ทำไม qubit ที่พันกันแสดงที่จุดกำเนิดของทรงกลมของ Bloch

ฉันไม่ชัดเจนว่าทำไม Bloch sphere ถึงการแสดงของ qubit ที่พันกันยุ่งมากที่สุดแสดงให้เห็นถึงสถานะของ bit ว่าเป็นจุดกำเนิดของทรงกลม

ตัวอย่างเช่นภาพประกอบนี้

แสดงผลของวงจรอย่างง่าย

เมื่อเวลาผ่านไปโดยมี $q_0$ ทางด้านซ้ายและ $q_1$ ทางด้านขวา qubits ทั้งคู่จบลงที่จุดกำเนิดของทรงกลมที่เกี่ยวข้องตามการใช้งาน $CNOT$ ( $q_1$ "รอ" ที่ค่าเริ่มต้นจนกระทั่งหลังจาก $H$ เคลื่อน $q_1$ ถึง $x$ )

ทำไม qubit ที่พันกันยุ่งมากแสดงที่จุดกำเนิดของ Bloch Sphere?

คำอธิบายเรื่องแปลก ๆมีไว้ที่นี่แต่ฉันเป็นผู้เริ่มต้นที่จะติดตามมันมากเกินไป

entanglement bloch-sphere

— orome
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำถามที่ดีพร้อมคำตอบที่ดี การทำพิธีการเมทริกซ์ความหนาแน่นบางส่วนนั้นจำเป็นต้องเข้าใจคำตอบ หากไม่มีเครื่องมือเหล่านี้เราสามารถให้คำอธิบายที่ตื้นที่สุดเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้น

— psitae

คำตอบ:

Bloch Sphere แสดงสถานะของ qubit เดียวเท่านั้น สิ่งที่คุณกำลังพูดถึงคือการมีรัฐหลายบิตและเป็นตัวแทนของหนึ่งใน qubits เหล่านั้นในทรงกลม Bloch

หากสถานะหลาย qubit เป็นสถานะผลิตภัณฑ์ (บริสุทธิ์และแยกกันไม่ได้) สถานะของ qubit เดียวคือสถานะที่บริสุทธิ์และจะแสดงเป็นจุดบนพื้นผิวของทรงกลม Bloch ถ้าสถานะโดยรวมเป็นพันแล้ว qubit บุคคลนั้นไม่บริสุทธิ์และแสดงด้วยจุดที่อยู่ด้านในของทรงกลมโบลช ยิ่งระยะทางสั้นลงไปที่จุดศูนย์กลางยิ่งควิกบิตของบุคคลนั้นผสมกันมากเท่าไหร่และยิ่งมีสถานะของโลกที่ยุ่งเหยิงมากเท่านั้น รัฐที่เข้าไปพัวพันสูงสุดจะให้ระยะทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้นั่นคือจุดที่อยู่ตรงกลางของทรงกลม คำตอบของ AHussain ให้คุณคณิตศาสตร์วิธีการคำนวณอย่างเป็นทางการว่า

— DaftWullie
แหล่งที่มา

คำตอบเหล่านี้มีประโยชน์ แต่ไม่มากในระดับที่ฉันกำลังมองหาซึ่งเป็นทั้งพื้นฐานมาก (ผู้ประกอบการความหนาแน่นยังคงทำให้ฉันค่อนข้างอึดอัด) และระดับที่สูงขึ้นคือ: เหตุใดจึงเป็นตัวแทนพัวพันเป็นระยะทางจากศูนย์กลางของทรงกลม ? มีเหตุผลตามธรรมชาติหรือแรงจูงใจในการทำเช่นนั้นหรือไม่ มันติดตามมาจากสิ่งอื่นที่เป็นที่ยอมรับดีหรือเป็นพื้นฐาน?

— orome

ผมขอย้ำอีกครั้ง Bloch Sphere ไม่ได้เป็นตัวแทนสิ่งกีดขวาง มันเป็นตัวแทนของรัฐหนึ่ง qubit ถ้าหนึ่ง qubit นั้นเป็นส่วนหนึ่งของสถานะที่บริสุทธิ์สอง -bbit แล้วขอบเขตที่หนึ่ง qubit ไม่ได้อยู่ในสถานะผลิตภัณฑ์เป็นขอบเขตที่มันจะเข้าไปพัวพัน แต่โดยพื้นฐานแล้วนี่คือคุณสมบัติของตัวดำเนินการความหนาแน่นสำหรับ qubits เดียว คุณไม่สามารถซ่อนจากที่

— DaftWullie

นี่คือบิตที่สำคัญฉันคิดว่า: "จากนั้นขอบเขตที่หนึ่ง qubit ไม่ได้อยู่ในสถานะของผลิตภัณฑ์คือขอบเขตที่จะเข้าไปพัวพันกับ" นั่นให้เหตุผลที่ฉันกำลังมองหา

— orome

$(x,y,z)$ $x^2+y^2+z^2 \leq 1$

สถานะที่เกี่ยวข้องกับจุดนี้คือ

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (I_{2} + x σ_{x} + y σ_{y} + z σ_{z}) \\ = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + z & x - i y \\ x + i y & 1 - z \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$

$(x,y,z)=(0,0,0)$ $\rho$

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 - ผม 0 \\ 0 + ผม 0 & 1 - 0 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

นี่คือสถานะผสมสูงสุด

สิ่งที่กำลังแสดงคือสถานะสำหรับ 1 qubit เท่านั้น นี่คือผลลัพธ์หลังจากทำการติดตามบางส่วนเหนือ qubit อื่น ๆ

$q_0$

\begin{array}{rcl} ρ & = & | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,1)$

จากนั้นมันก็จะไป

\begin{array}{rcl} ρ & = & H | 0 ⟩ ⟨ 0 | H \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$

แต่หลังจาก CNOT มันเป็น

\begin{array}{rcl} ρ & = & {Tr}_{2} ({CNOT}_{12} H | 00 ⟩ ⟨ 00 | H {CNOT}_{12}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ $d$ หรือมากกว่า qubits อย่าใช้การทำให้เป็นแบบพารามิเตอร์เฉพาะนี้อย่างจริงจังเกินไปเพียงแค่ช่วยให้เราสามารถพล็อตสถานะในวิธีการถ่ายทอดข้อมูลที่มองเห็นได้อย่างรวดเร็ว

— AHusain
แหล่งที่มา

ดูความคิดเห็นของฉันที่จะตอบ DaftWullie

— orome

แก้ไขเพื่อบอกว่ามันไม่พื้นฐาน

— AHusain

คุณบอกว่ามันใช้ไม่ได้ผลดีกับ d but 2 แต่การสร้างภาพข้อมูลดูเหมือนจะยังคงใช้กันทั่วไปสำหรับขนาดที่ใหญ่ขึ้น

— orome

สิ่งที่พวกเขาทำก็เหมือนวงจรนี้พวกเขาแสดงแต่ละ qubit หลังจากติดตามคนอื่น ๆ เหมือนกับวงจรนี้ที่แสดง 2 ทรงกลม สิ่งที่ฉันพูดคือพยายามมองภาพเมทริกซ์ความหนาแน่น d โดย d สำหรับทั้งระบบ พวกมันใหญ่เกินไปและซับซ้อนเกินกว่าจะวาดได้

— AHusain