คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถกำหนดเวลาการผสมของกลุ่มลูกบาศก์ของรูบิคได้อย่างง่ายดายหรือไม่?

เจ้าหน้าที่ในทัวร์นาเมนต์คิวบ์ของ Rubik ใช้สองวิธีที่แตกต่างกันในการตรวจสอบคิวบ์ ปัจจุบันพวกเขาทำลายก้อนออกจากกันและรวมกันอีกครั้ง cubies ในการสุ่มของรูบิคคิวบ์กลุ่มGก่อนหน้านี้พวกเขาจะใช้การสุ่มลำดับของ Singmaster ย้ายRG กรัม⟨ U , D , F , B , L , R $\pi\in G$$G$$g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

อย่างไรก็ตามความยาวของคำ - จำนวนของการเคลื่อนไหวแบบสุ่มจำเป็นเพื่อที่จะได้อย่างเต็มที่แย่งก้อนดังกล่าวว่าแต่ละพีชคณิตเป็นประมาณเท่า ๆ กันน่าจะเกิดขึ้น - ไม่เป็นที่รู้จักในปัจจุบัน แต่จะต้องเป็น อย่างน้อย 20 ความยาวเสื้อสามารถเรียกเวลาผสมของสุ่มเดินบนกราฟเคย์ลีของกลุ่มลูกบาศก์รูบิคที่สร้างขึ้นโดยย้าย Singmaster \ langle U, D, F, B, L, R$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

คอมพิวเตอร์ควอนตัมจะมีข้อได้เปรียบใด ๆ ที่จะกำหนดเวลาการผสม$t$ของกลุ่มลูกบาศก์รูบิค?

ฉันคิดว่าเราสามารถมีลำดับของ Hadamard ที่ชาญฉลาดในการสร้าง register $\vert A \rangle$เป็นรูปแบบการทับซ้อนเหนือ$\Vert G\Vert$รูปแบบ จึงใช้ลำดับใด ๆ ของการเคลื่อนไหวเพื่อ Singmaster $\vert A \rangle$ไม่เปลี่ยนแปลง$\vert A \rangle$\

ถ้าเรามีการคาดเดา$t'$เป็นสิ่งที่ผสมเวลา$t$คือเรายังสามารถสร้างการลงทะเบียนอีก$\vert B \rangle$เป็นซ้อนเครื่องแบบทุกคำ Singmaster ของความยาว$t'$และเงื่อนไขใช้แต่ละคำดังกล่าวไปยังรัฐที่ได้รับการแก้ไข$\vert A'\rangle$ , เพื่อหวังว่าจะได้สถานะ$\vert B\rangle \vert A\rangle$เช่นนั้น, ถ้าเราวัด$\vert A \rangle$ , $\Vert G \Vert$การกำหนดค่าแต่ละอันมีแนวโน้มเท่ากันที่จะวัดได้ ถ้า$t'\lt t$เราจะไม่เดินไปตามกราฟ Cayley ของ$G$นานพอและถ้าเราต้องวัด$\vert A \rangle$การกำหนดค่าที่ "ใกล้ชิด" กับสถานะที่แก้ไขจะมีแนวโน้มมากกว่า บางคนฉลาดฟูริเยร์เหมือนเปลี่ยนใน$\vert B \rangle$อาจจะสามารถที่จะวัดว่าสม่ำเสมอกระจาย$\vert A \rangle$มี

สำหรับฉันแล้วฉันรู้สึกว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมอาจทำได้ดี ตัวอย่างเช่นถ้าไม่ได้ผสมกันโดยทุกคำในดังนั้นการกำหนดค่าบางอย่างก็มีแนวโน้มมากกว่าคนอื่นเช่นนั้น "คงที่" มากกว่า; ในขณะที่ถ้าได้รับการผสมอย่างเต็มที่จากการเดินทั้งหมดนั้น "สมดุล" มากกว่า แต่ความรู้ของฉันเกี่ยวกับอัลกอริทึมควอนตัมและเชนมาร์คอฟนั้นไม่แข็งแรงพอที่จะไปให้ไกลได้$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

