การนำประตู CCCNOT ไปใช้โดยใช้ประตู Toffoli เท่านั้น

ประตู CCCNOT เป็นสี่บิตประตูพลิกกลับที่พลิกบิตที่สี่และถ้าหากทั้งสามบิตแรกที่มีทั้งหมดในรัฐ1$1$

ฉันจะใช้เกตของ CCCNOT โดยใช้ประตู Toffoli ได้อย่างไร สมมติว่าบิตในเวิร์กสเปซเริ่มต้นด้วยค่าเฉพาะไม่ว่าจะเป็น 0 หรือ 1 หากคุณคืนค่าเหล่านั้นเป็นค่านั้น

ฉันเดาว่าสิ่งที่คุณกำลังมองหาคือวงจรต่อไปนี้ นี่และคือนอกเหนือโมดูโล2$b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$$\oplus$$2$

นี่ qubit ห้าใช้เป็นเสริมหรือqubit Ancilla มันเริ่มต้นที่และสิ้นสุดในเมื่อมีการใช้วงจร$|0\rangle$$|0\rangle$

ผมขออธิบายอย่างละเอียดว่าวงจรนี้ทำงานอย่างไร ความคิดที่จะเป็นครั้งแรกของการตรวจสอบทั้งหมดไม่ว่าทั้งสอง qubits แรกอยู่ในสถานะ|สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้ประตู Toffoli เดียวและผลลัพธ์จะถูกเก็บไว้ใน qubit เสริม ตอนนี้ปัญหาที่เกิดขึ้นจะช่วยลดการพลิกคิวบิตเมื่อใดก็ตามที่ qubitsและ qubit เสริมอยู่ใน|สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้หนึ่งแอพพลิเคชั่นของ Toffoli gate นั่นคือแอพตรงกลางในวงจรที่แสดงด้านบน ในที่สุดประตู Toffoli สุดท้ายทำหน้าที่คำนวณผลลัพธ์ชั่วคราวที่เราเก็บไว้ใน qubit เสริมเช่นสถานะของ qubit นี้กลับไปที่หลังจากใช้วงจร$|1\rangle$$4$$3$$|1\rangle$| 0 ⟩$|0\rangle$

---

ในส่วนความคิดเห็นคำถามเกิดขึ้นว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้วงจรดังกล่าวโดยใช้ประตู Toffoli เท่านั้นโดยไม่ใช้ qubits เสริม คำถามนี้สามารถตอบในเชิงลบตามที่ฉันจะแสดงที่นี่

เราต้องการใช้ -gate ซึ่งทำหน้าที่สี่ qubits เราสามารถกำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้ (การแทนเมทริกซ์ของ Pauli- -gate): start นอกจากนี้เรายังแสดงเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติโดยI_nตอนนี้เราสังเกตว่าเมทริกซ์ที่เป็นตัวแทนของเกททำหน้าที่สี่ qubits โดยเมทริกซ์ต่อไปนี้: ดังนั้นเราสามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ของมัน: $\mathrm{CCCNOT}$$X$

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $N$$I_N$$\mathrm{CCCNOT}$$16 \times 16$ $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ 4 T o ฉฉo ลิตรฉัน ตอนนี้ให้พิจารณาการแทนเมทริกซ์ของประตู Toffoli ซึ่งกระทำกับสาม qubits แรกของระบบ -qubit การแทนเมทริกซ์ของมันถูกเขียนเป็น (โดยที่เราใช้ผลิตภัณฑ์ Kronecker ของเมทริกซ์): การคำนวณอัตราผลตอบแทนดีเทน: $4$ $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ | 0001 ⟩ | 0010 ประตู Toffoli ยังสามารถกระทำใน qubits ที่แตกต่างกันแน่นอน สมมติว่าเราปล่อยให้เกต Toffoli ดำเนินการกับเควตที่หนึ่งที่สองและที่สี่ที่เควสที่สี่คือเควสเป้าหมาย จากนั้นเราจะได้รับการแสดงเมทริกซ์ใหม่จากการแสดงข้างต้นโดยการแลกเปลี่ยนคอลัมน์ที่สอดคล้องกับรัฐที่แตกต่างกันเฉพาะใน qubit ที่สามและสี่คือ with , withฯลฯ สิ่งสำคัญที่ควรทราบที่นี่คือจำนวนของการแลกเปลี่ยนของคอลัมน์คือเท่ากันและด้วยเหตุนี้ปัจจัยที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่เราสามารถเขียนทุกการเปลี่ยนแปลงของ qubits เป็นลำดับของการเรียงสับเปลี่ยนติดต่อกันเพียง qubits (นั่นคือ$|0001\rangle$$|0010\rangle$$|0101\rangle$$|0110\rangle$$2$$S_4$S 4 1ถูกสร้างขึ้นโดย transpositions ใน ) เราพบว่าสำหรับทุกประตู Toffoli นำไปใช้กับการรวมกันของการควบคุมและเป้าหมาย qubits ใด ๆ แทนเมทริกซ์ที่มีปัจจัย1$S_4$$1$

สิ่งสุดท้ายที่ควรทราบคือตัวกำหนดใช้การคูณเมทริกซ์คือสำหรับเมทริกซ์และเข้ากันได้กับการคูณเมทริกซ์ ดังนั้นตอนนี้เห็นได้ชัดว่าการใช้ประตู Toffoli หลายลำดับไม่เคยสร้างวงจรที่การแสดงเมทริกซ์มีปัจจัยที่แตกต่างจากซึ่งโดยเฉพาะนัยที่ประตูไม่สามารถใช้ประตู Toffoli เพียง qubits .$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$A$$B$$1$$\mathrm{CCCNOT}$$4$

คำถามที่ชัดเจนตอนนี้คือสิ่งที่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราอนุญาตให้ qubit เสริม เราพบคำตอบเมื่อเราเขียนการกระทำของ -gate ในระบบ -qubit: ถ้าเราคำนวณปัจจัยนี้เราพบ : ดังนั้นปัจจัยของการแสดง -gate ใน qubits คือแทน-1นี่คือเหตุผลที่อาร์กิวเมนต์ก่อนหน้านี้ไม่ถูกต้องสำหรับ$\mathrm{CCCNOT}$$5$

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ $\mathrm{CCCNOT}$$5$$1$$-1$$5$ ในขณะที่เรารู้เพราะวงจรสร้างขึ้นอย่างชัดเจน OP ขอ