วิธีการใช้เมทริกซ์เลขชี้กำลังในวงจรควอนตัม?

อาจเป็นคำถามที่ไร้เดียงสา แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีอธิบายเมทริกซ์ในวงจรควอนตัมได้ สมมติว่ามีเมทริกซ์จตุรัสทั่วไปAหากฉันต้องการได้เลขชี้กำลัง $e^{A}$ ฉันสามารถใช้ชุด

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

ที่จะมีการประมาณ ฉันไม่ได้รับวิธีการทำเช่นเดียวกันโดยใช้ประตูควอนตัมจากนั้นใช้มันเพื่อดำเนินการจำลองแฮมิลตัน ความช่วยเหลือ?

— FSic
แหล่งที่มา

ไม่ชัดเจนว่าคุณกำลังพูดถึงวงจรควอนตัมที่ใช้

A

$A$ เป็นอินพุตและเอาต์พุต

e^{A}

$e^A$ หรือการจำลองมิลโตเนียน (เช่นสร้างวงจรที่มีเมทริกซ์รวมกัน

e^{i A}

$e^{iA}$ )

— Nelimee

ความผิดฉันเอง; สิ่งที่ฉันหมายถึงคือเอาเมทริกซ์ A ฉันต้องการให้มันอยู่ในวงจรเลขชี้กำลัง

e^{i A}

$e^{iA}$ .

— FSic

การจัดรูปแบบคำถามของคุณใหม่:

วิธีการทำการจำลองมิลโตเนียนสำหรับเมทริกซ์จตุรัสทั่วไป $A$ ?

คำตอบด่วน : มันเป็นไปไม่ได้

เป้าหมายของการจำลองสถานการณ์แฮมิลตัน (HS) คือการหาวงจรควอนตัม (เช่นการต่อเนื่องของประตู) ที่ทำหน้าที่เหมือน $U(t) = e^{-iAt}$ ในสถานะควอนตัม ที่นี่ $U(t)$ จะต้องรวมกัน (เพราะคุณสมบัติของประตูควอนตัม) และอื่น ๆ $e^{-iAt}$ ความต้องการยังรวมกัน

ดังนั้นอัลกอริทึม HS สามารถใช้ได้กับเมทริกซ์เท่านั้น $A$ ดังนั้น $e^{-iAt}$ รวมกัน เมทริกซ์ชาวเฮอร์เมียนทุกคนพึงพอใจกับคุณสมบัตินี้ แต่ไม่ใช่ทุกคนที่generic square matrixทำได้ ข้อ จำกัด นี้อาจมีหรือไม่มีปัญหา แต่คุณไม่สามารถใช้ HS ได้ขึ้นอยู่กับปัญหาของคุณ $e^{-iAt}$ ไม่รวมกัน

ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึม HHL (ที่ใช้ HS ของ $A$ เป็นรูทีนย่อย) ที่มีระบบ $Ax=b$ ถ้า $e^{-iAt}$ ไม่ใช่การรวมกันคุณสามารถพิจารณาถึงปัญหาแทน

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$ แก้ปัญหาด้วย HHL (ซึ่งตอนนี้เป็นไปได้เพราะเมทริกซ์ใหม่

C

$C$ คือฤาษี) และฟื้นฟู

x

$x$ .

ดังนั้นคำถามที่น่าสนใจคือตอนนี้:

วิธีทำการจำลองมิลโตเนียนสำหรับเมทริกซ์เฮอร์เมียนที่ให้มา $A$ ?

และคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของ $A$ .

นี่เป็นหัวข้อการวิจัยขนาดใหญ่และมีหลายสิ่งที่จะพูดเกี่ยวกับมัน ฉันจะไม่นำเสนอทุกวิธีที่นี่เนื่องจากค่อนข้างซับซ้อนและฉันไม่เข้าใจทุกวิธี นี่คือรายการของเอกสาร / งานนำเสนอที่เกี่ยวข้องกับ HS และน่าสนใจที่จะเริ่มต้นด้วย HS:

การจำลองพลวัตของมิลโตเนียนบนคอมพิวเตอร์ควอนตัมขนาดเล็ก : สไลด์เกี่ยวกับ HS ถึงแม้ว่ามันจะเป็นการนำเสนอ แต่นี่ก็เป็นแหล่งข้อมูลที่สมบูรณ์ที่สุดที่ฉันพบในการจำลองมิลโตเนียน นำเสนอวิธีการที่แตกต่างกัน 3 วิธีอย่างรวดเร็วและอ้างอิงเอกสารที่น่าสนใจสำหรับแต่ละวิธี
หมายเหตุการบรรยายเกี่ยวกับอัลกอริทึมควอนตัม (Andrew M. Childs, 2017) : ล่าสุดและค่อนข้างสมบูรณ์ HS ได้อธิบายไว้ในบทที่ 25 (หน้า 123)
การปรับปรุงความแม่นยำแบบทวีคูณสำหรับการจำลองมิลโตเนียนแบบกระจัดกระจาย : นำเสนอในรายละเอียดหนึ่งใน 3 วิธีที่นำเสนอใน 1
อัลกอริทึมควอนตัมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการจำลองแฮมิลตันเบาบาง : นำเสนอในรายละเอียดอีก 3 วิธีที่นำเสนอใน 1

— Nelimee
แหล่งที่มา

ขอบคุณโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการอ้างอิงฉันจะดูพวกเขา!

— FSic

ฉันแนะนำให้คุณเริ่มด้วยการอ้างอิงแรก สมบูรณ์ที่สุดและให้ลิงก์ไปยังบทความอื่น สำหรับฉัน (มุมมองส่วนตัว) เทคนิคแรกที่ใช้สูตร Trotter-Suzuki เป็นที่เข้าใจได้มากที่สุด แต่มันอาจจะไม่เหมือนกันสำหรับคุณ!

— Nelimee

เมทริกซ์ชาวเฮอร์เมียนทุกคนพึงพอใจกับคุณสมบัตินี้ : เฉพาะเจาะจงมากขึ้นและเมทริกซ์

— เฮอร์เมียน