การคำนวณควอนตัมแบบอะเดียแบติกสามารถเร็วกว่าอัลกอริธึมของโกรเวอร์ได้หรือไม่?

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าการประมวลผลควอนตัมแบบอะเดียแบติกเทียบเท่ากับ "มาตรฐาน" หรือการคำนวณควอนตัมแบบเกท อย่างไรก็ตามการคำนวณแบบอะเดียแบติกแสดงให้เห็นถึงสัญญาสำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสมซึ่งวัตถุประสงค์คือเพื่อลด (หรือขยาย) ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งนั่นคือการค้นหาอินสแตนซ์ที่ย่อเล็กสุด ปัญหา.

ตอนนี้สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าอัลกอริทึมของ Grover สามารถทำสิ่งเดียวกันได้โดยการค้นหาพื้นที่ของโซลูชันมันจะหาวิธีแก้ปัญหาหนึ่ง (ซึ่งอาจจะเป็นทางออกหลายอย่าง) ซึ่งเป็นไปตามเกณฑ์พยากรณ์ของออราเคิลซึ่งในกรณีนี้ ในเวลาโดยที่$O(\sqrt N)$$N$คือขนาดของพื้นที่โซลูชัน

อัลกอริทึมนี้ได้รับการแสดงว่าเหมาะสมที่สุด: ตาม Bennett และคณะ (1997) กล่าวว่า "คลาสไม่สามารถแก้ไขได้บนเครื่องควอนตัมทัวริงในเวลาo ( 2 n / 2 ) " ในความเข้าใจของฉันนี่หมายความว่าไม่มีวิธีสร้างอัลกอริทึมควอนตัมใด ๆ ที่ค้นหาวิธีแก้ปัญหาด้วยการค้นหาพื้นที่เร็วกว่าO ( $\rm NP$$o(2^{n/2})$โดยที่Nปรับขนาดด้วยปัญหา$O(\sqrt N)$$N$

ดังนั้นคำถามของฉันคือ: ในขณะที่การคำนวณควอนตัมแบบอะเดียแบติกมักจะแสดงให้เห็นว่าดีกว่าเมื่อพูดถึงปัญหาการปรับให้เหมาะสมจริง ๆ แล้วมันจะเร็วกว่า? ถ้าใช่สิ่งนี้ดูเหมือนจะขัดแย้งกับการหาค่าเหมาะที่สุดของอัลกอริทึมของ Grover เนื่องจากอัลกอริธึมแบบอะเดียแบติกสามารถถูกจำลองโดยวงจรควอนตัม ถ้าไม่จุดประสงค์ของการพัฒนาอัลกอริธึมอะเดียแบติกคืออะไรถ้ามันไม่เคยเร็วกว่าสิ่งที่เราสามารถสร้างขึ้นด้วยวงจรอย่างเป็นระบบ หรือมีบางอย่างผิดปกติกับความเข้าใจของฉัน?$O(\sqrt N)$

คำถามที่ดี. สำหรับการค้นหาที่ไม่มีโครงสร้างการคำนวณควอนตัมอะเดียแบติกให้แน่นอนเหมือนกัน speedup ว่าอัลกอริทึมมาตรฐานประตูตามโกรเวอร์ไม่เป็นที่พิสูจน์แล้วในนี้$\sqrt{N}$กระดาษที่สำคัญโดย Roland และ Cerf สิ่งนี้เห็นด้วยกับการเทียบเท่าระหว่างการคำนวณควอนตัมแบบอะเดียแบติกและแบบเกตที่คุณกล่าวถึง

(การแก้ไขเล็กน้อยสำหรับคำถามของคุณ: คุณถูกต้องว่าในการตั้งค่าสำหรับปัญหา oracle-search คุณต้องกำหนดกรอบการค้นหาของคุณเป็นคำถามใช่ / ไม่ใช่ที่ oracle สามารถตอบได้ แต่คำถามไม่ได้ถูกนำมาใช้จริง จะเป็น "ทำขยายฟังก์ชันf ( x )หรือไม่" ตามที่คุณเสนอ แต่มันคือ "คือf ( x )น้อยกว่าหรือเท่ากับM " ดูภาพนิ่งที่ 9 และ 10 ที่นี่นั่นเป็นเพราะ oracle สำหรับหลัง คำถามนั้นถือเป็นแบบจำลองที่เหมือนจริงมากขึ้นสำหรับการตั้งค่าทางกายภาพเป็นไปได้ว่าเราสามารถคำนวณหรือวัด f ( x ) ได้โดยตรง สำหรับx ที่กำหนด$x$$f(x)$$f(x)$$M$$f(x)$$x$โดยตรงแต่ )$f(x) - f_\text{min}$

อย่างไรก็ตามมีข้อได้เปรียบสองประการที่อาจเกิดขึ้นกับ QC แบบอะเดียแบติกซึ่งทั้งสองวิธีนั้นยากที่จะศึกษาในทางทฤษฎี สิ่งแรกคือในทางปฏิบัติ: จริง ๆ แล้วการสร้างวงจรควอนตัมขนาดใหญ่ที่เชื่อมโยงกันเป็นเรื่องยากมากที่เพิ่งวาดพวกเขาในบทความวารสาร แม้ว่า QC แบบอะเดียแบติกไม่ได้มีข้อได้เปรียบพื้นฐานใด ๆจากการตั้งค่าแบบดั้งเดิม แต่อาจจะง่ายกว่ามากในการใช้การทดลอง

ประการที่สองข้อแม้ขนาดใหญ่เดียวกันนี้นำไปใช้กับ AQC กับอัลกอริทึมของ Grover มาตรฐาน: ใช้ได้กับเท่านั้น โครงสร้างที่ไม่มีโครงสร้างหรือ "กล่องดำ" เท่านั้นซึ่งเราไม่สนใจความสัมพันธ์ใด ๆ ระหว่างคำตอบที่ Oracle ให้เมื่อป้อนใน ข้อความค้นหาที่เกี่ยวข้อง ปัญหาการค้นหาจริงใด ๆ ที่เราใส่ใจโดยนิยามจะมีโครงสร้างบางอย่างแม้ว่าโครงสร้างนี้อาจซับซ้อนเกินกว่าที่เราจะวิเคราะห์ได้ ตัวอย่างเช่นถ้าเราคิดว่าฟังก์ชั่นจะถูกทำให้สุดขั้วเป็นแนวพลังงานดูเหมือนว่ามีเหตุผลที่ระบบสามารถอุโมงค์ระหว่าง "ท้องถิ่น" ใกล้เคียงกับมินิมาน้อยกว่าระหว่าง "ไกล"

$\subset$

Adiabatic quantum computation cannot do anything faster than circuit-based quantum computation from a computational complexity perspective. This is because there is a mathematical proof that circuit-based quantum computation can efficiently simulate adiabatic quantum computation [see section 5 of this paper].

can it really be faster than $\mathcal{O}(\sqrt{N})$?

The answer is no. This is because if AQC could do it in, say, $\mathcal{O}(\log{N})$, then circuit-based QC could also do it in $\mathcal{O}(\log{N})$ by the algorithm in section 5 of the paper I linked above. This would violate the optimality of $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ for unstructured search.