วิธีการรับเมทริกซ์ CNOT สำหรับระบบ 3-qbit ที่ควบคุมและเป้าหมาย qbits ไม่ได้อยู่ติดกัน?

ในระบบสาม qbit มันเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับตัวดำเนินการ CNOT เมื่อตัวควบคุม & เป้าหมาย qbits อยู่ติดกันอย่างมีนัยสำคัญ - คุณเพียงแค่ดึงตัวดำเนินการ CNOT แบบ 2 บิตด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ในตำแหน่งสำคัญของ qbit ที่ไม่ถูกแตะต้อง:

$C_{10}|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle = (\mathbb{I}_2 \otimes C_{10})|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle$

อย่างไรก็ตามมันไม่ชัดเจนว่าจะได้รับตัวดำเนินการ CNOT อย่างไรเมื่อ qbits การควบคุม & เป้าหมายไม่ได้อยู่ติดกันอย่างมีนัยสำคัญ:

$C_{20}|\phi_2\phi_1\phi_0\rangle$

สิ่งนี้ทำได้อย่างไร

quantum-gate gate-synthesis

— ahelwer
แหล่งที่มา

ดูคำถามและคำตอบนี้: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/9614/…

— Martin Vesely

คำตอบ:

สำหรับการนำเสนอจากหลักการแรกผมชอบคำตอบของไรอันดอนเนลล์ แต่สำหรับการรักษาพีชคณิตระดับสูงขึ้นเล็กน้อยนี่คือวิธีที่ฉันจะทำ

คุณสมบัติหลักของ controlled- การดำเนินงานสำหรับการรวมกันใด ๆคือว่ามัน (เป็นตุเป็นตะ) ทำการดำเนินการใน qubits ขึ้นอยู่กับมูลค่าของบาง qubit เดี่ยว ๆ วิธีที่เราสามารถเขียนพีชคณิตอย่างชัดเจน (ด้วยการควบคุมบน qubit แรก) คือ: ที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของมิติเช่นเดียวกับUที่นี่และเป็นเครื่องฉายภาพไปยังรัฐและ $U$ $U$

C U = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1 + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U

$\mathit{CU} \;=\; \def\ket#1{\lvert #1 \rangle}\def\bra#1{\langle #1 \rvert}\ket{0}\!\bra{0} \!\otimes\! \mathbf 1 \,+\, \ket{1}\!\bra{1} \!\otimes\! U$

1

$\mathbf 1$

U

$U$

| 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\ket{0}\!\bra{0}$

| 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\ket{1}\!\bra{1}$

| 0 ⟩

$\ket{0}$

| 1 ⟩

$\ket{1}$ ของ qubit ควบคุม - แต่เราไม่ได้ใช้มันที่นี่เป็นองค์ประกอบของการวัด แต่เพื่ออธิบายผลกระทบของ qubits อื่นขึ้นอยู่กับหนึ่งหรือพื้นที่ย่อยอื่น ๆ ของพื้นที่รัฐของ qubit แรก

เราสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อหาเมทริกซ์สำหรับเกทซึ่งดำเนินการบนควิบิต 3 โดยมีเงื่อนไขอยู่ในสถานะของควิบิต 1 โดยคิดว่านี่เป็นตัวควบคุม -การดำเนินการบน qubits 2 และ 3: $\mathit{CX}_{1,3}$ $X$ $(\mathbf 1_2 \!\otimes\! X)$

\begin{aligned} {C X}_{1, 3} & = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1_{4} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes (1_{2} \otimes X) \\ = [\begin{matrix} 1_{4} & 0_{4} \\ 0_{4} & (1_{2} \otimes X) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1_{2} & 0_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 1_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 0_{2} & X & 0_{2} \\ 0_{2} & 0_{2} & 0_{2} & X \end{matrix}], \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathit{CX}_{1,3} \;&=\; \ket{0}\!\bra{0} \otimes \mathbf 1_4 \,+\, \ket{1}\!\bra{1} \otimes (\mathbf 1_2 \otimes X) \\[1ex]&=\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_4 & \mathbf 0_4 \\ \mathbf 0_4 & (\mathbf 1_2 \!\otimes\! X) \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & X & \mathbf 0_2 \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & \mathbf 0_2 & X \end{bmatrix}, \end{aligned}$ โดยที่สองหลังเป็นตัวแทนเมทริกซ์บล็อกเพื่อประหยัดพื้นที่ (และสติ)

