Galerkin ไม่ต่อเนื่อง: ข้อดีและข้อเสียของ Modal Nodal

มีวิธีการทั่วไปสองวิธีในการแสดงวิธีแก้ปัญหาในวิธี galerkin ที่ไม่ต่อเนื่อง: โหนดและโมดัล

1. Modal : โซลูชั่นจะถูกแทนด้วยผลรวมของสัมประสิทธิ์กิริยาคูณด้วยชุดของพหุนาม e กรัมที่เป็นพหุนามมักจะตั้งฉาก เช่น Legendre ข้อดีอย่างหนึ่งของสิ่งนี้คือพหุนามมุมฉากทำให้เกิดเมทริกซ์มวลในแนวทแยง$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Nodal : เซลล์ประกอบด้วยหลายโหนดที่กำหนดโซลูชัน การสร้างเซลล์ขึ้นใหม่จะยึดตามพหุนามแบบสอดแทรกที่เหมาะสมเช่นโดยที่คือพหุนาม Lagrange ข้อดีอย่างหนึ่งของสิ่งนี้คือคุณสามารถวางตำแหน่งโหนดของคุณที่จุดพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและประเมินอินทิกรัลได้อย่างรวดเร็ว$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

ในบริบทของขนาดใหญ่ซับซ้อน ( -อานนท์) แอปพลิเคชันแบบผสมที่มีโครงสร้าง / ไม่มีโครงสร้างโดยมีเป้าหมายของความยืดหยุ่นความชัดเจนของการนำไปใช้และประสิทธิภาพข้อดีและข้อเสียของแต่ละวิธีเปรียบเทียบกันอย่างไร$10^6$$10^9$

ฉันแน่ใจว่ามีวรรณกรรมที่ดีอยู่แล้วดังนั้นหากใครบางคนสามารถชี้ให้ฉันไปที่บางสิ่งบางอย่างที่จะดีเช่นกัน

การแลกเปลี่ยนด้านล่างนี้ใช้กับ DG และองค์ประกอบสเปกตรัม (หรือองค์ประกอบ -version finite) อย่างเท่าเทียมกัน$p$

การเปลี่ยนลำดับขององค์ประกอบเช่นเดียวกับใน -adaptivity นั้นง่ายกว่าสำหรับฐานกิริยาเนื่องจากฟังก์ชันพื้นฐานที่มีอยู่ไม่เปลี่ยนแปลง โดยทั่วไปจะไม่เกี่ยวข้องกับประสิทธิภาพ แต่บางคนชอบมันอยู่ดี ฐาน Modal ยังสามารถกรองโดยตรงสำหรับเทคนิคต่อต้านนามแฝงบางอย่าง แต่นั่นก็ไม่ได้เป็นคอขวดประสิทธิภาพ ฐานโมดัลยังสามารถเลือกให้เปิดเผยกระจัดกระจายภายในองค์ประกอบสำหรับผู้ให้บริการพิเศษ (โดยปกติคือ Laplacian และเมทริกซ์มวล) สิ่งนี้ไม่ได้ใช้กับองค์ประกอบสัมประสิทธิ์ตัวแปรหรือองค์ประกอบที่ไม่ใช่เลียนแบบและการประหยัดนั้นไม่มากนักสำหรับการสั่งซื้อขนาดเล็กที่มักใช้ใน 3D$p$

Nodal base ทำให้คำจำกัดความขององค์ประกอบต่อเนื่องง่ายขึ้นลดความยุ่งยากของการใช้เงื่อนไขขอบเขตการติดต่อและสิ่งที่คล้ายกันง่ายต่อการพล็อตและนำไปสู่$h$- รูปไข่ในตัวดำเนินการที่ถูกแยกออก (ทำให้สามารถใช้งานเครื่องปั่น / เครื่องปรับสภาพอากาศราคาไม่แพง) นอกจากนี้ยังง่ายกว่าในการกำหนดแนวคิดที่ใช้งานโดยนักแก้ปัญหาเช่นโหมดตัวแข็ง (เพียงใช้พิกัดที่เป็นปม) และเพื่อกำหนดตัวดำเนินการถ่ายโอนกริดบางอย่างเช่นเกิดขึ้นในวิธีการหลายจุด การแยกส่วนย่อยในตัวยังพร้อมใช้งานสำหรับการปรับสภาพล่วงหน้าโดยไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนพื้นฐาน การแยกย่อยที่สำคัญสามารถใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้อย่างมีประสิทธิภาพ (เช่นเดียวกับวิธีองค์ประกอบสเปกตรัม) และการรวมกลุ่มที่อยู่ภายใต้ที่สอดคล้องกันนั้นดีต่อการอนุรักษ์พลังงาน การเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบสำหรับสมการอันดับหนึ่งคือการแยกคำสำหรับฐานปมแม้ว่าจะมีการดัดแปลงฐานเพื่อให้ได้ช่องว่างเดียวกัน

ฉันอยากรู้อยากเห็นคำตอบของคำถามนี้ แต่อย่างใดไม่มีใครรบกวนการตอบ ...

เกี่ยวกับวรรณกรรมผมชอบหนังสือผี / แรงม้าธาตุวิธีการพลศาสตร์ของไหล (นอกจากนี้ยังมีราคาถูกกว่าปกอ่อนรุ่นนี้) และหนังสือของHesthaven และบูร ทั้งสองเข้าไปในรายละเอียดค่อนข้างมากที่จะช่วยให้คุณใช้วิธีการ หนังสือของCanuto, Hussaini, Quarteroni และ Zangเป็นทฤษฎีมากกว่า อันนี้ยังมี "วิธีการทางสเปกตรัมที่สอง: วิวัฒนาการสู่รูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนและการประยุกต์ใช้กับพลศาสตร์ของไหล"

ฉันไม่ได้ทำงานกับวิธีการของ DG และฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในการตัดสินข้อดีของ nodal vs. modal หนังสือของ Karniadakis & Sherwin มุ่งเน้นไปที่วิธีการที่มีการขยายคำกริยาอย่างต่อเนื่อง ในวิธีการประเภทนี้คุณจำเป็นต้องเรียงลำดับโหมดในสององค์ประกอบที่อยู่ในลักษณะเดียวกันซึ่งโหมดที่สอดคล้องกันบนอินเทอร์เฟซตรงกันเพื่อรักษาความต่อเนื่องของการขยายตัวทั่วโลก นอกจากนี้การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตต้องใช้ความสนใจเป็นพิเศษเนื่องจากโหมดของคุณไม่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งที่ระบุในขอบเขต

ฉันหวังว่าคนที่คุ้นเคยกับวิธีการประเภทนี้จะเพิ่มรายละเอียดเพิ่มเติม