ความเท่าเทียมกันของ Clifford ในพื้นที่มีการแสดงกราฟิกโดยตรงสำหรับ qudit กราฟสถานะของมิติที่ไม่ใช่นายก?

คำถามนี้เป็นการติดตามคำถาม QCSE ก่อนหน้านี้: " กราฟกราฟ qudit ระบุไว้ชัดเจนสำหรับมิติที่ไม่สำคัญหรือไม่ " จากคำตอบของคำถามปรากฏว่าไม่มีอะไรผิดปกติในการกำหนดสถานะกราฟโดยใช้$d$-dimensional qudits อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าแง่มุมอื่น ๆ ที่กำหนดของกราฟรัฐไม่ขยายไปถึงมิติที่ไม่ใช่นายก

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับรัฐ qubit กราฟแง่มุมหนึ่งที่สำคัญในการความชุกและการใช้งานของพวกเขาคือความจริงที่ว่า: สองกราฟรัฐท้องถิ่นเทียบเท่า Clifford และถ้าหากมีลำดับของ complementations ท้องถิ่นที่จะใช้เวลาหนึ่งกราฟไปที่อื่น ๆ บาง (สำหรับง่าย กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง) นี่เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์อย่างมากในการวิเคราะห์การแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมความยุ่งเหยิงและสถาปัตยกรรมเครือข่าย

เมื่อพิจารณา $n$-qudit กราฟอเมริกากราฟเทียบเท่าขณะนี้ถ่วงน้ำหนักด้วยเมทริกซ์ adjacency $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$ที่ไหน $A_{ij}$ คือน้ำหนักของขอบ $(i,j)$ (กับ $A_{ij}=0$ระบุว่าไม่มีขอบ) ในกรณี qudit มันก็แสดงให้เห็นว่าสามารถขยายความเท่าเทียมกันในลักษณะเดียวกันโดยทั่วไปของการพึ่งพาท้องถิ่น lc ($\ast_a v$) และการรวมของการดำเนินการคูณขอบ ($\circ_b v$) ที่ไหน:

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ ที่ไหน $a, b = 1, \ldots, d-1$ และการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะดำเนินการโมดูโล $p$.

กราฟิกนี้แสดงโดยการดำเนินการดังต่อไปนี้ (ทำซ้ำจากการอ้างอิง 2 ):

อย่างไรก็ตามหากสถานะกราฟถูกกำหนดบน qudits ของมิติที่ไม่ใช่เฉพาะเราจะเห็นการดำเนินการเหล่านี้ (ดูเหมือน) ล้มเหลวในการแสดง LC-สมมูล

ตัวอย่างเช่นใช้สถานะ qudit $|G\rangle$ วาดกราฟ $G$ ในรูปที่ 1 กำหนดไว้สำหรับส่วนข้อมูล qudit $d=4$และปล่อยให้ $x=y=z=2$, ดังนั้น $A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$. ในกรณีนี้มีประสิทธิภาพ$\circ_2 1$ แล้วก็ $A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$และด้วยเหตุนี้ $1$ถูกแยกออกจาก qudits อื่น ๆ ทั้งหมดโดยใช้การดำเนินการในท้องถิ่นเท่านั้น เห็นได้ชัดว่านี้เป็นธรรมและเกิดขึ้นเนื่องจากปัญหาของศูนย์หารเป็นที่กล่าวถึงในคำถามก่อนหน้านี้คำตอบ

คำถามของฉันคือมีใด ๆชุดของการดำเนินงานกราฟที่ถูกต้องเป็นตัวแทนของความเท่าเทียม Clifford ท้องถิ่นสำหรับรัฐ qudit กราฟของมิติที่ไม่สำคัญ?

หมายเหตุ:ฉันสนใจในการดำเนินงานที่นำไปใช้โดยตรงกับการเป็นตัวแทนของรัฐในฐานะที่เป็นกราฟน้ำหนักเดียวแทนที่จะเป็นไปได้ที่จะสลายตัวไปสู่สถานะกราฟหลายมิติที่สำคัญตามที่แนะนำใน Sec 4.3 ของ " สถานะกราฟกราฟ Qudit ที่มีการพันกันอย่างแน่นอน "

ไม่ถูกต้องที่จะใช้ modulo arithmetic ในบริบทนี้ ควรใช้คณิตศาสตร์ฟิลด์ จำกัด ใน$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$ ที่ไหน $x^2 = x + 1$ และการผันคำกริยาของ $a$ ถูกกำหนดให้เป็น $\bar{a} = a^2$.

ตารางการเพิ่มการคูณและการผันคำกริยานั้นมีดังนี้:

ในภาพนี้เรามี $0 \equiv 0$, $1 \equiv 1$, $2 \equiv x$และ $3 \equiv x^2$ ดังนั้น $2 \times 2 = 3$ และดังนั้นความไม่แน่นอนที่ชัดเจนจะไม่เกิดขึ้น