ตัวดำเนินการแบ็กสแลช MATLAB จะแก้ปัญหา

ฉันกำลังเปรียบเทียบรหัสของฉันบางส่วนกับรหัส "หุ้น" MATLAB ฉันประหลาดใจที่ผลลัพธ์

ฉันรันโค้ดตัวอย่าง (Sparse Matrix)

n = 5000;
a = diag(rand(n,1));
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('Inv(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

ผล :

    For a\b
    Elapsed time is 0.052838 seconds.

    For LU
    Elapsed time is 7.441331 seconds.

    For Conj Grad
    Elapsed time is 3.819182 seconds.

    Inv(A)*B
    Elapsed time is 38.511110 seconds.

สำหรับเมทริกซ์หนาแน่น:

n = 2000;
a = rand(n,n);
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('For INV(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

ผล:

For a\b
Elapsed time is 0.575926 seconds.

For LU
Elapsed time is 0.654287 seconds.

For Conj Grad
Elapsed time is 9.875896 seconds.

Inv(A)*B
Elapsed time is 1.648074 seconds.

heck นั้นยอดเยี่ยมแค่ไหน?

ใน Matlab คำสั่ง '\' เรียกใช้อัลกอริทึมซึ่งขึ้นอยู่กับโครงสร้างของเมทริกซ์ A และรวมถึงการตรวจสอบ (ค่าใช้จ่ายเล็ก ๆ ) กับคุณสมบัติของ A.

1. ถ้า A กระจัดกระจายและมีแถบสีให้ใช้ตัวแก้แถบสี
2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมด้านบนหรือด้านล่างให้ใช้อัลกอริทึมการทดแทนแบบย้อนกลับ
3. ถ้า A นั้นเป็นสมมาตรและมีองค์ประกอบที่เป็นเส้นทแยงมุมบวกจริง ๆ ให้ลองใช้ตัวประกอบแบบ Cholesky หาก A กระจัดกระจายให้ใช้การจัดเรียงใหม่ก่อนเพื่อลดการเติม
4. หากไม่ตรงตามเกณฑ์ข้างต้นให้ทำการแยกตัวประกอบแบบสามเหลี่ยมทั่วไปโดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ด้วยการหมุนบางส่วน
5. ถ้า A กระจัดกระจายให้ใช้ไลบรารี UMFPACK
6. ถ้า A ไม่ใช่ตารางให้ใช้อัลกอริทึมที่ยึดตามตัวประกอบการ QR สำหรับระบบที่ไม่ได้ระบุ

เพื่อลดค่าใช้จ่ายคุณสามารถใช้คำสั่ง linsolve ใน Matlab และเลือกตัวแก้ไขที่เหมาะสมในตัวเลือกเหล่านี้ด้วยตัวคุณเอง

หากคุณต้องการดูว่าอะไรที่a\bทำให้เมทริกซ์เฉพาะของคุณคุณสามารถตั้งค่าspparms('spumoni',1)และคิดได้ว่าอัลกอริทึมใดที่คุณประทับใจ ตัวอย่างเช่น:

spparms('spumoni',1);
A = delsq(numgrid('B',256));
b = rand(size(A,2),1);
mldivide(A,b);  % another way to write A\b

จะส่งออก

sp\: bandwidth = 254+1+254.
sp\: is A diagonal? no.
sp\: is band density (0.01) > bandden (0.50) to try banded solver? no.
sp\: is A triangular? no.
sp\: is A morally triangular? no.
sp\: is A a candidate for Cholesky (symmetric, real positive diagonal)? yes.
sp\: is CHOLMOD's symbolic Cholesky factorization (with automatic reordering) successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's numeric Cholesky factorization successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's triangular solve successful? yes.

ดังนั้นฉันจะเห็นว่า "\" จบลงด้วยการใช้ "CHOLMOD" ในกรณีนี้

สำหรับการฝึกอบรมเบาบาง Matlab ใช้ UMFPACK สำหรับ " \" การดำเนินการซึ่งในตัวอย่างของคุณโดยทั่วไปวิ่งผ่านค่าของa, bตีความพวกเขาและพวกเขาคูณกับค่านิยมของ สำหรับตัวอย่างนี้คุณควรใช้b./diag(a)ซึ่งเร็วกว่ามาก

สำหรับระบบที่มีความหนาแน่นผู้ใช้แบ็กสแลชนั้นค่อนข้างซับซ้อนกว่าเล็กน้อย คำอธิบายสั้น ๆ ของสิ่งที่จะทำเมื่อจะได้รับที่นี่ ในตัวอย่างของคุณ Matlab จะแก้ปัญหาa\bโดยใช้การแทนที่แบบย้อนหลัง สำหรับเมทริกซ์จตุรัสทั่วไปจะใช้ LU-decomposition

ตามกฎของหัวแม่มือหากคุณมีเมทริกซ์ที่กระจัดกระจายของความซับซ้อนที่สมเหตุสมผล (เช่นมันไม่จำเป็นต้องเป็นลายฉลุ 5 จุด แต่อันที่จริงแล้วอาจเป็น discretization ของสมการสโตกส์ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ต่อแถว ใหญ่กว่า 5) จากนั้นตัวแก้ปัญหาแบบเบาบางโดยตรงเช่น UMFPACK มักจะเป็นนักแก้ปัญหา Krylov ซ้ำแล้วซ้ำอีกถ้าปัญหาไม่ใหญ่กว่า 100,000 รอบที่ไม่รู้จัก

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับเมทริกซ์กระจัดกระจายส่วนใหญ่ที่เกิดจากการแยกย่อย 2d ตัวแก้ปัญหาโดยตรงเป็นทางเลือกที่เร็วที่สุด เฉพาะปัญหา 3 มิติที่คุณได้รับมากกว่า 100,000 unknowns อย่างรวดเร็วมันจำเป็นหรือไม่ที่จะต้องใช้ตัวแก้ซ้ำ