ความสัมพันธ์ระหว่างประตู Toffoli กับกล่อง Popescu-Rohrlich คืออะไร?

พื้นหลัง

ประตู Toffoli เป็นประตูลอจิกแบบคลาสสิกอินพุต 3 และ 3 เอาต์พุต มันจะส่งการy)) มันมีความสำคัญที่มันเป็นสากลสำหรับการคำนวณย้อนกลับ (คลาสสิก)$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

กล่อง Popescu-Rohrlich เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่สัญญาณ มันต้องใช้คู่ของปัจจัยการผลิตและผลความพึงพอใจของดังกล่าวว่าและมีทั้งตัวแปรสุ่มเครื่องแบบ มันเป็นสากลสำหรับระดับหนึ่งของความสัมพันธ์ ( แต่ไม่ทั้งหมด ) ไม่ใช่สัญญาณ$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

ตาของฉันทั้งสองวัตถุที่มีลักษณะคล้ายอย่างมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราเพิ่มกล่องประชาสัมพันธ์โดยมีมันเอาท์พุทy)) ช่อง PR 2 ช่องสัญญาณอินพุต 4 ช่อง "เป็น" ประตู Toffoli 3 ช่องสัญญาณ 3 ช่องสัญญาณ แต่มีอินพุตที่สามแทนที่ด้วยเอาต์พุตแบบสุ่ม แต่ฉันไม่สามารถค้นหาการอ้างอิงใด ๆ ที่เกี่ยวข้องได้$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

คำถาม

ความสัมพันธ์ระหว่างประตู Toffoli กับกล่อง Popescu-Rohrlich คืออะไร? มีบางสิ่งที่เหมือนกันระหว่างวงจรคลาสสิกย้อนกลับและความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่การส่งสัญญาณที่แมปหนึ่งถึงอีกวงจรหนึ่งหรือไม่?

ข้อสังเกต

1. การระบุความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่สัญญาณไม่ใช่แค่ฟังก์ชั่นเท่านั้น แต่ยังเป็นการกำหนดค่าของอินพุตและเอาต์พุตแต่ละตัวให้กับปาร์ตี้ที่ควบคุมมัน กล่อง PR ไม่มีการส่งสัญญาณอีกต่อไปถ้าเราอนุญาตให้อลิซใส่ทั้งอินพุตและ Bob เพื่ออ่านเอาต์พุตทั้งสอง หรือในการ "เติม" PR-กล่องของเราถ้าอลิซอินพุทเธอจะต้องยังเป็นหนึ่งในคนที่อ่านสำเนาของxดังนั้นจึงดูเหมือนว่าไม่ใช่เรื่องสำคัญที่จะตัดสินว่าสำหรับวงจรทั่วไป (ด้วยอินพุตบางอันอาจแทนที่ด้วยเอาต์พุตแบบสุ่ม) วิธีการอินพุตและเอาต์พุตทั้งหมดสามารถกำหนดให้กับฝ่ายต่างๆเช่นการสื่อสารที่เป็นไปไม่ได้$x$$x$

2. เราสามารถใช้ขั้นตอนข้างต้นกับตรรกะประตูใด ๆ รวมถึงสิ่งที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ ตัวอย่างเช่นเราสามารถใช้ AND และแทนที่หนึ่งในอินพุตด้วยเอาต์พุตแบบสุ่มและรับฟังก์ชั่นหนึ่งอินพุตและคู่โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอ อย่างไรก็ตามเป็นปรับอากาศบนดังนั้นเพียงวิธีนี้อาจจะไม่ใช่การส่งสัญญาณคือถ้าอลิซที่ปัจจัยได้รับแต่ขั้นตอนนี้สามารถทำซ้ำคลาสสิกกับแหล่งที่มาของการสุ่ม ดังนั้นฉันจึงคาดหวังว่าการรวมประตูที่ไม่สามารถย้อนกลับได้จะไม่ขยายชั้นความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่สัญญาณที่เราสามารถสร้างได้$x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$

วิธีที่เป็นธรรมชาติในการเชื่อมโยงประตู Toffoli และกล่อง PR คือการเห็นทั้งสองเป็นตัวแทนของฟังก์ชัน AND ของอินพุตไบนารีสองตัว แต่ในวิธีที่ต่างกัน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชั่น AND นั้นเห็นได้ชัดและเป็นที่ยอมรับโดยคำถาม แต่ฉันจะแสดงในลักษณะที่แตกต่างกันเล็กน้อย:

1. ประตู Toffoli นั้นเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติในการแสดงและเป็นฟังก์ชันที่สามารถย้อนกลับได้ มันเป็นไปตามรูปแบบปกติของการเป็นตัวแทนของฟังก์ชั่นโดยพลการย้อนกลับเป็น\$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. กล่อง PR สามารถมองเห็นเป็นรูปแบบกระจายของฟังก์ชั่นและ เอาต์พุตของกล่อง PR บนอินพุตสามารถแสดงเป็นหรือเทียบเท่าเป็นโดยที่เป็นบิตสุ่มที่สร้างขึ้นอย่างสม่ำเสมอ เอาต์พุตของกล่อง PR จึงมีทั้งแบบสุ่มที่มีความสัมพันธ์อย่างสมบูรณ์หรือคู่ที่มีความสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์ของบิตสุ่มขึ้นอยู่กับว่าและของอินพุตเป็น 0 หรือ 1 ตามลำดับ สิ่งนี้น่าสนใจเพราะอลิซและบ็อบรู้จักเอาท์พุทของฟังก์ชั่น AND (ซึ่งพวกเขาสามารถหาได้โดยการคำนวณ XOR ของบิตเอาต์พุต) ในขณะที่พวกเขาไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับค่านี้เลย$(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$

แนวคิดที่ว่ากล่อง PR คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพและฟังก์ชั่นแบบกระจายนี้เป็นแนวคิดหลักในการพิสูจน์ของ Wim van Dam ว่าความซับซ้อนของการสื่อสารกลายเป็นเรื่องเล็กน้อยเมื่อมีกล่อง PR:

วิมแวนฟาน ผลที่ไม่น่าเชื่อของ nonlocality ที่เหนือชั้น การคำนวณแบบธรรมชาติ 12 (1): 9-12, 2013