คอมพิวเตอร์ควอนตัมจะใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนได้อย่างไร

12

สมมติว่าคุณมี PDE ที่คุณต้องการแก้ไข

คุณจะใช้อัลกอริทึมควอนตัมแบบใดในการแก้ปัญหา เราจะป้อนปัญหาของเราในคอมพิวเตอร์ควอนตัมได้อย่างไร สิ่งที่จะเป็นผลลัพธ์และในรูปแบบใด?

ฉันรู้ว่าอัลกอริทึมควอนตัมสำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น (มักเรียกว่า HHL แต่จริงๆแล้วนี่เป็นชื่อที่ไม่ดีเนื่องจากเวอร์ชันอื่นไม่ใช่ของผู้เขียน HHL) ได้รับการระบุไว้ก่อนหน้านี้ แต่อาจมีวิธีอื่น ๆ นอกจากนี้เนื่องจากถือว่าเป็นรูทีนย่อยเอาต์พุตคือควอนตัมและถ้าคุณไม่ต้องการสถิติจากมันหรือใช้เป็นอินพุตของอัลกอริทึมควอนตัมอื่น

algorithm

— Cnada
แหล่งที่มา

ทั่วไปคุณต้องการให้ PDE ของคุณเป็นอย่างไร มันเป็นเส้นตรงหรือไม่

— AHusain

หากคุณมีการตั้งค่าต่าง ๆ ของ PDEs ในใจฉันอยากรู้สำหรับแต่ละคน พูดเป็นเส้นตรงเป็นครั้งแรกเพราะฉันเดาว่าไม่ใช่เชิงเส้นอาจทำได้ยากกว่า

— cnada

6

ฉันไม่มีคำตอบที่แน่นอนสำหรับคำถามของคุณ (ถ้ามีอยู่จริง); แต่ฉันสามารถตอบคำถามของคุณบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับ I / O กับโปรเซสเซอร์ควอนตัม

ตามกฎทั่วไปของหัวแม่มือ; Quantum Algorithms (ปัจจุบัน) ไม่สามารถให้คำตอบโดยตรงกับข้อความชี้แจงปัญหาได้ อย่างน้อยก็ในปัจจุบันโปรเซสเซอร์ควอนตัมก็มีตัวเร่งความเร็วที่แตกต่างกันพร้อมหน่วยประมวลผลแบบคลาสสิก 'ตัวเร่งควอนตัม' นั้นเกี่ยวข้องกับเพียงส่วนหนึ่งของอัลกอริทึมโดยรวมที่ไม่ซับซ้อน (หรืออธิบายความซับซ้อน) เพื่อแก้ปัญหาในคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม ในที่สุดมีเพียงส่วนย่อยของโปรแกรมที่คำนวณบนตัวประมวลผลควอนตัม (เช่นอัลกอริทึมแฟคตอริ่งของชอร์เป็นจริงขั้นตอนวิธีค้นหาช่วงเวลา

ท่ามกลางเหตุผลอื่น ๆ ปัญหาหลักคือการใช้งานอินพุทและเอาท์พุทด้วยโปรเซสเซอร์ควอนตัม ปัญหา 'ต้อง' สามารถแสดงออกได้ในรูปแบบย่อ (เช่นสมการ) สมการนี้แสดงเป็นวงจรควอนตัมใน 'oracle' ซึ่งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการและผลการวัดจะถูกบันทึก (เอกซ์เรย์) เอาท์พุทก็ต้องการโพสต์การประมวลผลเพื่อให้เหมาะสม (ซึ่งจะดำเนินการโดยคู่คลาสสิกอีกครั้ง)

ปล. ฉันสนใจอยากรู้มากขึ้นเกี่ยวกับ PDE ในการแก้อัลกอริธึมควอนตัม หากมีประสิทธิภาพ

— viliyar
แหล่งที่มา

ฉันเข้าใจมุมมอง "ทั่วไป" มันไม่สำคัญเลยสำหรับฉันว่าเราจำลองการแก้ปัญหา PDE บนคอมพิวเตอร์ควอนตัม นี่คือ HHL โดยตรงทำให้ปัญหาของคุณสามารถแสดงเป็นระบบเชิงเส้น Ax = f เมื่อคุณทำการแยกส่วน คุณเพียงแสดงสถานะ f ของคุณเป็นควอนตัม (อินพุตแรกของคุณ) ใช้ A ในรูปแบบ Hermitian สำหรับการประมาณเฟสเช่น (อินพุตที่สอง) และโดยใช้รูทีนย่อยที่ใช้การหมุนแบบควบคุมและไม่มีการเข้ารหัส (อย่างน้อยสำหรับรุ่นต้นฉบับของ HHL ) คุณมีสถานะเป็นควอนตัม

— cnada

สิ่งนี้จะมีประสิทธิภาพในขนาดของปัญหาเพราะคุณใช้มิติเชิงเลขชี้กำลังของพื้นที่ฮิลแบร์ตสำหรับการเข้ารหัสในแอมพลิจูดความน่าจะเป็นของคลื่นฟังก์ชัน

— cnada

แต่ฉันจะสงสัยว่ามีวิธี / อัลกอริทึมอื่น ๆ สำหรับ PDE หรือไม่

— cnada

4

ฉันพบวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้เครื่องอบควอนตัม D-wave ลิงค์อยู่ที่นี่: https://arxiv.org/abs/1812.10572

วิธีการขั้นพื้นฐานคือการหาค่าพลังงานที่ได้จากการทำงานของสมการอนุพันธ์ การย่อขนาดสามารถใช้องค์ประกอบ จำกัด เพื่อทำแผนที่พลังงานไปยังกราฟย่อยที่แปลเป็นภาษาท้องถิ่นของเครื่อง D-wave

$\mathcal{O}(n)$

— เจเรมี
แหล่งที่มา

1

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$