การฝึกอบรมรวมประมาณ

ขณะนี้ฉันมีเมทริกซ์รวมกัน 2 ตัวที่ฉันต้องการประมาณความแม่นยำที่ดีโดยมีประตูควอนตัมน้อยกว่าที่เป็นไปได้

ในกรณีของฉันเมทริกซ์สองตัวคือ:

สแควร์รูทของ NOT เกต (ขึ้นอยู่กับเฟสสากล) $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} ผม & 1 \\ 1 & ผม \end{matrix}) = {อี}^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

คำถามของฉันมีดังต่อไปนี้:

ฉันจะประมาณเมทริกซ์เฉพาะเหล่านี้ด้วยประตูควอนตัมที่น้อยกว่าที่เป็นไปได้และความแม่นยำที่ดีได้อย่างไร

สิ่งที่ฉันต้องการที่จะสามารถมี:

ฉันสามารถที่จะใช้เวลาหลายวัน / สัปดาห์ของเวลา CPU และRAM จำนวนมาก
ฉันสามารถที่จะใช้เวลา 1 หรือ 2 วันของมนุษย์เพื่อค้นหาลูกเล่นทางคณิตศาสตร์ (ในที่สุด, นั่นคือเหตุผลที่ฉันถามที่นี่ก่อน) เวลานี้ไม่รวมเวลาที่ฉันต้องใช้อัลกอริธึมสมมุติที่ใช้สำหรับจุดแรก
ฉันต้องการให้การย่อยสลายเกือบจะแน่นอน ฉันไม่มีความแม่นยำเป้าหมายในขณะนี้ แต่ประตูทั้งสองข้างต้นถูกใช้อย่างกว้างขวางโดยวงจรของฉันและฉันไม่ต้องการให้เกิดข้อผิดพลาดในการสะสมมากเกินไป
ฉันต้องการให้การสลายตัวใช้ประตูควอนตัมน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จุดนี้เป็นเรื่องรองในขณะนี้
วิธีที่ดีจะให้ฉันเลือกการแลกเปลี่ยนที่ฉันต้องการระหว่างจำนวนประตูควอนตัมและความแม่นยำของการประมาณ หากเป็นไปไม่ได้ความแม่นยำอย่างน้อย (ในแง่ของบรรทัดฐานการติดตาม) อาจเป็นไปได้ (ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ฉันไม่มีการประมาณการ $10^{-6}$
ชุดเกทคือ: ${H, X, Y, Z, R_{φ}, S, T, R_{x}, R_{Y}, R_{Z}, CX, SWAP, iSWAP, \sqrt{SWAP}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ ด้วย $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ ที่อธิบายไว้ในWikipédia, $R_A$ หมุนด้วยความเคารพต่อขวาน(เป็นทั้ง,หรือ) และ ) $A$ $A$ $X$ $Y$ $Z$ $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ผม & 0 \\ 0 & ผม & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

วิธีการที่ฉันรู้เกี่ยวกับ:

อัลกอริทึม Solovay-Kitaev ฉันมีการใช้อัลกอริทึมนี้และทดสอบกับเมทริกซ์รวมหลายตัวแล้ว อัลกอริทึมสร้างลำดับที่ค่อนข้างยาวและการแลกเปลี่ยน [จำนวนประตูควอนตัม] VS [ความแม่นยำของการประมาณ] นั้นไม่เพียงพอที่จะทำให้เกิดพาราเมทริกได้ อย่างไรก็ตามฉันจะใช้งานอัลกอริทึมบนประตูเหล่านี้และแก้ไขคำถามนี้พร้อมผลลัพธ์ที่ได้รับ
สองเอกสารใน1 qubit ประตูประมาณและn-qubit ประตูประมาณ ฉันต้องทดสอบอัลกอริทึมเหล่านี้ด้วย

แก้ไข: แก้ไขคำถามเพื่อให้ "รากที่สองของไม่" ชัดเจนยิ่งขึ้น

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nelimee
แหล่งที่มา

G

$G$

แก้ไขเพื่อความแม่นยำประตูชุดที่ผมมีอยู่ในใจ :)

— Nelimee

ดูเหมือนว่า W สามารถทำได้ด้วย sqrt ที่ถูกต้อง (SWAP) + หนึ่ง CNOT + ประตูควิบิตเดียว

— Norbert Schuch

ฉันอยากรู้เกี่ยวกับสิ่งที่คุณพยายามทำกับสิ่งนี้ถ้าคุณไม่รังเกียจที่จะอธิบายอย่างละเอียด

— psitae

ประตูทั้งสองนี้ปรากฏในวงจรควอนตัมเพื่อจำลองมิลโตเนียนส์ที่ง่ายมาก (hamiltonians ที่กระจัดกระจายที่มีเพียงรายการจริงหรือรายการจินตภาพเท่านั้น) วิทยานิพนธ์ที่ทำอย่างละเอียดในเรื่องนี้ค่อนข้างยากที่จะได้รับ วิธีเดียวที่ผมพบคือการขอสำเนาที่นี่และรอคำตอบในกล่องจดหมายของคุณ :)

— Nelimee

คุณเลือกเมทริกซ์ง่าย ๆ สองตัวที่จะนำไปใช้

การดำเนินการครั้งแรก (G) เป็นเพียงรากที่สองของ X gate (ขึ้นอยู่กับเฟสสากล):

$R_X(\pi/2)$

การดำเนินการที่สอง (W) เป็นเมทริกซ์ Hadamard ในบล็อกกลาง 2x2 ของเมทริกซ์แบบอื่น ทุกครั้งที่คุณเห็นรูปแบบ 2x2-in-the-middle คุณควรคิดว่า "การควบคุมการดำเนินการผันแปรโดย CNOTs" และนั่นเป็นสิ่งที่ทำงานได้ที่นี่ (หมายเหตุ: คุณอาจต้องสลับบรรทัด; ขึ้นอยู่กับการประชุม endianness ของคุณ):

ดังนั้นปัญหาที่แท้จริงเพียงอย่างเดียวคือวิธีการใช้งานการควบคุม Hadamard Hadamard เป็นการหมุน 180 องศารอบแกน X + Z คุณสามารถใช้การหมุน 45 องศารอบแกน Y เพื่อย้ายแกน X + Z ไปยังแกน X จากนั้นทำ CNOT แทน CH จากนั้นเลื่อนแกนกลับ:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— Craig Gidney
แหล่งที่มา

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

การก่อสร้างนั้นเหมาะสมที่สุดในแง่ที่ว่ามันต้องใช้ประตู CNOT สองแห่งและประตูควิบิตเดียวมากที่สุด 12 ประตู (สำหรับกรณีทั่วไปที่สุดของประตูควิบิตสองตัวจริง) การก่อสร้างจะขึ้นอยู่กับ homomorphism:

S O (4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

W = M U M^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

การใช้สิ่งก่อสร้างนี้การติดตั้งแบบเกทเวย์ที่กำหนดโดย Vatan และ Williams คือ:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— David Bar Moshe
แหล่งที่มา

ทั้งสองประตูเหล่านี้ต้องการลำดับโดยประมาณ คุณสามารถใช้มันได้อย่างแม่นยำด้วยชุดประตูที่คุณระบุโดยไม่ต้องใช้ความพยายามอย่างมาก

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
แหล่งที่มา