วิธีการสร้างวงจรควอนตัมตั้งแต่เริ่มต้น

ตอนนี้ฉันกำลังศึกษาด้วยตนเองโดยใช้หนังสือเป็นหลัก: Quantum Computing a Gentle Introduction โดย Eleanor Rieffel และ Wolfgang Polak

การผ่านบทก่อนหน้าและแบบฝึกหัดไปได้ค่อนข้างดี (โชคดีที่บทก่อนหน้ามีตัวอย่างมากมาย) แต่ฉันติดอยู่ในบทที่ 5 ในวงจรควอนตัม แม้ว่าฉันจะเข้าใจแนวคิดที่ผู้เขียนนำเสนอบางทีอาจเป็นเพราะขาดตัวอย่าง แต่ฉันมีปัญหาในการใช้แนวคิดดังกล่าวกับแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัดที่ฉันมีปัญหา (และที่ฉันไม่สามารถหาคำตอบหรือคำอธิบายอย่างละเอียด / เกริ่นนำสำหรับ) มีดังต่อไปนี้:

$\\$

คำถาม:

ออกแบบวงจรสำหรับการสร้าง: $\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$ จาก $\left| 0 \dots 000 \right>$

และออกแบบวงจรสำหรับสร้าง "สถานะ Hardy": $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

$\\$

ใครช่วยชี้ให้ฉันไปในทิศทางที่ถูกต้องหรืออ้างอิงถึงวรรณกรรม / แบบฝึกหัดเพื่อที่ฉันจะได้เข้าใจการออกกำลังกายประเภทนี้ได้ดีขึ้น?

$\\$

อาจเป็นคำถามที่เกี่ยวข้อง: เคล็ดลับและกลเม็ดสำหรับการสร้างวงจรเพื่อสร้างสถานะควอนตัมโดยพลการ

ดังที่ DaftWullie ชี้ให้เห็นคำถามเกี่ยวกับ $W_n$มีคอลเลกชันที่ดีของคำตอบที่นี่

สำหรับคำถามสถานะ Hardy (และงานอื่น ๆ อีกมากมายเช่นนั้น) คุณสามารถเข้าหาได้ดังต่อไปนี้

• เริ่มต้นด้วย $|0...0\rangle$ สถานะ.
• เริ่มต้นด้วยการใส่ qubit แรก "ในสถานะที่ถูกต้อง" ซึ่งเป็นสถานะ $(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$ที่ไหน $\alpha$ และ $\beta$คือน้ำหนักสัมพัทธ์ของสถานะพื้นฐานทั้งหมดซึ่งเริ่มต้นด้วย 0 และ 1 ตามลำดับ สำหรับสถานะ Hardy โดยเฉพาะสถานะพื้นฐานสองสถานะเริ่มต้นด้วย 0:$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ และสองสถานะพื้นฐานเริ่มต้นด้วย 1: $\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$; น้ำหนักสัมพัทธ์ของพวกมันเป็นผลบวกของกำลังสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$ และ $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$ตามลำดับ ดังนั้นคุณจะต้องใส่ qubit แรกในรัฐ$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$ การใช้ $R_y$ ประตู.
• ดำเนินการต่อโดยใส่ qubit ที่สองในสถานะที่ถูกต้องควบคุมการใช้งาน $R_y$ประตูที่มี qubit แรกเป็นตัวควบคุม เพื่อให้ได้คำสองคำแรกที่ถูกต้องคุณต้องแปลงคำศัพท์$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$ ในระยะ $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ซึ่งเหมือนกับการแปลงสถานะปกติ $|0\rangle \otimes |0\rangle$ เข้าไป $\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ โดยไม่ส่งผลกระทบต่อรัฐ $|1\rangle \otimes |0\rangle$ (สังเกตการเปลี่ยนสภาพใหม่เมื่อเปลี่ยนจากเงื่อนไขของนิพจน์ที่ใหญ่กว่าไปเป็นสถานะสแตนด์อโลน!) ในการทำเช่นนี้คุณสามารถควบคุมได้ 0 $R_y$ ด้วย qubit แรกเป็นตัวควบคุมและ qubit ที่สองเป็นเป้าหมาย
• หากคุณมี qubits มากขึ้นคุณจะทำสิ่งนี้ต่อไปโดยใช้ qubits ที่ควบคุมได้มากขึ้นเพื่อทำให้การหมุนเวียนของคุณเฉพาะเจาะจงมากขึ้น

คุณสามารถดูเอกสารนี้โดย Shende, Bullock และ Markov หากคุณต้องการคำอธิบายแบบเฉพาะกิจและเป็นทางการมากขึ้น

คุณสามารถทำให้ปัญหา "สร้างสถานะ" ง่ายขึ้นโดยแบ่งเป็นสามส่วน:

1. เตรียมชุดของขนาดที่คุณต้องการโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับเฟสหรือสถานะที่มีขนาดใด
2. แก้ไขขั้นตอน
3. แก้ไขการสั่งซื้อ

