จะพิสูจน์ / หักล้างความเป็นสากลสำหรับประตูได้อย่างไร?

ชุดประตูสากลสามารถเลียนแบบการทำงานของประตูชนิดอื่น ๆ ได้รับประตูมากพอ ตัวอย่างเช่นชุดสากลของประตูควอนตัมเป็น Hadamard (  $H$  ) ที่$\pi/8$เฟสกะ (  $T$  ) และ$\mathrm{CNOT}$ประตู วิธีการหนึ่งที่พิสูจน์หักล้างหรือจะพิสูจน์ความเป็นสากลของชุดของประตูเช่น$\{H,T\}$ , $\{\mathrm{CNOT},T\}$หรือ$\{\mathrm{CNOT}, H\}$ ?

ความเป็นสากลนั้นเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งมากซึ่งค่อนข้างยุ่งยากในการพิสูจน์ โดยปกติจะมีสองตัวเลือกสำหรับการพิสูจน์:

• แสดงโดยตรงโดยใช้ประตูที่คุณเลือกวิธีการสร้างขนาดโดยพลการขนาดใด ๆ (ไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับขนาดของการก่อสร้างเพียงแค่ว่ามันสามารถทำได้) เพื่อความแม่นยำโดยพลการ (ในพื้นที่ย่อยที่ไม่สำคัญของฮิลแบร์ตเต็ม พื้นที่)

• แสดงให้เห็นว่าชุดประตูที่คุณเลือกสามารถนำมาสร้างใหม่ (เพื่อความแม่นยำโดยพลการ) ชุดอเนกประสงค์ที่มีอยู่ได้อย่างไร

ในทางกลับกันหากคุณต้องการหักล้างคุณจะแสดงให้เห็นว่าผลกระทบของชุดประตูของคุณสามารถจำลองได้โดยการคำนวณรูปแบบที่น้อยกว่า (โดยสันนิษฐาน) การคำนวณแบบปกติ

มีฮิวริสติกบางอย่างที่คุณสามารถใช้เป็นแนวทางได้:

• คุณต้องมีเกตหลายบิตในชุดของคุณ หากสิ่งที่คุณมีเป็นประตูควอบิตเดียวคุณสามารถจำลองแต่ละควิบิตได้อย่างอิสระบนคอมพิวเตอร์คลาสสิค ดังนั้นถ้าเราเชื่อว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมมีพลังมากกว่าประตูควิตเดี่ยว ๆ เพียงประตูเดียวก็ไม่ได้เป็นสากลสำหรับการคำนวณควอนตัม กฎนี้ออก {H, T}

• คุณต้องมีประตูที่สร้างภาพซ้อนทับ กฎนี้ออกมา {CNOT, T} นี่เป็นการคำนวณแบบคลาสสิกด้วยการเพิ่มเฟสสากลที่ไม่เกี่ยวข้อง

แน่นอนว่าสิ่งเหล่านี้ไม่เพียงพอเงื่อนไข: ชุด {H, S, CNOT} สามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพเช่นกัน (ดูทฤษฎีบท Gottesman-Knill) สิ่งนี้จะต้องเป็นจริงของ {H, CNOT} เนื่องจากเป็นส่วนย่อยดังนั้นการดำเนินการที่พวกเขาสามารถสร้างได้ไม่มากกว่าของชุดดั้งเดิม

หนึ่งในชุดสากลที่ผมพบที่น่าสนใจที่สุดคือ{Toffoli, H} มันน่าแปลกใจสำหรับฉันเสมอที่เพียงพอ (โดยเฉพาะเมื่อคุณเปรียบเทียบกับชุดก่อนหน้า) โปรดทราบว่ามันไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen และ Chuang หน้า 191 ของฉบับครบรอบ 10 ปี:

$d$$n$$n$

ประโยคแรกมีผลลัพธ์ที่ยอมรับดังนั้นคุณต้องแสดงให้เห็นว่าการรวมกันของชุดประตูของคุณสามารถใช้ "การดำเนินการรวมสองระดับโดยพลการ" ในการอ้างถึง Wikipedia:

ในทางเทคนิคแล้วนี่เป็นไปไม่ได้เนื่องจากจำนวนประตูควอนตัมที่เป็นไปได้นั้นนับไม่ได้ในขณะที่จำนวนลำดับวนจากชุด จำกัด สามารถนับได้ เพื่อแก้ปัญหานี้เราเพียงต้องการให้การดำเนินการเชิงปริมาณสามารถประมาณโดยลำดับของประตูจากชุด จำกัด นี้

ดูเอกสารนี้ด้วย