เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเพิ่มความเร็วในการสร้างเมทริกซ์การถ่วงน้ำหนักโดยใช้อัลกอริทึมควอนตัม?

ในนี้^[1]กระดาษหน้า 2 พวกเขาพูดถึงว่าพวกเขาจะสร้างเมทริกซ์น้ำหนักดังนี้

โดยที่ 's เป็นตัวอย่างการฝึกอบรมมิติ (เช่นโดยที่ ) และมีตัวอย่างการฝึกอบรมทั้งหมด การสร้างเมทริกซ์การถ่วงน้ำหนักนี้โดยใช้การคูณเมทริกซ์ตามด้วยผลรวมของเงื่อนไขดูเหมือนว่าเป็นการดำเนินการที่มีค่าใช้จ่ายสูงในแง่ของเวลาที่ซับซ้อนเช่นฉันเดา (?)$\mathbf{x}^{(m)}$$d$$\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$$x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$$M$$M$$O(Md)$

มีอัลกอริทึมควอนตัมใด ๆ ที่สามารถให้ความเร็วที่มากขึ้นสำหรับการสร้างเมทริกซ์การถ่วงน้ำหนักหรือไม่? ฉันคิดว่าในกระดาษการเร่งความเร็วหลักของพวกเขามาจากอัลกอริทึมการกลับตัวของควอนตัมควอนตัม (ซึ่งถูกกล่าวถึงในภายหลังบนกระดาษ) แต่ดูเหมือนว่าพวกเขาไม่ได้คำนึงถึงแง่มุมของการสร้างเมทริกซ์ถ่วงน้ำหนักนี้

[1]: Quantum Hopfield Neural Network Lloyd และคณะ (2018)

รับเมทริกซ์ความหนาแน่นรายละเอียดจำนวนมากมีอยู่ในย่อหน้าต่อไปนี้ในหน้า 2:

สิ่งสำคัญสำหรับการดัดแปลงควอนตัมของโครงข่ายประสาทคือการอ่านในรูปแบบการเปิดใช้งานแบบดั้งเดิม ในการตั้งค่าของเราการอ่านในรูปแบบการเปิดใช้งานจำนวนเงินที่จะเตรียมความพร้อมของรัฐควอนตัมx> ในหลักการนี้สามารถทำได้โดยใช้เทคนิคการพัฒนาของหน่วยความจำเข้าถึงควอนตัมแบบสุ่ม (qRAM) [33] หรือการเตรียมสถานะควอนตัมที่มีประสิทธิภาพซึ่งถูก จำกัด โดยใช้ oracle ตามผลลัพธ์ที่มีอยู่ [34] ในทั้งสองกรณีค่าใช้จ่ายในการคำนวณลอการิทึมในแง่ของdอีกวิธีหนึ่งสามารถปรับมุมมองควอนตัมอย่างเต็มที่และใช้รูปแบบการเปิดใช้งาน$x$$|x〉$$d$$|x〉$โดยตรงจากอุปกรณ์ควอนตัมหรือเป็นผลลัพธ์ของช่องควอนตัม สำหรับอดีตเวลาในการเตรียมการของเรานั้นมีประสิทธิภาพเมื่อใดก็ตามที่อุปกรณ์ควอนตัมประกอบด้วยจำนวนของการปรับสเกลที่ polynomially มากที่สุดกับจำนวนของ qubits แต่ในระยะหลังเรามักจะมองว่าช่องทางนั้นเป็นรูปแบบหนึ่งของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างสภาพแวดล้อมระบบคงที่ซึ่งไม่ต้องการค่าใช้จ่ายในการคำนวณ

การอ้างอิงในด้านบนคือ:

[33]: V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone, หน่วยความจำเข้าถึงโดยสุ่มของ Quantum, จดหมายทบทวนทางกายภาพ 100, 160501 (2008) [ ลิงก์ PRL , ลิงก์ arXiv ]

[34]: Soklakov, R. Schack, การเตรียมสถานะที่มีประสิทธิภาพสำหรับการลงทะเบียนบิตควอนตัม, การทบทวนทางกายภาพ A 73, 012307 (2006) [ ลิงก์ลิงก์ , ลิงก์ arXiv ]

โดยไม่ต้องลงรายละเอียดว่าทั้งสองอย่างนั้นเป็นแผนการสำหรับการใช้ qRAM อย่างมีประสิทธิภาพ และการเตรียมการของรัฐที่มีประสิทธิภาพที่สร้างรัฐในเวลาขวา)$\left|x\right>$$\mathcal O\left(\log_2 d\right)$

อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ทำให้เรามาถึงตอนนี้: สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อสร้างสถานะในขณะที่เราต้องการมากกว่าผลรวมทั้งหมดที่เป็นไปได้ 's$\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$$m$