แก้ไข

เปรียบเทียบคำถามนี้กับปัญหาการตรวจสอบควอนตัมโบว์

ในการตรวจสอบควอนตัมนอตผู้ค้าจะได้รับเหรียญควอนตัมเป็นสถานะของนอตทั้งหมดที่มีค่าคงที่โดยเฉพาะ เพื่อตรวจสอบเหรียญควอนตัมเธอใช้ Markov chainเพื่อเปลี่ยนให้กับตัวเอง (ถ้าเป็นเหรียญที่ถูกต้อง) เธอต้องใช้ลูกโซ่มาร์คอฟนี้และวัดผลลัพธ์อย่างน้อยครั้ง แต่อย่างอื่นเธอมี ไม่มีวิธีสร้างด้วยตัวเธอเอง (เกรงว่าเธอจะปลอมเหรียญ) ดังนั้นถ้าเธอได้รับเหรียญที่ถูกต้องเธอจะได้รับสถานะที่เธอไม่สามารถผลิตได้เองพร้อมกับลูกโซ่มาร์คอฟ เมทริกซ์และเธอคงจะรู้ผสมเวลา$\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; เธอต้องการทดสอบว่านั้นถูกต้อง$\vert K \rangle$

ในคำถามปัจจุบันมันค่อนข้างง่ายที่จะสร้างของการเปลี่ยนรูปลูกบาศก์ของรูบิคทั้งหมด วงจรควอนตัมที่สอดคล้องกับห่วงโซ่มาร์คอฟเรียกมันว่าจากการเคลื่อนไหวของซิงเกอร์ก็น่าจะสร้างได้ง่าย อย่างไรก็ตามเวลาในการผสมนั้นเป็นที่รู้จัก$\vert RC \rangle$$S$$t$

มันเป็นคำถามที่น่าสนใจซึ่งดีกว่าที่สุด "มีอัลกอริธึมควอนตัมสำหรับ x หรือไม่" คำถาม ฉันไม่รู้อัลกอริทึมควอนตัมที่มีอยู่ ให้ฉันอธิบายสิ่งที่ฉันคิดว่าจะเป็นความพยายามครั้งแรกโดยทั่วไปและสาเหตุที่ล้มเหลว ในตอนท้ายฉันจะอธิบายสองสิ่งที่อาจนำไปสู่การปรับปรุงบางอย่าง

ความพยายามครั้งแรกที่อัลกอริทึม

สมมติว่าผมต้องการที่จะทดสอบโดยเฉพาะอย่างยิ่งการผสมเวลาทีฉันจะสร้างหนึ่งทะเบียนเพื่อให้มีพื้นที่ทำงานเพียงพอที่จะเก็บการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ของคิวบ์ Rubik สถานะเริ่มต้นของสิ่งนี้คือสถานะผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกับสถานะเริ่มต้นของคิวบ์$t$$RC$

แล้วฉันจะทำลงทะเบียน Ancilla,เพื่อÃ_tแต่ละเหล่านี้มีขนาดเท่ากันกับจำนวนของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ของซิงเกิ้ล แล้วสำหรับแต่ละเราใช้การควบคุมรวมจากจะที่ลงทะเบียนระบุซึ่ง Singmaster ย้ายถูกนำไปใช้ในRC$t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

หลังจากทั้งหมดนี้ถ้าเราแค่ดูมันควรจะอยู่ในสถานะผสมสูงสุดหากการผสมเกิดขึ้นตามที่ต้องการ ปัญหาคือวิธีการทดสอบว่าเอาต์พุตนี้เป็นสถานะผสมสูงสุดหรือไม่ มีเทคนิคที่มีประโยชน์เช่นนี้แต่เราต้องการความแม่นยำอะไร (เช่นมีการทำซ้ำกี่ครั้ง) เราต้องการประมาณเพื่อให้แน่ใจว่าฉันคิดว่า$RC$$|A|^t$

ในความเป็นจริงวิธีการทำสิ่งนี้มันแย่พอ ๆ กับการทำแบบคลาสสิก: คุณสามารถแทนที่สถานะเริ่มต้นของแต่ละด้วยและจะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ . แต่นี่ก็เหมือนกับการเลือกสุ่มทุกครั้งและรันหลาย ๆ ครั้งเพื่อตรวจสอบการกระจายสัญญาณที่ถูกต้อง$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

