มีกฎง่ายๆสำหรับการผกผันของตารางโคลงของวงจร Clifford หรือไม่?

ในการจำลองการปรับปรุงวงจร Stabilizerโดย Aaronson และ Gottesman นั้นจะอธิบายวิธีการคำนวณตารางที่อธิบายผลิตภัณฑ์ Pauli tensor ซึ่ง X และ Z ที่สังเกตได้ของแต่ละ qubit ได้รับการจับคู่กับวงจร Clifford

นี่คือตัวอย่างวงจร Clifford:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

และตารางอธิบายว่ามันทำหน้าที่อย่างไรกับ X และ Z ที่สามารถสังเกตได้ของแต่ละ qubit:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

แต่ละคอลัมน์ของตารางอธิบายถึงวิธีการที่วงจรทำงานบน X ที่สังเกตได้ (ครึ่งซ้ายของคอลัมน์) และ Z ที่สังเกตได้ (ครึ่งขวาของคอลัมน์) ของแต่ละ qubit ตัวอย่างเช่นด้านซ้ายของคอลัมน์ 3 คือ Z, Z, _, X หมายถึงการดำเนินการ X3 (Pauli X บน qubit 3) ที่ด้านขวามือของวงจรเทียบเท่ากับการดำเนินการ Z1 * Z2 * X4 ที่มือซ้าย ด้านข้างของวงจร แถว 'sign' หมายถึงสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญหากคุณกำลังจะทำการจำลองการวัด (มันจะบอกคุณว่าจะกลับผลหรือไม่)

คุณสามารถคำนวณตารางสำหรับการผกผันของวงจร ในกรณีตัวอย่างที่ฉันได้รับตารางผกผันคือ:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

ตารางมีลักษณะเกือบจะเหมือนกันหากคุณเปลี่ยนแถวและคอลัมน์ แต่รายการไม่เหมือนกันทั้งหมด นอกจากการแปลงคุณจะต้องเข้ารหัสตัวอักษรเป็นบิต ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) จากนั้นสลับบิตกลางแล้วถอดรหัส ตัวอย่างเช่น ZZ เข้ารหัสเป็น 1,010 ซึ่งแลกเปลี่ยนเป็น 1100 ซึ่งถอดรหัสเป็น Y_

คำถามที่ฉันมีคือ: นอกจากนี้ยังมีกฎง่ายๆสำหรับการคำนวณสัญญาณของตารางผกผัน?

ขณะนี้ฉันกำลังย้อนกลับตารางเหล่านี้โดยแยกพวกมันออกเป็นวงจรกลับหัวกลับหางจากนั้นคูณมันกลับเข้าด้วยกัน มันไม่มีประสิทธิภาพมากเมื่อเทียบกับ transpose + replace แต่ถ้าฉันจะใช้ transpose + replace ฉันต้องมีกฎการลงชื่อ

pauli-gates clifford-group

— Craig Gidney
แหล่งที่มา

เพื่อชี้แจงคำถาม: ให้วงจรคลิฟฟอร์ดเป็น

U

$U$ . จากนั้นอ่านหนังสือ

j

$j$ คอลัมน์ที่ให้

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ และ

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ ขึ้นอยู่กับการใช้ครึ่งซ้ายหรือขวา และคุณต้องการ

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ และ

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ แทนจากข้อมูลนี้

— AHusain

@ Ahusain ถูกต้อง

— Craig Gidney

เพื่อชี้แจงคำถาม: @ s หมายถึงอะไรในวงจร Clifford ของคุณ?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez นั่นคือการควบคุม เมื่อทั้งสองเชื่อมต่อกันจะเป็นประตู CZ @ ที่เชื่อมต่อกับ X คือ control-X @ เชื่อมต่อกับ Y คือควบคุม -Y

— Craig Gidney

คำตอบ:

มีตัวแทนมากที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของเป็นตัวแทนของฉาก Aaronson (และ Gottesman)ซึ่งทำงานไม่เพียง แต่สำหรับ qubits แต่สำหรับ qudits ของมิติ จำกัด โดยพลซึ่งทำงานโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวงจร Clifford หมดจด ( คือ มากที่สุดคนหนึ่งวัด Terminal)

ในการเป็นตัวแทนทางเลือกนี้มี tableaus ที่อธิบายถึงวิธีที่ตัวดำเนินการ single-qubit X และ Z แปลงด้วยข้อมูลเฟสเช่นเดียวกับการแสดงปกติ คอลัมน์อธิบายตัวดำเนินการ Weyl แบบหลายควิกบิตโดยเฉพาะซึ่งเป็นชุดย่อยพิเศษของตัวดำเนินการ Pauli ข้อได้เปรียบของการทำเช่นนั้นก็คือฉากนั้นไม่ได้เป็นเพียงค่าสัมประสิทธิ์ แต่เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่เกิดขึ้นจริงบนเวกเตอร์ซึ่งเป็นตัวแทนของตัวดำเนินการไวล์และเฟส

มีการจับเล็ก ๆ สำหรับ qubits, เวกเตอร์เหล่านี้มีค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นจำนวนเต็มโมดูโล 4 (ตรงกับปกสองของตัวดำเนินการ Pauli Single-Qubit เดี่ยวที่ไม่น่ารำคาญโดย Weyl โอเปอเรเตอร์) มากกว่าโมดูโล 2 ฉันคิดว่านี่เป็นราคาเล็ก ๆ อาจจะลำเอียงเล็กน้อยเนื่องจากเป็นผลของฉันเอง [ arXiv: 1102.3354 ] อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะเป็นตัวแทน 'ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ' ค่อนข้างมาก: Appleby ได้พัฒนาเคสพิเศษแบบควิตเดียวหรือ qudit ค่อนข้างเร็วกว่า [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (สิ่งที่ฉันอยากจะรู้ก่อนใช้เวลาสองปี โดยไม่จำเป็นต้องสร้างใหม่เป็นหลักในการประชุมเดียวกัน)