ยังดีกว่า: เราสามารถรับรู้ได้ว่า - ในระดับคณิตศาสตร์บางอย่างที่เราอนุญาตให้เราตระหนักว่าลำดับของปัจจัยเมตริกซ์ไม่จำเป็นต้องอยู่ในลำดับคงที่ - การควบคุมและเป้าหมายของการดำเนินการสามารถอยู่บนเมตริกซ์สองตัว ปัจจัยและที่เราสามารถกรอกข้อมูลในรายละเอียดของผู้ประกอบการในทุก qubits อื่น ๆ ที่มี1_2 สิ่งนี้จะช่วยให้เรากระโดดตรงไปที่ตัวแทน $\mathbf 1_2$

\begin{aligned} {C X}_{1, 3} & = & \underset{control}{\underset{⏟}{| 0 ⟩ ⟨ 0 |}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{target}{\underset{⏟}{1_{2}}} & + \underset{control}{\underset{⏟}{| 1 ⟩ ⟨ 1 |}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{target}{\underset{⏟}{X}} \\ = & [\begin{matrix} 1_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & 1_{2} \end{matrix}] & + [\begin{matrix} X & 0_{2} \\ 0_{2} & X \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} \mathit{CX}_{1,3} \;&=&\; \underbrace{\ket{0}\!\bra{0}}_{\text{control}} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} &+\, \underbrace{\ket{1}\!\bra{1}}_{\text{control}} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\; X\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \\[1ex]&=&\; \begin{bmatrix} \mathbf 1_2 & \mathbf 0_2 & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \mathbf 0_2 & \mathbf 1_2 & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \end{bmatrix} \,&+\, \begin{bmatrix} \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & X & \mathbf 0_2 \\ \phantom{\mathbf 0_2} & \phantom{\mathbf 0_2} & {\mathbf 0_2} & X \end{bmatrix} \end{alignat}$ และยังช่วยให้เราเห็นสิ่งที่ต้องทำทันทีหากบทบาทของการควบคุมและเป้าหมายกลับด้าน:

\begin{aligned} {C X}_{3, 1} & = & \underset{target}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{control}{\underset{⏟}{| 0 ⟩ ⟨ 0 |}} & + \underset{target}{\underset{⏟}{X}} \otimes \underset{uninvolved}{\underset{⏟}{1_{2}}} \otimes \underset{control}{\underset{⏟}{| 1 ⟩ ⟨ 1 |}} \\ = & [\begin{matrix} | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \\ | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{matrix}] & + [\begin{matrix} | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \\ | 1 ⟩ ⟨ 1 | \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] . \end{aligned}

$\begin{alignat}{2} \mathit{CX}_{3,1} \;&=&\; \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\ket{0}\!\bra{0}}_{\text{control}} \,&+\, \underbrace{\;X\;}_{\!\!\!\!\text{target}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\;\mathbf 1_2\;}_{\!\!\!\!\text{uninvolved}\!\!\!\!} \otimes \underbrace{\ket{1}\!\bra{1}}_{\text{control}} \\[1ex]&=&\; {\scriptstyle\begin{bmatrix} \!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & & & \\ & \!\!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & & \\ & & \!\!\ket{0}\!\bra{0}\!\! & \\ & & & \!\!\ket{0}\!\bra{0} \end{bmatrix}} \,&+\, {\scriptstyle\begin{bmatrix} & & \!\!\ket{1}\!\bra{1}\!\! & \\ & & & \!\!\ket{1}\!\bra{1} \\ \!\ket{1}\!\bra{1}\!\! & & & \\ & \!\!\ket{1}\!\bra{1} & & \end{bmatrix}} \\[1ex]&=&\; \left[{\scriptstyle\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}}\right.\,\,&\,\,\left.{\scriptstyle\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}}\right]. \end{alignat}$ แต่ที่ดีที่สุดของทั้งหมด: ถ้าคุณสามารถเขียนตัวดำเนินการเชิงพีชคณิตคุณสามารถทำขั้นตอนแรกสู่การจ่ายด้วยเมทริกซ์ขนาดยักษ์โดยสิ้นเชิงแทนที่จะใช้เหตุผลเกี่ยวกับตัวดำเนินการเชิงพีชคณิตโดยใช้นิพจน์เช่น และ

{C X}_{1, 3} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes 1_{2} \otimes 1_{2} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes 1_{2} \otimes X

$\mathit{CX}_{1,3} = \ket{0}\!\bra{0} \! \otimes\!\mathbf 1_2\! \otimes\! \mathbf 1_2 + \ket{1}\!\bra{1} \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes\! X$