การปรับปรุงที่เป็นไปได้

• ทำงานตามที่ฉันอธิบายไว้เมทริกซ์ความหนาแน่นเอาต์พุต (บน ) ต้องเป็นเส้นทแยงมุม นั่นหมายความว่าการทับซ้อนอย่างสม่ำเสมอในทุกสถานะพื้นฐานเป็นไอเก็นสเตทหากระบบผสมกันมากที่สุดเท่านั้น ถ้าหากฉันสามารถรวมการสังเกตนี้กับแอมพลิจูดแอมพลิจูดบางประเภทเพื่อเพิ่มความเร็วได้ โปรดทราบว่าจะสร้างความแตกต่างอย่างรวดเร็วจากหากสถานะไม่ใช่ eigenvector$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• นอกเหนือจากนั้นคุณอาจต้องทำสิ่งที่ชาญฉลาดขึ้นกับการลงทะเบียน ancilla มีความหวังบางอย่างที่อาจเป็นไปได้เพราะมีโครงสร้างกลุ่มจำนวนมากที่สร้างขึ้นในลูกบาศก์ของรูบิค สิ่งหนึ่งที่คุณอาจจะพยายามที่จะดูว่าคุณสามารถแทนที่ทั้งหมดลงทะเบียน Ancilla กับทะเบียนเพียงครั้งเดียวใช้ประตู Hadmard ในคิวบิตของการลงทะเบียนทุกคนในระหว่างแต่ละรอบของการควบคุม unitaries อาจเป็นได้ว่าทั้งหมดนี้ทำให้คุณประหยัดประสิทธิภาพในแง่ของจำนวน qubits เทียบกับข้อเสนอแนะดั้งเดิมของฉัน มันอาจไม่ทำเช่นนั้น$t$

ไม่ว่าจะเป็นงานเหล่านั้นโดยตรงฉันไม่รู้ ถึงกระนั้นฉันคิดว่าหลักการสำคัญคือการหาโครงสร้างกลุ่มที่มีประโยชน์บางอย่างและหาวิธีที่การขยายแอมพลิจูดสามารถนำไปใช้ได้

คุณอาจพบว่ามันมีประโยชน์ในการอ่านข้อมูลเกี่ยวกับการออกแบบรวม นี่เป็นปัญหาที่แตกต่างอย่างแน่นอนจากสิ่งที่เรากำลังพูดถึงที่นี่ แต่เครื่องมือทางเทคนิคบางอย่างอาจมีประโยชน์ ประมาณพูดความคิดที่ว่าชุดของ unitariesเป็น -Design ถ้าสมัครแบบสุ่มของ unitaries เหล่านี้ช่วยให้หนึ่งจำลองรวมสุ่มอย่างแท้จริง (มาจาก Haar วัด) ฟังก์ชั่นการส่งออกซึ่งใช้เมื่อขยาย ซีรีส์เทย์เลอร์มีขึ้นที่ถูกต้องในระดับทีการเชื่อมต่อโดยประมาณที่นี่คือถ้าคุณใช้หน่วยที่แสดงลำดับของ Singmaster ย้ายเป็นมันจะเพียงพอถ้าชุดนี้มี 2 แบบ (ถ้าคุณได้รับ$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ถูกต้องเสร็จแล้ว)

(CW เพื่อหลีกเลี่ยงพนักงานจากการตอบด้วยตนเอง)

มีอาจจะเป็นวิธีที่โต้ตอบสำหรับทั้งสองฝ่ายเพื่อทำการในค่าของต่อไปนี้ขึ้นอยู่กับคำตอบ @ DaftWullie และความคิดเห็นของ @Steven Sagona พิธีการของฉันไม่ดี แต่ฉันหวังว่าความคิดจะผ่าน ...$t$

ตัวอย่างเช่นเรียกทั้งสองฝ่ายอลิซและบ๊อบ ฝ่ายต่างๆต้องร่วมมือกันและประพฤติตนอย่างซื่อสัตย์ตามพิธีสาร

อลิซรู้วิธีการเตรียมความพร้อมทั้งสองรัฐและ\ ที่นี่เป็นชุดซ้อนทับชุดลูกบาศก์ของรูบิคทั้งหมดและเป็นสถานะลิงอื่นที่มีจำนวน qubits เท่ากัน (เช่นสถานะที่สอดคล้องกับลูกบาศก์ของรูบิคที่แก้ไขแล้วหรือชุดซ้อนกัน ในกลุ่มย่อยขนาดใหญ่ของ ) บ๊อบรู้วิธีนำเมทริกซ์ไปใช้กับสถานะควอนตัมโดยที่สอดคล้องกับขั้นตอนเดียวของการย้ายนักร้องทั้งหมด$\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

Alice และ Bob ต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าการผสมเวลาของกลุ่มลูกบาศก์รูบิคภายใต้การเคลื่อนไหว Singmaster ที่มากที่สุดRAlice และ Bob ซ้ำต่อไปนี้ครั้ง$t$$r$$s$

1. อลิซพลิกเหรียญและมอบให้กับ Bob$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. บ๊อบซ้ำครั้งเพื่อใช้กับและวัดโปรเจ็กเตอร์ในแต่ละครั้ง$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. ถ้าโปรเจ็กเตอร์เป็นสำหรับแต่ละซ้ำแล้วบ๊อบกล่าวว่า 0 ถ้าโปรเจ็กเตอร์ที่ไม่ได้เป็นเป็นเวลาอย่างน้อยหนึ่งในซ้ำแล้วบ๊อบบอกว่าอลิซเป็น 1$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

