Bloch Sphere สามารถทำให้เป็นสอง qubits ได้หรือไม่?

ทรงกลมของ Bloch เป็นภาพที่ดีของสถานะ qubit เดียว ในทางคณิตศาสตร์มันสามารถนำไปรวมกับจำนวนของ qubits ใด ๆ โดยใช้ไฮเปอร์สเปร์มิติสูง แต่สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถมองเห็นได้ง่าย

มีความพยายามใดในการขยายการสร้างภาพข้อมูลโดยยึดตามทรงกลมของ Bloch ถึงสอง qubits

สำหรับรัฐบริสุทธิ์มีเป็นวิธีที่ง่ายพอสมควรที่จะทำให้ "2 qubit Bloch ทรงกลม" โดยทั่วไปคุณใช้การสลายตัวของชามิดท์เพื่อแบ่งสถานะของคุณออกเป็นสองกรณี: ไม่พันกันและพันกันแน่น สำหรับส่วนที่ไม่พันกันคุณเพียงใช้ทรงกลมสองอัน แล้วส่วนที่พันกันนั้นก็คือ isomorphic กับเซตของการหมุนที่เป็นไปได้ในสเปซ 3 มิติ สิ่งนี้ให้การแสดงของคุณด้วยพารามิเตอร์จริงแปดพารามิเตอร์:

1) ค่าจริง w ระหว่าง 0 ถึง 1 ระบุน้ำหนักของการไม่พันกันและการพันกันอย่างเต็มที่

2 + 3) เวกเตอร์โบลชหน่วยที่ไม่พันกันสำหรับ qubit 1

4 + 5) เวกเตอร์โบลชหน่วยที่ไม่พันกันสำหรับ qubit 2

6 + 7 + 8) การหมุนที่พัวพันเต็ม

นี่คือสิ่งที่ดูเหมือนว่าถ้าคุณแสดงส่วนการหมุนเป็น "ที่แกน XY และ Z ได้รับการแมป" และนอกจากนี้ปรับขนาดแกนด้วย w เพื่อให้ใหญ่ขึ้นคุณจะยุ่ง:

(การตีกลับที่อยู่ตรงกลางนั้นเกิดจากความเสื่อมของตัวเลขในรหัสของฉัน)

สำหรับรัฐผสมฉันมีความสำเร็จเล็กน้อยที่แสดงซองจดหมายของเวกเตอร์โบลชที่คาดการณ์ไว้สำหรับ qubit 2 เนื่องจากทุก ๆ การวัดที่เป็นไปได้ของ qubit 1 ที่มีลักษณะดังนี้:

แต่โปรดทราบว่าก) การแสดง 'ซองจดหมาย' นี้ไม่ได้เป็นแบบสมมาตร (หนึ่งใน qubits คือการควบคุมและอีกอันคือเป้าหมาย) และ b) ถึงแม้ว่ามันจะดูสวย แต่ก็ไม่ได้กระชับพีชคณิต

การแสดงผลนี้มีให้บริการในสาขาการแสดงผล dev-entanglement-displayของ Quirk หากคุณสามารถทำตามคำแนะนำในการสร้างคุณสามารถเล่นกับมันได้โดยตรง

ตั้งแต่ปั่น$j$แทนที่ลดลงของ$SU(2)$มีมิติ$2j+1$ ( $j$เป็นครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็ม) จำกัด พื้นที่ Hilbert ใด ๆ มิติสามารถรับได้เป็นพื้นที่ตัวแทนของ$SU(2)$ ) นอกจากนี้ตั้งแต่การแสดงลดลงไม่ได้ทั้งหมดของ$SU(2)$เป็นผลิตภัณฑ์เมตริกซ์สมมาตรของการเป็นตัวแทนทฤษฏีพื้นฐานดังนั้นทุก จำกัด พื้นที่ Hilbert มิติอาจจะคิดว่าเป็นผลิตภัณฑ์เมตริกซ์สมมาตรพื้นฐาน$SU(2)$ ช่องว่างตัวแทนพื้นฐาน

$2j+1$$2j$$2j$$2j$

$2j+1$

(The parametrization is by means of the stereographic projection coordinate $z = \tan \theta e^{i\phi}$ ($\theta$, $\phi$ are the spherical coordinates))

One application of this representation to quantum computation, is in the visualization of the trajectories giving rise to geometric phases, which serve as the gates in holonomic quantum computation. These trajectories are reflected as trajectories of the Majorana stars on the Bloch spheres and the geometric phases can be computed from the solid angles enclosed by these trajectories. Please see Liu and Fu's work on Abelian geometric phases. A treatment of some non-Abelian cases is given by Liu Roy and Stone.

Finally, let me remark that there are many geometric representations relevant to quantum computation, but they are multidimensional and may be not useful in general as visualization tools. Please see for example Bernatska and Holod treating coadjoint orbits which can serve as phase spaces of the finite dimensional Hilbert spaces used in quantum computation. The Grassmannian which parametrizes the ground state manifold of adiabatic quantum Hamiltonians is a particular example of these spaces.

For more than 1-qubit visualization, we will need more complex visualizations than a Bloch sphere. The below answer from Physics Stack Exchange explains this concept quite authoritatively:

Bloch sphere for 2 and more qubits

In another article, the two qubit representation is described as a seven-dimensional sphere, S 7, which also allows for a Hopf fibration, with S 3 fibres and a S 4 base. The most striking result is that suitably oriented S 7 Hopf fibrations are entanglement sensitive.

Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations

Having said that, a Bloch sphere based approach is quite useful even to model the behavior of qubits in a noisy environment. There has been analysis of the two-qubit system by use of the generalized Bloch vector to generate tractable analytic equations for the dynamics of the four-level Bloch vectors. This is based on the application of geometrical concepts from the well-known two-level Bloch sphere.

We can find that in the presence of correlated or anti-correlated noise, the rate of decoherence is very sensitive to the initial two-qubit state, as well as to the symmetry of the Hamiltonian. In the absence of symmetry in the Hamiltonian, correlations only weakly impact the decoherence rate:

Bloch-sphere approach to correlated noise in coupled qubits

There is another interesting research article on the representation of the two-qubit pure state parameterized by three unit 2-spheres and a phase factor.For separable states, two of the three unit spheres are the Bloch spheres of each qubit with coordinates (A,A) and (B,B). The third sphere parameterises the degree and phase of concurrence, an entanglement measure.

This sphere may be considered a ‘variable’ complex imaginary unit t where the stereographic projection maps the qubit-A Bloch sphere to a complex plane with this variable imaginary unit. This Bloch sphere model gives a consistent description of the two-qubit pure states for both separable and entangled states.

As per this hypothesis, the third sphere (entanglement sphere) parameterizes the nonlocal properties, entanglement and a nonlocal relative phase, while the local relative phases are parameterized by the azimuthal angles, A and B, of the two quasi-Bloch spheres.

Bloch sphere model for two

We have some multiqubit visualizations within Q-CTRL's Black Opal package.

These are all fully interactive and are designed to help build intuition about correlations in interacting two-qubit systems.

The two Bloch spheres represent the relevant separable states of two qubits. The tetrahedra in the middle visually capture correlations between certain projections of the two qubits. When there is no entanglement, the Bloch vectors live entirely on the surfaces of the respective spheres. However, a fully entangled state lives exclusively in the space of correlations in this representation. The extrema of these spaces will always be maximally entangled states like Bell states, but maximally entangled states can also reside within multiple tetrahedra simultaneously.

A paper has been published on the subject, called "Bloch sphere model for two-qubit pure states"

https://arxiv.org/abs/1403.8069