{C X}_{3, 1} = 1_{2} \otimes 1_{2} \otimes | 0 ⟩ ⟨ 0 | + X \otimes 1_{2} \otimes | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\mathit{CX}_{3,1} = \mathbf 1_2 \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes \! \ket{0}\!\bra{0} + X \! \otimes\! \mathbf 1_2 \! \otimes \! \ket{1}\!\bra{1}$ . จะมีข้อ จำกัด ว่าคุณสามารถทำอะไรกับสิ่งเหล่านี้ได้แน่นอน - การเปลี่ยนแปลงอย่างง่าย ๆ ในการเป็นตัวแทนไม่น่าจะทำให้อัลกอริทึมควอนตัมที่ยากแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ ใช้การแสดงออกเหล่านี้มากกว่ากับเมทริกซ์กินพื้นที่

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

โอ้ใช่ฉันจำโปรเจ็คเตอร์ได้ตั้งแต่เช้าตรู่ในหนังสือ Mermin โปรเจ็คเตอร์และเมทริกซ์เป็นวิธีเข้ารหัสตรรกะตามเงื่อนไขในเมทริกซ์!

— ahelwer

"การเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายของการเป็นตัวแทนไม่น่าจะทำให้อัลกอริทึมควอนตัมที่ยากแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ" - แล้วในกรณีของการหมุนไส้ตะเกียง?

— meowzz

@meowzz: ทุกครั้งในช่วงเวลาการเปลี่ยนแปลงในสัญกรณ์ช่วยให้คุณสามารถสร้างแนวคิดล่วงหน้าและช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น แต่ไม่บ่อยและอาจไม่ได้อยู่ในกรณีของการเปลี่ยนแปลงเฉพาะของสัญกรณ์ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีพอสมควร สำหรับกรณีเฉพาะของการหมุนของไส้ตะเกียงคำถามที่ฉันจะถามคืออะไรล่วงหน้าที่เฉพาะเจาะจงมันทำให้เป็นไปได้ในการแก้ปัญหาและปัญหาที่เป็นประโยชน์

— Niel de Beaudrap

นี่เป็นคำถามที่ดี มันเป็นหนังสือที่ดูเหมือนจะแอบเข้าไป ฉันมาถึงคำถามที่แน่นอนนี้เมื่อเตรียมการบรรยายควอนตัมการคำนวณเมื่อสองสามวันก่อน

เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ไม่มีวิธีรับเมทริกซ์ 8x8 ที่ต้องการโดยใช้สัญลักษณ์ผลิตภัณฑ์ Kroneckerสำหรับเมทริกซ์ ทั้งหมดที่คุณสามารถพูดได้ก็คือ: การทำงานของคุณในการใช้ CNOT กับสาม qubits โดยที่การควบคุมเป็นเป้าหมายแรกและเป้าหมายเป็นอันดับสามจะมีผลต่อไปนี้: $\otimes$

$\lvert 000\rangle \mapsto \lvert 000\rangle$

$\lvert 001\rangle \mapsto \lvert 001\rangle$

$\lvert 010\rangle \mapsto \lvert 010\rangle$

$\lvert 011\rangle \mapsto \lvert 011\rangle$

$\lvert 100\rangle \mapsto \lvert 101\rangle$

$\lvert 101\rangle \mapsto \lvert 100\rangle$

$\lvert 110 \rangle \mapsto \lvert 111 \rangle$

$\lvert 111 \rangle \mapsto \lvert 110 \rangle$

และดังนั้นจึงได้รับจากเมทริกซ์ต่อไปนี้:

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

เมทริกซ์นี้แน่นอนค่ามิได้I_2 ไม่มีสัญกรณ์ที่ใช้ผลิตภัณฑ์ Kronecker ที่รัดกุมสำหรับมัน มันคือสิ่งที่มันเป็น $U$ $I_2 \otimes \mathrm{CNOT}$ $\mathrm{CNOT} \otimes I_2$

— Ryan O'Donnell
แหล่งที่มา

เป็นแนวคิดทั่วไป CNOT พลิกเป้าหมายตามการควบคุม ฉันเลือกพลิกเป้าหมายหากการควบคุมคือคุณสามารถเลือกเช่นกัน ดังนั้นถือว่าใดรัฐ multiparticle ทั่วไป|ตอนนี้คุณเลือกการควบคุมและเป้าหมายของคุณแล้วสมมติว่าคือการควบคุมและคือเป้าหมาย การใช้ CNOT บนจะเป็นแค่ $\uparrow (= [1\ 0]^T)$ $\downarrow (= [0\ 1]^T)$ $|\phi\rangle=|\uparrow_1\downarrow_2\downarrow_3....\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle$ $i'th$ $k'th$ $|\phi\rangle$

