของAโดยที่Aคือคอลัมน์MแรกของUและเซตย่อยเฉพาะของMแถวที่ระบุไว้ตามสถานที่ตั้งของฉัน=1 ดังนั้นนี่ไม่ได้ค่อนข้างตามที่ระบุไว้ในคำถาม: มันไม่ได้เป็นทุกแถว แต่มีเพียงบางส่วนเท่านั้น

นี่ควรจะค่อนข้างชัดเจน สมมติว่าผมมีเมทริกซ์วี ถ้าฉันเริ่มต้นในบางสถานะ| 0 ⟩และค้นหาผลิตภัณฑ์V | 0 ⟩จากนั้นรู้ว่าบอกฉันน้อยมากเกี่ยวกับผลลัพธ์V | 1 ⟩และV | 2 ⟩นอกเหนือจากสิ่งที่สามารถพูดได้จากความรู้ที่ว่าVรวมกันและด้วยเหตุนี้คอลัมน์และแถวจึงเป็นแบบออโธเทนนิมอล$3\times 3$$V$$|0\rangle$$V|0\rangle$$V|1\rangle$$V|2\rangle$$V$

ปัญหาหนึ่งที่ต้องระวังคือความถูกต้อง: คุณเรียกใช้ครั้งนี้และสิ่งที่คุณได้รับคือตัวอย่างเดียวตามการกระจายความน่า s คุณเรียกใช้สิ่งนี้สองสามครั้งและคุณเริ่มสร้างข้อมูลเกี่ยวกับความน่าจะเป็นต่าง ๆ คุณเรียกใช้เวลาเพียงพอและคุณสามารถได้รับคำตอบที่ถูกต้องตามอำเภอใจ แต่มีจำนวนเพียงพอหรือไม่ มีสองวิธีที่แตกต่างกันที่คุณสามารถวัดข้อผิดพลาดในการประมาณการของมูลค่าเป็นพี คุณสามารถเรียกร้องทั้งสารเติมแต่งผิดพลาดพี± εหรือข้อผิดพลาดคูณ, P ( 1 ± ε ) เนื่องจากเราคาดหวังว่าความน่าจะเป็นโดยทั่วไปจะน้อยมากในn + $P_s$$p$$p\pm\epsilon$$p(1\pm\epsilon)$$n+m$ข้อผิดพลาดทวีคูณต้องการความแม่นยำสูงกว่าซึ่งไม่สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพผ่านการสุ่มตัวอย่าง ในทางตรงกันข้ามการประมาณข้อผิดพลาดเพิ่มเติมสามารถทำได้

ในขณะที่ข้อผิดพลาดทวีคูณเป็นสิ่งที่คนมักจะต้องการที่จะคำนวณข้อผิดพลาดการเติมอาจเป็นนิติบุคคลที่น่าสนใจ ยกตัวอย่างเช่นในการประเมินผลของพหุนามโจนส์

Aaronson ชี้ให้เราย้อนกลับไปในเวลาที่การเชื่อมโยงระหว่างการสุ่มตัวอย่าง Boson และปลัดเกิดขึ้นเป็นครั้งแรก:

มันได้รับการรู้จักกันมาตั้งแต่การทำงานโดยCaianielloในปี 1953 (ถ้าไม่ได้ก่อนหน้านี้) ที่กว้างของคลื่นสำหรับกระบวนการ -boson สามารถเขียนเป็นน้ำยาดัดของn × nเมทริกซ์$n$$n\times n$

แทนการสนับสนุนหลักของพวกเขา

คือการพิสูจน์การเชื่อมต่อระหว่างความสามารถของคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิคในการแก้ปัญหาการสุ่มตัวอย่าง Boson โดยประมาณและความสามารถในการประมาณค่าแบบถาวร

คือการเข้าใจปัญหาการประมาณที่เกี่ยวข้องเช่นการสุ่มตัวอย่าง จำกัด และเพื่ออธิบายผลที่ซับซ้อนของการคำนวณที่เกี่ยวข้อง: เราเชื่อว่าสิ่งนั้นยากที่จะประเมินแบบคลาสสิก

คุณไม่สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพกู้คืนค่าสัมบูรณ์ของแอมพลิจูดแต่หากคุณอนุญาตให้มีตัวอย่างจำนวนมากโดยพลการคุณสามารถประมาณค่าได้ตามระดับความแม่นยำที่คุณต้องการ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากสถานะอินพุตเป็นโฟตอนเดียวในแต่ละโหมดแรกและหนึ่งยินดีที่จะดึงจำนวนตัวอย่างโดยพลการจากเอาต์พุตมันเป็นหลักการที่เป็นไปได้ในการประมาณค่าถาวรของAถึงระดับใดก็ตาม ความแม่นยำหนึ่งเดียวโดยการนับเศษของเวลาที่โฟตอนอินพุทnออกมาในพอร์ตเอาต์พุตn ตัวแรก มีข้อสังเกตว่าสิ่งนี้ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการสุ่มตัวอย่างของ Boson มากนักเนื่องจากผลของความแข็งยังคงอยู่ในระบอบการปกครองของจำนวนโหมดที่ใหญ่กว่าจำนวนโฟตอนและเป็นเรื่องเกี่ยวกับประสิทธิภาพของการสุ่มตัวอย่าง$n$$A$$n$$n$

BosonSampling

I'll try a very brief introduction to what boson sampling is, but it should be noted that I cannot possibly do a better job at this than Aaronson himself, so it's probably a good idea to have a look at the related blog posts of his (e.g. blog/?p=473 and blog/?p=1177), and links therein.

