การรวบรวมวงจรควอนตัมโดยอัตโนมัติ

คำถามล่าสุดถามที่นี่ว่าจะรวบรวมประตู 4-qubit CCCZ (control-Controlled-Controll-control-Z) เป็นประตู 1-qubit และ 2-qubit ที่เรียบง่ายได้อย่างไรและคำตอบเดียวที่ให้นั้นต้องใช้ประตู 63 ประตู !

ขั้นตอนแรกคือการใช้การก่อสร้างC n U จาก Nielsen & Chuang:$^n$

ด้วยหมายถึงประตู CCNOT 4 ประตูและประตูแบบง่าย 3 ประตู (1 CNOT และ 2 Hadamards ก็เพียงพอที่จะทำ CZ สุดท้ายบนเป้าหมาย qubit และ qubit งานสุดท้าย)$n=3$

ทฤษฎีบทที่ 1 ของบทความนี้กล่าวว่าโดยทั่วไปแล้ว CCNOT ต้องการ 9 หนึ่ง-qubit และ 6 สอง -bitbit (รวม 15):

หมายความว่า:

(4 CCNOTs) x (15 ประตูต่อ CCNOT) + (1 CNOT) + (2 Hadamards) = 63 ประตูรวม

ในการแสดงความคิดเห็นจะได้รับการแนะนำ 63 ประตูสามารถเรียบเรียงแล้วต่อไปโดยใช้ขั้นตอน "อัตโนมัติ" ตัวอย่างเช่นจากทฤษฎีของกลุ่มโดยอัตโนมัติ

"การรวบรวมอัตโนมัติ" นี้จะทำอย่างไรและจะลดจำนวนประตู 1-qubit และ 2-qubit ได้มากแค่ไหนในกรณีนี้

$g_1 \cdots g_M$$\operatorname{CNOT}_{12}$$\operatorname{CNOT}_{13}$$M$$n$$k$$x$$y$$CZ$$M = xn+\binom{n}{2}y$

$\operatorname{CNOT}_{12} \operatorname{CNOT}_{12} = \mathrm{Id}$ $\langle g_1 \cdots g_M \mid R_1 \cdots \rangle$

ปัญหาที่เราต้องการแก้ไขได้รับคำในกลุ่มนี้สิ่งที่เป็นคำที่สั้นที่สุดที่แสดงถึงองค์ประกอบเดียวกัน สำหรับการนำเสนอของกลุ่มทั่วไปสิ่งนี้จะสิ้นหวัง การเรียงลำดับของงานนำเสนอกลุ่มที่สามารถเข้าถึงปัญหานี้เรียกว่าอัตโนมัติ

$g_i$$w_1 g_{i_1} w_2 g_{i_2} \cdots w_k$$w_i$$g_i$

$aababbacbbaba$$c$$w_1=aababba$$w_2=bbaba$$\hat{w}_1$$\hat{w}_2$$\hat{w}_1 c \hat{w}_2$

$\langle g_1 \cdots g_M \mid R_1 \cdots \rangle$

$\langle g_1 g_2 \mid - \rangle$$g_1^2=\mathrm{id}$ $\mathbb{Z}_2 \star \mathbb{Z}$$g_1$$2$

$\leq$

นั่นคือแนวคิดทั่วไปเราจะเปลี่ยนมันเป็นอัลกอริทึมเฉพาะได้อย่างไร

$g_i$

$s_{01},s_{02},s_{12},s_{23},s_{24},s_{34}$$s_{i,i+1}$$\langle s_{01},s_{02},s_{12},s_{23},s_{24},s_{34} \mid R_1 \cdots \rangle$

$R(\theta) X R(\theta)^{-1}$$X$

$(g_i g_j)^{m_{ij}} = 1$$m_{ij}$

$m_{ij}$$k$$m_{ij}$$2^{2k-1}$$m_{ij}=2$$m_{ij}=2$$g_i$$g_j$$m_{ij}$$1$$(g_i g_i)^1 = 1$$(\operatorname{CNOT}_{12} H_1)$$\operatorname{CNOT}_{37} H_3$

$3$

ทุกครั้งที่คำนั้นสั้นลงหรือมีความยาวเท่ากันและเราใช้อัลกอริทึมที่มีพฤติกรรมเชิงเส้นหรือกำลังสองเท่านั้น นี่เป็นขั้นตอนที่ค่อนข้างถูกดังนั้นจึงควรทำและแน่ใจว่าคุณไม่ได้ทำอะไรโง่ ๆ

$N$$K$$m$

edge_list=[]
for i1 in range(N):
    for j1 in range(i):
        edge_list.append((j1+1,i1+1,m[i1,j1]))
G3 = Graph(edge_list)
W3 = CoxeterGroup(G3)
s3 = W3.simple_reflections()
word=[choice(list([1,..,N])) for k in range(K)]
print(word)
wTesting=s3[word[0]]
for o in word[1:]:
    wTesting=wTesting*s3[o]
word=wTesting.coset_representative([]).reduced_word()
print(word)

N=28K=20$m$

[26, 10, 13, 16, 15, 16, 20, 22, 21, 25, 11, 22, 25, 13, 8, 20, 19, 19, 14, 28]

['CNOT_23', 'Y_1', 'Y_4', 'Z_2', 'Z_1', 'Z_2', 'H_1', 'H_3', 'H_2', 'CNOT_12', 'Y_2', 'H_3', 'CNOT_12', 'Y_4', 'X_4', 'H_1', 'Z_5', 'Z_5', 'Y_5', 'CNOT_45']

[14, 8, 28, 26, 21, 10, 15, 20, 25, 11, 25, 20]

['Y_5', 'X_4', 'CNOT_45', 'CNOT_23', 'H_2', 'Y_1', 'Z_1', 'H_1', 'CNOT_12', 'Y_2', 'CNOT_12', 'H_1']

$T_i$$T_i^n = 1$$T_i$$i$$w_1 g_{i_1} w_2 g_{i_2} \cdots w_k$$w_i$$X_1 T_2 X_1 T_2 X_1 T_2 X_1$

$H_i$$H_i$$m_{ij} \neq 1,2$

ใช้ขั้นตอนที่อธิบายไว้ในhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , ใด ๆประตูในแนวทแยง - ใด ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจึงประตู CCCZ - สามารถย่อยสลายในแง่ของการเช่น CNOTs และหนึ่ง qubit ประตูขวาง ที่ CNOTs สามารถปรับให้เหมาะสมด้วยตัวเองตามขั้นตอนการเพิ่มประสิทธิภาพแบบดั้งเดิม

ข้อมูลอ้างอิงให้วงจรโดยใช้ 16 CNOTs สำหรับประตู 4-qubit ในแนวทแยงโดยพลการ (รูปที่ 4)

$\bigoplus_{i\in I}x_i$$I\subset\{1,2,3,4\}$

โปรดทราบว่าการก่อสร้างนี้ไม่จำเป็นต้องดีที่สุด

^{1 หมายเหตุ: ฉันเป็นผู้เขียน}