C N O T | ϕ ⟩ = C N O T | ↑_{1} ↓_{2} . . . ↑_{i} . . . ↑_{k} . . . ↑_{n - 1} ↓_{n} ⟩ = | ↑_{1} ↓_{2} . . . ↑_{i} . . . ↓_{k} . . . ↑_{n - 1} ↓_{n} ⟩

$\begin{equation} CNOT|\phi\rangle=CNOT|\uparrow_1\downarrow_2...\uparrow_i...\uparrow_k...\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle= |\uparrow_1\downarrow_2...\uparrow_i...\downarrow_k...\uparrow_{n-1}\downarrow_n\rangle \end{equation}$

เพื่อสร้างเมทริกซ์ของประตู CNOT ดังกล่าวเราใช้ ( -Pauli เมทริกซ์) ถ้ารัฐขึ้นและเราใช้ (เอกลักษณ์) ถ้ารัฐจะลดลง เราใช้เมทริกซ์เหล่านี้ที่ตำแหน่งซึ่งเป็นเป้าหมายของเรา ศาสตร์ $\sigma_x$ $x$ $i'th$ $I$ $2\times2$ $i'th$ $k'th$

C N O T = [| ↑_{1} . . . ↑_{i} . . . ↑_{k - 1} ⟩ ⟨ ↑_{1} . . . ↑_{i} . . . ↑_{k - 1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} ⟩ ⟨ ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} | + a l l p e r m u t a t i o n s o f s t a t e s o t h e r t h e n i^{'} t h] + [| ↑_{1} . . . ↓_{i} . . . ↑_{k - 1} ⟩ ⟨ ↑_{1} . . . ↓_{i} . . . ↑_{k - 1} | \otimes I \otimes | ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} ⟩ ⟨ ↑_{k + 1} . . . ↑_{n} | + a l l p e r m u t a t i o n s o f s t a t e s o t h e r t h e n i^{'} t h]

$\begin{equation} CNOT = \Big[|\uparrow_1...\uparrow_i...\uparrow_{k-1}\rangle\langle\uparrow_1...\uparrow_i...\uparrow_{k-1}|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_{k+1}...\uparrow_n\rangle\langle\uparrow_{k+1}...\uparrow_n| + all\ permutations\ of\ states\ other\ then\ i'th\Big] + \Big[|\uparrow_1...\downarrow_i...\uparrow_{k-1}\rangle\langle\uparrow_1...\downarrow_i...\uparrow_{k-1}|\otimes I\otimes|\uparrow_{k+1}...\uparrow_n\rangle\langle\uparrow_{k+1}...\uparrow_n| + all\ permutations\ of\ states\ other\ then\ i'th\Big] \end{equation}$

หมายเหตุรัฐ (เป้าหมาย) ได้รับการยกเว้นขณะที่การสร้างเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงและตำแหน่งผู้ประกอบการหรือเป็นลายลักษณ์อักษร $k'th$ $k'th$ $\sigma_x$ $I$

ยกตัวอย่างห้า qubits ที่ qubit เป็นเป้าหมายและคือการควบคุม ช่วยสร้างเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงของCNOTฉันใช้เวลาถ้าการควบคุมคือพลิกเป้าหมาย คุณสามารถใช้ในทางกลับกันได้เช่นกัน $2^{nd}$ $4^{th}$ $CNOT$ $\uparrow$

\begin{aligned} C N O T & = | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes σ_{x} \otimes | ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↑_{1} ⟩ ⟨ ↑_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↑_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↑_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↑_{5} | \\ + | ↓_{1} ⟩ ⟨ ↓_{1} | \otimes I \otimes | ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} ⟩ ⟨ ↓_{3} ↓_{4} ↓_{5} | \end{aligned}

$\begin{align} CNOT & = |\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes\sigma_x\otimes|\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\uparrow_1\rangle\langle\uparrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\uparrow_3\uparrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\uparrow_3\downarrow_4\downarrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\uparrow_5|\\ & +|\downarrow_1\rangle\langle\downarrow_1|\otimes I\otimes|\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5\rangle\langle\downarrow_3\downarrow_4\downarrow_5| \end{align}$

— Jitendra
แหล่งที่มา

-2

ก่อนอื่นเขียนเมทริกซ์CNOT⊗𝐼2จากนั้นเปลี่ยนลำดับของ index2 และ index3 ด้วย matlab ด้วยวิธีนี้คุณสามารถทำ qubits ได้ไม่ จำกัด จำนวน

— zhide lu
แหล่งที่มา

Hi! คุณช่วยขยายคำตอบให้ชัดเจนขึ้นได้ไหม? อาจเป็นตัวอย่างที่ช่วยได้ :)

— met927