BosonSampling is a sampling problem. This can be a little bit confusing in that people are generally more used to think of problems having definite answers. A sampling problem is different in that the solution to the problem is a set of samples drawn from some probability distribution.

Indeed, the problem a boson sampler solves is that of sampling from a specific probability distribution. More specifically, sampling from the probability distribution of the possible outcome (many-boson) states.

$(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$ (that is, a single photon in each of the two first two input modes). Ignoring the output states with more than one photon in each mode, there are $\binom{4}{2}=6$$(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ and $(0,0,1,1)$. Let us denote for convenience with $o_i, i=1,.,6$ the $i$-th one (so, for example, $o_2=(1,0,1,0)$). Then, a possible solution to BosonSampling could be the series of outcomes:

To make an analogy to a maybe more familiar case, it's like saying that we want to sample from a Gaussian probability distribution. This means that we want to find a sequence of numbers which, if we draw enough of them and put them into a histogram, will produce something close to a Gaussian.

Computing permanents

It turns out that the probability amplitude of a given input state $|\boldsymbol r\rangle$ to a given output state $|\boldsymbol s\rangle$ is (proportional to) the permanent of a suitable matrix built out of the unitary matrix characterizing the (single-boson) evolution.

More specifically, if $\boldsymbol R$ denotes the mode assignment list${}^{(1)}$ associated to $|\boldsymbol r\rangle$, $\boldsymbol S$ that of $|\boldsymbol s\rangle$, and $U$ is the unitary matrix describing the evolution, then the probability amplitude $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ of going from $|\boldsymbol r\rangle$ to $|\boldsymbol s\rangle$ is given by

Thus, considering the fixed input state $|\boldsymbol r_0\rangle$, the probability distribution of the possible outcomes is given by the probabilities

BosonSampling is the problem of drawing "points" according to this distribution.

This is not the same as computing the probabilities $p_s$, or even computing the permanents themselves. Indeed, computing the permanents of complex matrices is hard, and it is not expected even for quantum computers to be able to do it efficiently.

The gist of the matter is that sampling from a probability distribution is in general easier than computing the distribution itself. While a naive way to sample from a distribution is to compute the probabilities (if not already known) and use those to draw the points, there might be smarter ways to do it. A boson sampler is something that is able to draw points according to a specific probability distribution, even though the probabilities making up the distribution itself are not known (or better said, not efficiently computable).

Furthermore, while it may look like the ability to efficiently sample from a distribution should translate into the ability of efficiently estimating the underlying probabilities, this is not the case as soon as there are exponentially many possible outcomes. This is indeed the case of boson sampling with uniformly random unitaries (that is, the original setting of BosonSampling), in which there are $\binom{m}{n}$ possible $n$-boson in $m$-modes output states (again, neglecting states with more than one boson in some mode). For $m\gg n$, this number increases exponentially with $n$. This means that, in practice, you would need to draw an exponential number of samples to even have a decent chance of seeing a single outcome more than once, let alone estimate with any decent accuracy the probabilities themselves (it is important to note that this is not the core reason for the hardness though, as the exponential number of possible outcomes could be overcome with smarter methods).

In some particular cases, it is possible to efficiently estimate the permanent of matrices using a boson sampling set-up. This will only be feasible if one of the submatrices has a large (i.e. not exponentially small) permanent associated with it, so that the input-output pair associated with it will happen frequently enough for an estimate to be feasible in polynomial time. This is a very atypical situation, and will not arise if you draw unitaries at random. For a trivial example, consider matrices that are very close to identity - the event in which all photons come out in the same modes they came in will correspond to a permanent which can be estimated experimentally. Besides only being feasible for some particular matrices, a careful analysis of the statistical error incurred in evaluating permanents in this way shows that this is not more efficient than known classical algorithms for approximating permanents (technically, within a small additive error) ${}^{(2)}$.

Columns involved

Let $U$ be the unitary describing the one-boson evolution. Then, basically by definition, the output amplitudes describing the evolution of a single photon entering in the $k$-th mode are in the $k$-th column of $U$.

The unitary describing the evolution of the many-boson states, however, is not actually $U$, but a bigger unitary, often denoted by $\varphi_n(U)$, whose elements are computed from permanents of matrices built out of $U$.

Informally speaking though, if the input state has photons in, say, the first $n$ modes, then naturally only the first $n$ columns of $U$ must be necessary (and sufficient) to describe the evolution, as the other columns will describe the evolution of photons entering in modes that we are not actually using.

(1) This is just another way to describe a many-boson state. Instead of characterizing the state as the list of occupation numbers for each mode (that is, number of bosons in first mode, number in second, etc.), we characterize the states by naming the mode occupied by each boson. So, for example, the state $(1, 0, 1, 0)$ can be equivalently written as $(1, 3)$, and these are two equivalent ways to say that there is one boson in the first and one boson in the third mode.

(2): S. Aaronson and T. Hance. "Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/