Crucially,ผสมกันดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงด้วยสถานะบริสุทธิ์เดียวดังนั้นการอ้างอิงที่สองของทั้งสองข้างต้นเกี่ยวกับการสร้างสถานะบริสุทธิ์ใหม่ไม่ได้ใช้ และสิ่งแรกนั้นต้องการสถานะเป็น qRAM อยู่แล้ว$\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$

ด้วยเหตุนี้ผู้เขียนจึงตั้งสมมติฐานหนึ่งในสามข้อ:

1. พวกเขามีอุปกรณ์ที่เพิ่งเกิดขึ้นเพื่อให้พวกเขามีสถานะอินพุตที่ถูกต้อง

2. พวกเขาอาจมีสถานะใน qRAM$\rho^{\left(m\right)}$

3. พวกเขาสามารถสร้างรัฐเหล่านั้นได้ตามต้องการโดยใช้การอ้างอิงที่สองจากด้านบน สถานะผสมจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้ช่องทางควอนตัม (เช่นแผนที่การรักษาร่องรอย (CPTP) ที่เป็นบวกอย่างสมบูรณ์)

ลืมเกี่ยวกับตัวเลือกสองข้อแรกข้างต้นในขณะนี้ (ตัวแรกแก้ปัญหาได้อย่างน่าอัศจรรย์แล้ว) ช่องอาจเป็น:

• ระบบวิศวกรรมที่มันจะถูกสร้างขึ้นสำหรับอินสแตนซ์ที่เฉพาะเจาะจงในสิ่งที่คล้ายกับการจำลองแบบอะนาล็อก กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณมีช่องทางกายภาพที่ใช้ระยะเวลาทางกายภาพ (เมื่อเทียบกับความซับซ้อนของเวลา) นี่คือ "การโต้ตอบของระบบและสภาพแวดล้อมแบบคงที่ซึ่งไม่ต้องใช้ค่าใช้จ่ายในการคำนวณ"$t$

• จำลองช่องทางเอง มีเอกสารบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้เช่นการจำลองช่องควอนตัมโดยประมาณของBényและ Oreshkov ( ลิงก์ arXiv - ดูเหมือนกระดาษอย่างละเอียด แต่ฉันไม่สามารถหาคำแถลงที่ซับซ้อนได้ตลอดเวลา) al. ของการทดลองจำลองช่องทางควอนตัม (ไม่มีรุ่น arXiv ดูเหมือนว่าจะมีชีวิตอยู่) และเหว่ยซินและลองของ arXiv Preprint มีประสิทธิภาพจำลองสากลควอนตัมช่องทางในเครื่องคอมพิวเตอร์ระบบคลาวด์ควอนตัมของไอบีเอ็มซึ่ง (สำหรับจำนวนของ qubits ) ให้เวลาซับซ้อนของขวา) สามารถใช้ Stinespring การขยายได้ด้วยความซับซ้อนของ$n=\lceil\log_2 d\rceil$$\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$$\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$.

ตอนนี้ดูตัวเลือกที่ 2 ¹วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดวิธีหนึ่งก็คือการถ่ายโอนสถานะจากการลงทะเบียนที่อยู่ไปยังการลงทะเบียนข้อมูลในวิธีปกติ: สำหรับที่อยู่ในการลงทะเบียน , , การถ่ายโอนนี้เพื่อลงทะเบียนข้อมูลให้รัฐในข้อมูลทะเบียนเป็น\มันควรจะเป็นไปได้ที่จะตกแต่งที่อยู่และข้อมูลลงทะเบียนให้กลายเป็นรัฐผสมทำให้เวลาเล็กน้อยถึงแม้ว่าจะไม่มีความซับซ้อนในการคำนวณค่าใช้จ่ายเพิ่มความซับซ้อนของการผลิตให้ qRAM กับรัฐ , จาก$a$$\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$$d$$\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$$\rho$$\left|x^{\left(m\right)}\right>$$\mathcal O\left(n\right)$ขวา) นี่เป็นความซับซ้อนของการสร้างสถานะในตอนแรกทำให้เกิดความซับซ้อน (ปรับปรุงมาก) ในการสร้างของขวา)$\left|x^{\left(m\right)}\right>$$\rho$$\mathcal O\left(n\right)$

^{1 ขอบคุณ @glS สำหรับการชี้ความเป็นไปได้นี้ในการแชท}

เมทริกซ์ความหนาแน่นนี้จะถูกป้อนเข้าสู่ 'qHop' (quantum Hopfield) ซึ่งมันถูกใช้เพื่อจำลองสำหรับตามหัวข้อย่อย " การจำลองแฮมิลตันที่มีประสิทธิภาพของ A " ในหน้า 8$e^{-iAt}$