ใช้การเป็นตัวแทนโดยอาศัยอำนาจตามข้อเท็จจริงที่ว่า 'ฉาก' $M_C$ วงจรคลิฟฟอร์ด $C$ ตอนนี้เป็นเมทริกซ์จริง (และกลับด้าน) ซึ่งแปลงเวกเตอร์, ฉากสำหรับวงจรผกผัน $C^{\dagger}$ เป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม $M_C^{-1}$ ของฉาก ดังนั้นสำหรับการแสดงที่เกี่ยวข้องอย่างน้อยกฎสำหรับการคำนวณฉากสำหรับวงจรผกผันนั้นง่าย

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

คุณสามารถลิงค์ไปยังสไลด์หรือบันทึกการบรรยายที่อธิบายถึงตัวดำเนินการ Weyl ได้หรือไม่?

— Craig Gidney

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการแทนที่ "พื้นฐานของ Pauli" {I, X, Y, Z} ด้วย "quaternion Basis" {I, iX, iY, iZ} เมื่อติดตามเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์หรือไม่

— Craig Gidney

สันนิษฐานว่าเมื่อพูดถึง qubits กระดาษเดิมนี่คือหนึ่ง

— DaftWullie

ฉันจะพยายามหาสไลด์ที่ดีเกี่ยวกับตัวดำเนินการ Weyl (ฉันไม่มีอะไรสำคัญเกี่ยวกับพวกเขา) ในกรณี n-qubit พวกเขาเป็นผู้ดำเนินการ

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ สำหรับเวกเตอร์สองตัว

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ . แรงจูงใจสำหรับคำจำกัดความนี้ถูกรวมเข้าด้วยกัน 2 จากบทความที่เชื่อมโยงของฉันซึ่งนำไปสู่ Lemma 4 สิ่งนี้ทำให้เหตุผลหนึ่งเกี่ยวกับกลุ่มโคลงที่ไม่มีอะไรมากไปกว่า mod 4 (และพีชคณิตเชิงเส้น mod 4 เมื่อทำวงจร Clifford) ทำให้ subsuming quadratic stuff mod 2 สำหรับเฟส

— Niel de Beaudrap

@ DaftWullie: ไม่[arXiv: quant-ph / 9608006 ] นั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิง พวกมันทำดัชนีพลังของ X และ Z โดยเวกเตอร์ mod 2 (ดูข้อความก่อนหน้า Eq.2) ซึ่งสะท้อนในโครงสร้างกลุ่มเพิ่มเติมของ GF (4) ข้อสังเกตของพวกเขาเกี่ยวกับการแปลง symplectic ใน p.8 จึงนำไปใช้กับเฟสโมดูโลของกลุ่ม Pauli Appleby และฉันไม่ได้อ้างว่าเป็นคนแรกที่ได้เป็นตัวแทนที่ยอดเยี่ยมสำหรับกลุ่ม Pauli ในเรื่อง qubits: ประเด็นก็คือการเป็นตัวแทนของเราจะติดตามเฟสได้อย่างสง่างามยิ่งขึ้น สิ่งนี้มีความสำคัญน้อยกว่าสำหรับการค้นพบ QECCs แต่สำคัญมากในการจำลองสถานะ

— Niel de Beaudrap

ในการดึงเอาเทคนิคของ Aaronson และ Gottesman ออกมาให้ชัดเจนยิ่งขึ้น: คุณสามารถตั้งค่าแต่ละโคลงให้เป็นความยาวบิต $2N$ (สำหรับ $N$ qubits) ครั้งแรก $N$ บิตระบุตำแหน่งที่ตั้งของตัวดำเนินการ Z และชุดที่สอง $N$ ระบุตำแหน่งของ $X$ ผู้ประกอบการ (ดังนั้น $X_1Z_2$ สำหรับ $N=2$ คือ 0110) สำหรับวงจรของคุณในสี่ qubits การเปลี่ยนแปลงอันเนื่องมาจากวงจรคลิฟฟอร์ด $8\times 8$ มดลูก เราคิดว่านี่เป็นบล็อกเมทริกซ์

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ ที่แต่ละบล็อกอยู่

N \times N

$N\times N$ . จากความจริงที่ว่าเครื่องควบคุมการทรงตัวเรารู้ว่า

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ คุณต้องการค้นหาสิ่งที่ตรงกันข้าม

M

$M$ modulo 2. รูปแบบที่คุณอ้างสิทธิ์ของอินเวิร์สนั้นเป็นรูปแบบนั้น (ฉันคิดว่า)

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ ซึ่งชวนให้นึกถึงความน่าสนใจของการผกผันของ

2 \times 2

$2\times 2$ เมทริกซ์ (แต่นั่นไม่เพียงพอสำหรับเมทริกซ์บล็อกมีอินเวิร์สบล็อกที่ชาญฉลาดแต่นั่นไม่ค่อยมีประโยชน์สำหรับฉันที่นี่)

ความยุ่งเหยิงแน่นอนมาจากการติดตามขั้นตอน ฉันเดาว่าสัญญาณจะเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงจำนวนผู้ประกอบการ Y ในแต่ละโคลง แต่ฉันไม่ได้ประสบความสำเร็จในการรักษาแบบครบวงจร คำตอบของนีแอลอาจทำงานได้ดีกว่าในการดูแลโดยอัตโนมัติ

— DaftWullie
แหล่งที่มา