วิธีการตีความวงจรควอนตัมเป็นเมทริกซ์?

หากวงจรใช้มากกว่าหนึ่ง qubit เป็นอินพุตและมีประตูควอนตัมซึ่งใช้จำนวนของ qubits ต่างกันเราจะตีความวงจรนี้เป็นเมทริกซ์ได้อย่างไร

นี่คือตัวอย่างของเล่น:

วงจรเฉพาะ

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$

$H\otimes I$$I$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

ต่อไปเรามีประตู CNOT โดยปกติจะแสดงโดย

$$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$

นี่คือขนาดที่เหมาะสมสำหรับสอง qubits ดังนั้นเราไม่จำเป็นต้องปรับขนาดด้วยผลิตภัณฑ์ kronecker จากนั้นเรามีประตูฮาดามาร์ดอีกอันหนึ่งซึ่งมีขนาดเท่ากันเป็นประตูแรก ในการค้นหาเมทริกซ์โดยรวมของวงจรจากนั้นเราคูณพวกมันทั้งหมดเข้าด้วยกัน:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

and get

$$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$$

(if python multiplied correctly =) We would then multiply this by our original qubit state, and get our result.

Generalization

So basically, you go through each gate one by one, take the base representation, and scale them appropriately using kronecker products with identity matrices. Then you multiply all the matrices together in the order they are applied. Be sure to do this such that if you wrote out the multiplication, the very first gate is on the far right; as arriopolis points out, this is a common mistake. Matrices are not commutative! If you don't know the base representation of a matrix, check first wikipedia's article on quantum gates which has a lot.