การแยก NP จาก BQP ที่สัมพันธ์กับ oracle

ฉันกำลังดูบันทึกการบรรยายนี้ที่ผู้เขียนให้การแยกระหว่าง oracle$\mathsf{BQP}$ และ $\mathsf{NP}$. เขาบอกว่า "เทคนิค diagonalisation มาตรฐานสามารถใช้เพื่อทำให้สิ่งนี้เข้มงวด" ได้อย่างไร

ใครบางคนสามารถให้รายละเอียดเกี่ยวกับเทคนิคการทแยงมุมที่ควรใช้? ควรจะมีความแตกต่างที่สำคัญอย่างสังหรณ์ใจระหว่างสิ่งที่เคยใส่บางสิ่งบางอย่างนอกคลาสที่ซับซ้อนคลาสสิกและสิ่งที่เคยใส่บางสิ่งออกไปข้างนอก$\mathsf{BQP}$. โดยเฉพาะเนื่องจากอัลกอริทึมของโกรเวอร์นั้นดีที่สุดฉันกำลังมองหาเทคนิคแนวทแยงมุมซึ่งเราสามารถสร้าง oracle ได้$A$ ซึ่ง $\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$.

It seems to me that the diagonalisation arguments that can be used are only slightly different from a standard one, e.g. such as can be found in these lecture notes about the Baker–Gill–Solovay Theorem (i.e., that there are oracles $A$ for which $\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$ และออราเคิล $A$ ซึ่ง $\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$) โดยทั่วไปคุณจะต้องอธิบายวิธีการ 'ป้อนข้อมูล' ฝ่ายตรงข้ามให้แตกต่างกันเล็กน้อย

นี่คือวิธีที่เราอาจใช้วิธีนี้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของออราเคิล $A$ ซึ่ง $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$. สำหรับ oracle ใด ๆ$A$กำหนดภาษา

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ เป็นที่ชัดเจนว่า $L_A \in \mathsf{NP}^A$ ด้วยเหตุผลง่ายๆที่เครื่องทัวริง nondeterministic สามารถตรวจสอบว่าอินพุตเป็นของแบบฟอร์มหรือไม่ $1^n$ สำหรับบางคน $n$แล้วคาดเดาสตริง $z \in \{0,1\}^n$ ซึ่ง $A(z,0) = (z,1)$ ถ้าเช่นนั้น $z$ที่มีอยู่ เป้าหมายคือการแสดงให้เห็นว่า$L_A$ ไม่สามารถตัดสินใจได้ในเวลาพหุนามด้วยข้อผิดพลาดที่ถูกล้อมรอบโดยตระกูลวงจรรวมที่เหมือนกันโดยใช้ $O(2^{n/2})$ ขอบเขตล่างของปัญหาการค้นหา

1. ปล่อย $c,N > 0$ เป็นเช่นนั้นกับปัญหาการค้นหาใน oracles ด้วย $n$อินพุตบิตต้องการอย่างน้อย $c 2^{n/2}$ oracle ทำการสืบค้นอย่างถูกต้อง (ด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย 2/3) สำหรับทุกคน $n > N$.
   
   

2. ปล่อย $\mathbf C^{(1)}\!$, $\mathbf C^{(2)}\!$, $\ldots$ เป็นเครื่องนับจำนวนตระกูลออราเคิลรวมทั้งหมด $\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$เช่นว่าลำดับประตูของวงจร $C^{(k)}_n\!$ ทำหน้าที่ใน $n$- บิตอินพุตสามารถผลิตได้ในเวลาน้อยกว่าอย่างเคร่งครัด $c 2^{n/2}$. (เวลานี้เกี่ยวข้องกับสภาพ 'ความสม่ำเสมอ' ซึ่งเราจะสนใจในวงจรสามารถคำนวณได้โดยเครื่องทัวริงที่กำหนดขึ้นในเวลาพหุนาม - สภาพที่แข็งแกร่งกว่าที่เรากำหนดที่นี่การแจงนับของตระกูลวงจรเหล่านี้สามารถทำได้สำหรับ อินสแตนซ์โดยเป็นตัวแทนของพวกเขาโดยอ้อมโดยทัวริงเครื่องกำหนด$\mathbf T^{(k)}$ซึ่งสร้างลำดับเกทของพวกเขาและแจกแจงพวกนั้น ) เราแจกแจงตระกูลวงจรเพื่อให้แต่ละตระกูลวงจรเกิดขึ้นอย่างไม่สิ้นสุดบ่อยครั้งในการแจงนับ

   • จากขอบเขตรันไทม์บนคำอธิบายของลำดับเกตตามด้วยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $C^{(k)}_n$ มีน้อยกว่า $c 2^{n/2}$ ประตูสำหรับทุกคน $k$และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้น้อยกว่า $c 2^{n/2}$ แบบสอบถามไปยัง oracle

   • สำหรับคนใด $n$พิจารณาวงจร $C^{(n)}_n\!$. จากขอบเขตล่างของปัญหาการค้นหาเรารู้ว่าสำหรับ$n > N$ มีค่าที่เป็นไปได้ของฟังก์ชั่น oracle $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ ประเมินโดย oracle เช่นว่าด้วยความน่าจะเป็น 2/3 ผลผลิตที่ผลิตโดย $C^{(n)}_n\!$ บนอินพุต $1^n$ ไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้องหรือไม่ $\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$.

   • แต่ละ $n > N$เลือกฟังก์ชั่นดังกล่าว $f_n$ ซึ่ง $C^{(n)}_n$ "ล้มเหลว" ด้วยวิธีนี้
     
     

3. ปล่อย $A$ เป็น oracle ที่ขนาดอินพุต $n > N$ประเมินผล $f_{\!\!\:n\!\:}$.

มีการสร้าง $A$ ด้วยวิธีนี้แต่ละตระกูลวงจร $\mathbf C^{(n)}$ ตัดสินใจไม่ถูกต้อง $L_A$ ด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย 2/3 สำหรับบางคน $n > N$ (และอีกมากมายเช่นนี้ $n$ในความเป็นจริง). ถ้าอย่างนั้นไม่มีตระกูลวงจร$\mathbf C^{(k)}$ ตัดสินใจได้อย่างถูกต้อง $L_A$ ด้วยความน่าจะเป็นที่ประสบความสำเร็จล้อมรอบด้านล่าง 2/3 ของอินพุตทั้งหมดดังนั้น $L_A$ ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยขอบเขตดังกล่าวโดยตระกูลวงจรรวมเครื่องแบบที่สร้างขึ้นได้ทันเวลา $p(n)$.

ดังนั้น, $L_A \notin \mathsf{BQP}^A$ซึ่งมันตามมานั้น $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$.