ถ้าแล้วแต่ละบ๊อบซ้ำในขั้นตอนที่ 2 ไม่เปลี่ยนแปลง - เพราะโดยความหมายเป็น eigenstate ของเมทริกซ์ของบ๊อบและเมทริกซ์ของบ๊อบเพียง permutes รัฐในตัวเอง ถ้าแล้วรัฐลิงคือไม่ eigenstate ของโปรเจ็กบ๊อบและโอกาสที่จะไม่ได้วัดเติบโตอย่างรวดเร็วด้วยR $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

ดังนั้นหากบ๊อบได้คาดการณ์ได้อย่างถูกต้องสำหรับซ้ำน่าจะเป็นของความสำเร็จที่เติบโตขึ้นชี้แจงกับและบ๊อบคือขนาดใหญ่พอที่จะแยกแยะรัฐลูกบาศก์รูบิคที่ถูกต้องจากรัฐลิง$i$$s$$s$$r$

ฉันไม่รู้ว่าต้องแยกจากมากแค่ไหน ฉันไม่ทราบด้วยว่าสามารถลบการโต้ตอบได้หรือไม่$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

เริ่มแรกให้พิจารณาการลงทะเบียนและผู้ประกอบการ

1. registerซึ่งเข้ารหัสสถานะของคิวบ์ (เช่นการเปลี่ยนแปลงของ cube )$\vert A\rangle$$G$
2. โอเปอเรเตอร์ซึ่งทำหน้าที่เพื่อแม็ป ketไปยังชุดเกราะทับทั่วฯ ;$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. การลงทะเบียนซึ่งเข้ารหัสการวางตำแหน่งชุดหนึ่งของการย้าย Singmaster เพื่อนำไปใช้กับตำแหน่งที่กำหนด (เช่นการทับซ้อนของคำของ Singmaster การเคลื่อนที่ของความยาว );$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$$k$
4. ตัวดำเนินการและซึ่งทำหน้าที่เพื่อแมป ket ทั้งหมดไปที่การซ้อนของรูปทั้งหมดคำของ Singmaster ย้ายความยาว (และในทางกลับกัน); และ$V$$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. ตัวควบคุม (ควบคุม)ซึ่งใช้ Singmaster moveกับตำแหน่งคิวบ์ที่กำหนด$W$$b$

หากมีการทับซ้อนในเครื่องแบบกว่าองค์ประกอบทั้งหมดของแล้วอยู่ใน eigenstate ของและการประยุกต์ใช้ซ้ำของจะไม่ถูกเตะกลับไปส่งผลกระทบต่อB$\vert A\rangle$$G$$\vert A\rangle$$W$$W$$\vert B\rangle$

นั่นคือควรกลับในวงจรข้างต้นไปยังทุก zeroes เกตุ0$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$

แต่เท่าที่สังเกต @DaftWullie ถ้าเป็นไม่ได้ใน eigenstate แล้วความแตกต่างระหว่างและสร้างขึ้นอย่างรวดเร็ว - ผมเชื่อว่าความเร็วที่ ความแตกต่างนี้สร้างขึ้นอย่างแม่นยำขึ้นกับคุณสมบัติการผสมของผู้ปฏิบัติงานที่สนใจ$\vert u\rangle$$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

ดังนั้นถ้าเราสามารถจัดเตรียมสถานะที่ถูกรบกวนจากการกระจายที่เหมือนกันนั้นไม่ใช่ eigenstate การใช้ซ้ำของจะสร้างความแตกต่างอย่างรวดเร็วและอาจไม่ใช่ all-zeroes ket$\vert A\rangle$$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

ถ้าเรามีฟังก์ชั่นทำหน้าที่และคำตอบ qubitที่กำหนดให้พูดว่ามีแฮชตำแหน่งลูกบาศก์รูบิคน้อยกว่าขีด จำกัดและเราใช้นี้เพื่อควบคุมการหมุนของจากนั้นฉันเชื่อว่าใน วงจรข้างต้นจะไม่อ่านค่าศูนย์ทั้งหมดและอาจเบี่ยงเบนจากค่าศูนย์ทั้งหมดในลักษณะขึ้นอยู่กับและเวลาการผสมของกลุ่มลูกบาศก์รูบิคกับชุดสร้าง Singmaster$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

นั่นคือฉันคาดว่าการวัดในวงจรด้านบนจะอ่าน หรืออะไรที่คล้ายกันโดยที่ดัชนีของแรกขึ้นอยู่กับเวลาในการผสมและธรณีประตูเท่านั้น$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$$1$$\delta$