ตอนนี้ให้พิจารณารัฐ Hardy ขนาดที่เราต้องทำคืออะไร เราต้องการหนึ่งตัวอย่างของ$3/\sqrt{12}$ และอินสแตนซ์สามอินสแตนซ์ของ $1/\sqrt{12}$. เราสามารถทำให้พวกเขาทีละครั้งโดยมีสถานะ "เหลือแอมพลิจูด" ที่เราแยกออกจาก

เราเริ่มต้นด้วยแอมพลิจูดทั้งหมดในสถานะเดียวด้วยการกระตุ้นทางด้านซ้าย $\ell_0 |1000...00\rangle$ ที่ไหน $\ell_0=1$. สิ่งที่เราต้องการจะทำคือเลื่อนการกระตุ้นไปทางขวาในขณะที่ทิ้งขนาดที่ต้องการ เพื่อเริ่มต้นเราต้องการทิ้งความสำคัญไว้$3/\sqrt{12}$. เราสามารถทำได้ด้วยการควบคุม$R_y(\theta_0)$การดำเนินการโดยที่การควบคุมคือ qubit ซ้ายสุดและเป้าหมายคือ qubit ทางด้านขวา เพียงแค่เลือกค่าที่เหมาะสมสำหรับ$\theta$สิ่งนี้จะส่งผลให้รัฐ $3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$. จากนั้นเรา CNOT ควอตที่สองกลับสู่ควิปแรกเพื่อไป$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$. ต่อไปเราต้องการดึงออก$1/\sqrt{12}$. เราทำอีกอย่าง$R_y$ควบคุมโดย qubit ซ้ายสุดตามด้วย CNOT ย้อนหลัง แต่คราวนี้กับเป้าหมายคือ qubit ที่สามจากทางซ้าย โดยการเลือกที่สมบูรณ์แบบ$\theta_1$ เราจะผลิตรัฐ $\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$. และคุณก็ทำเช่นนี้ต่อไปจนกว่าคุณจะได้รับแอมพลิจูดทั้งหมดที่คุณต้องการโดยพูดได้อย่างสบายโดย qubits ที่ตื่นเต้น

ตอนนี้คุณต้องการแก้ไขเฟสที่ไม่ถูกต้องที่เกิดจากการหมุน Y สำหรับสถานะ Hardy นี่เป็นเรื่องง่ายเพราะทุกขั้นตอนเป็นบวก โดยทั่วไปคุณกำหนดเป้าหมายแต่ละตำแหน่ง$k$ ด้วย $R_z(\phi_k)$ การดำเนินการกับการเลือกอย่างเหมาะสม $\phi_k$ ค่าและนั่นจะทำให้เฟสนั้นถูกต้อง

ตอนนี้เราต้องการรับการสั่งซื้อที่ถูกต้อง วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการมี qubits พิเศษบางอย่างที่เป็น qubits ของคุณและสำหรับแต่ละ qubits ที่เราได้เตรียมไว้จนถึงตอนนี้และแต่ละ qubits ที่เพิ่ม CNOT ระหว่างสองหรือไม่ ตัวอย่างเช่นถ้ารัฐที่มีความกว้าง$3/\sqrt{12}$ ควรจะเป็น $|11\rangle$แล้วเราต้อง CNOT จาก qubit ซ้ายสุดของเราไปยัง qubits ผลลัพธ์ทั้งสอง จากนั้นเราจำเป็นต้องเลิกคำนวณ qubit ซ้ายสุดโดยใช้การดำเนินการ NOT ที่ควบคุมไม่ได้มากมาย ควรมีการควบคุมหนึ่งรายการสำหรับแต่ละ qubit เอาต์พุตและประเภทของตัวควบคุม (qubit-must-be-on เทียบกับ qubit-must-be-off) จะถูกกำหนดโดยไม่ว่าคุณจะเปิดใช้งาน qubit หรือไม่

การใช้ขั้นตอนเหล่านี้ทำให้เกิดวงจรที่ไม่มีประสิทธิภาพ แต่ถูกต้องสำหรับการสร้างสถานะ Hardy คุณสามารถเปิดวงจรใน Quirk :

หากคุณต้องการสร้างสถานะโดยไม่ต้องใช้พื้นที่ทำงานมากงานก็จะยากขึ้น แต่คุณยังสามารถติดตามขนาดจากนั้นขั้นตอนจากนั้นสั่งซื้อรูปแบบ นอกจากนี้ยังมีวิธีที่ชาญฉลาดในการเตรียมชุดขนาดที่มีรูปแบบที่ดี ตัวอย่างเช่นเมื่อแอมพลิจูดเพียงอันเดียวแตกต่างจากแอมพลิจูดอื่นการขยายแอมพลิจูดบางส่วนรอบหนึ่งอาจเพียงพอที่จะเตรียมรัฐ