อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับหมายเลขของพระเจ้า

หมายเลขของพระเจ้าเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดของอัลกอริทึมของพระเจ้าซึ่งก็คือ

ความคิดที่เกิดขึ้นในการอภิปรายของวิธีการแก้ปริศนาลูกบาศก์รูบิค แต่ยังสามารถนำไปใช้กับปริศนา combinatorial อื่น ๆ และเกมคณิตศาสตร์ มันหมายถึงอัลกอริทึมใด ๆ ที่สร้างโซลูชันที่มีการเคลื่อนไหวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้แนวคิดที่ว่าผู้รอบรู้จะรู้ขั้นตอนที่ดีที่สุดจากการกำหนดค่าใด ๆ ก็ตาม

การคำนวณหมายเลขของพระเจ้าให้เท่ากับ 20 ใช้ "เวลา CPU 35 ปีของการใช้งาน (คลาสสิก)"

การเร่งความเร็วแบบใดที่สามารถทำได้ด้วยวิธีการควอนตัม?

เราสามารถคิดถึงลูกบาศก์Cayley ของลูกบาศก์รูบิคโดยที่แต่ละสี (สี)เป็นหนึ่งในนักร้องย้ายและแต่ละจุดยอดเป็นหนึ่งในการกำหนดค่าที่แตกต่างกันของ cubes$\Gamma=(V,E)$$E$$\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$$V$$43252003274489856000\approx 4.3e{19}$$3\times 3\times 3$

เส้นผ่าศูนย์กลางของกราฟเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ยาวที่สุดในกราฟ อัลกอริทึมแบบดั้งเดิมสำหรับการกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางคือพหุนามใน ; ดูเช่นคำตอบนี้จากเว็บไซต์น้องสาว$\vert V \vert$

ดังที่ได้กล่าวมาแล้วจำนวนของพระเจ้านั้นมีขนาดเท่ากัน หากต้องการทราบเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ยาวที่สุดระหว่างถึงจุดสูงสุดสำหรับกราฟ Cayley ในกลุ่มมันพอเพียงที่จะรู้ว่ามีกี่ขั้นตอนจากสถานะที่แก้ไขแล้ว เรารู้ว่าต้องขอบคุณ Rokicki, Kociemba เดวิดสันและ Dethridge หมู่คนอื่น ๆ ว่าจำนวนของพระเจ้าเป็น20ขั้นตอนวิธีการที่พวกเขาดำเนินการเป็นพหุนามในเช่นพหุนามใน{19}$20$$\vert V\vert$$4.3e{19}$

อัลกอริธึมเชิงควอนตัมของ Heiligman สำหรับเส้นผ่านศูนย์กลางกราฟที่กล่าวถึงในความคิดเห็นได้รับการเร่งความเร็วของโกรเวอร์เหนืออัลกอริทึมของ Djikstra ด้วย "ค่าใช้จ่ายควอนตัมโดยรวมของ " อย่างไรก็ตามฉันเชื่อว่า Heiligman เข้ารหัสกราฟให้มากที่สุดเท่าที่อัลกอริทึมแบบดั้งเดิมจะใช้ เช่นกับ qubits เห็นได้ชัดว่าแล้วสิ่งนี้จะไม่ช่วย$O(|V|^{9/4})$$O(|V|)$$|V|=4.3e{19}$

แต่วิธีอื่นในการเข้ารหัสลูกบาศก์ของรูบิคดังที่ได้กล่าวไว้ในคำถามอื่น ๆ นั้นแน่นอนว่าจะต้องเตรียมการทับซ้อนกันทั่วทั้งทั้งหมด ใช้เวลาเพียง qubits$4.3e{19}$$\log 4.3e{19}$

อัลกอริธึมของควอนตัมสามารถพูดได้ดีเกี่ยวกับ "ค่าลักษณะเฉพาะ" และ "ค่าลักษณะเฉพาะ" และ "ค่าลักษณะเฉพาะ" การใช้ Singmaster ทั้งหมดย้ายไปที่การซ้อนทับกันของทุกจะไม่เปลี่ยนสถานะ นั่นคือการทับซ้อนของเครื่องแบบคือไอเก็นสเตทของโซ่มาร์คอฟบนกราฟเคย์ลีย์$4.3e{19}$

มีความสัมพันธ์ระหว่างขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของกราฟและค่าลักษณะเฉพาะ / eigenvectorของ adjacency / Laplacian เมทริกซ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่องว่างสเปกตรัมระยะห่างระหว่างสองค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด ( ) ค้นหา Google อย่างรวดเร็วของ "ขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง eigenvalue" ผลิตนี้ ; ฉันแนะนำให้สำรวจการค้นหาของ Google ที่คล้ายกัน$\lambda_1-\lambda_2$

ช่องว่างผีเป็นว่าสิ่งที่ จำกัดอัลกอริทึมอะ ดังนั้นบางทีโดยการรู้ว่าอะดีเอบาติกอัลกอริธึมจำเป็นต้องเร่งความเร็วในการวิวัฒนาการจากเครื่องแบบ superpositon ไปสู่สถานะที่แก้ไขสำหรับกลุ่มย่อย / subspaces ต่างๆของกลุ่มลูกบาศก์ของรูบิคใครสามารถประมาณช่องว่างของสเปกตรัมและใช้สิ่งนี้ แต่ฉันออกจากลีกของฉันที่นี่อย่างรวดเร็วและฉันสงสัยว่าความรู้สึกใด ๆ ของความถูกต้องสามารถทำได้