การคำนวณที่มีประสิทธิภาพของเมทริกซ์ผกผันสแควร์รูท

15

ปัญหาที่พบบ่อยในสถิติคือการคำนวณค่าผกผันสแควร์รูทของเมทริกซ์แน่นอนบวกที่เป็นสมมาตร อะไรจะเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพสูงสุดในการคำนวณสิ่งนี้?

ฉันเจอวรรณกรรมบางเล่ม (ซึ่งฉันยังไม่ได้อ่าน) และมีรหัส R เล็กน้อยที่นี่ซึ่งฉันจะทำซ้ำที่นี่เพื่อความสะดวก

# function to compute the inverse square root of a matrix
fnMatSqrtInverse = function(mA) {
  ei = eigen(mA)
  d = ei$values
      d = (d+abs(d))/2
      d2 = 1/sqrt(d)
      d2[d == 0] = 0
      return(ei$vectors %*% diag(d2) %*% t(ei$vectors))
}

d = (d+abs(d))/2ผมไม่แน่ใจว่าทั้งหมดผมเข้าใจบรรทัด มีวิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าในการคำนวณเมทริกซ์ผกผันสแควร์รูทหรือไม่? การวิจัยeigenการเรียกฟังก์ชัน LAPACK

linear-algebra numerical-analysis matrix

— tchakravarty
แหล่งที่มา

ที่จัดไว้ให้

เป็นจริง

เท่ากับ

)

สิ่งนี้จะกำจัดค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบใด ๆ ที่เมทริกซ์อาจมีได้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณไม่จำเป็นต้องรายการทั้งหมดของเมทริกซ์

หรือมันจะเพียงพอที่จะสามารถที่จะคูณ

โดยพลเวกเตอร์

?

d

$d$

(d + | d |) / 2

$(d+|d|)/2$

max (d, 0)

$\max(d,0)$

A^{- 1 / 2}

$A^{-1/2}$

A^{- 1 / 2}

$A^{-1/2}$

x

$x$

— Daniel Shapero

@DanielShapero ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ ถ้าฉันมีเมทริกซ์ PSD ฉันไม่ต้องการบรรทัดนั้น ใบสมัครของฉันต้องใช้คอมพิวเตอร์ในรูปแบบสมการกำลังสองเช่น

2

A^{- 1 / 2} B A^{- 1 / 2}

$A^{-1/2}BA^{-1/2}$

— tchakravarty

ฉันไม่คุ้นเคยกับ R แต่ได้รับบรรทัดที่ 7 ฉันคิดว่ามันมีการทำดัชนีเชิงตรรกะเช่น Matlab ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันขอแนะนำให้คุณเขียนบรรทัดที่ 5 d[d<0] = 0ใหม่ซึ่งมีความหมายมากกว่า

— Federico Poloni

รหัสนี้ถูกต้องหรือไม่ ฉันใช้มันกับตัวอย่างง่ายๆใน matlab และพบคำตอบว่าผิด เมทริกซ์ของฉันเป็นบวกแน่นอน แต่ก็ไม่สมมาตร โปรดดูคำตอบของฉันด้านล่าง: ฉันได้โอนรหัสไปยัง matlab

— roni

10

รหัสที่คุณได้โพสต์ใช้การสลายตัว eigenvalue ของเมทริกซ์สมมาตรเพื่อคำนวณ 2 $A^{-1/2}$

คำสั่ง

d = (D + เอบีเอส (ง)) / 2

$A$

$A$ $A$

$A$

— Brian Borchers
แหล่งที่มา

6

A

$A$

A

$A$

A = B^{T} B

$A=B^TB$

B

$B$

B

$B$

R

$R$

A

$A$

5

จากประสบการณ์ของผมวิธีโพลาร์ - นิวตันของไฮแทมทำงานได้เร็วขึ้นมาก (ดูบทที่ 6 ของฟังก์ชั่นของเมทริกซ์โดยเอ็นไฮแทม) ในบันทึกย่อของฉันนี้มีแปลงที่เปรียบเทียบวิธีนี้กับวิธีการสั่งซื้อครั้งแรก นอกจากนี้ยังมีการนำเสนอการอ้างอิงถึงเมทริกซ์ - สแควร์รูทอื่น ๆ อีกมากมายถึงแม้ว่าการวนซ้ำขั้วนิวตันดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดีที่สุด

% compute the matrix square root; modify to compute inverse root.
function X = PolarIter(M,maxit,scal)
  fprintf('Running Polar Newton Iteration\n');
  skip = floor(maxit/10);
  I = eye(size(M));
  n=size(M,1);
  if scal
    tm = trace(M);
    M  = M / tm;
  else
    tm = 1;
  end
  nm = norm(M,'fro');

  % to compute inv(sqrt(M)) make change here
  R=chol(M+5*eps*I);

  % computes the polar decomposition of R
  U=R; k=0;
  while (k < maxit)
    k=k+1;
    % err(k) = norm((R'*U)^2-M,'fro')/nm;
    %if (mod(k,skip)==0)
    %  fprintf('%d: %E\n', k, out.err(k));
    %end

    iU=U\I;
    mu=sqrt(sqrt(norm(iU,1)/norm(U,1)*norm(iU,inf)/norm(U,inf)));
    U=0.5*(mu*U+iU'/mu);

   if (err(k) < 1e-12), break; end
  end
  X=sqrt(tm)*R'*U;
  X = 0.5*(X+X');
end

— suvrit
แหล่งที่มา

0

เพิ่มประสิทธิภาพรหัสของคุณ:

ตัวเลือกที่ 1 - เพิ่มประสิทธิภาพรหัส R ของคุณ:
คุณสามารถapply()ฟังก์ชั่นdที่จะทั้งสองmax(d,0)และd2[d==0]=0ในหนึ่งวง
ข ลองใช้งานei$valuesโดยตรง

ตัวเลือกที่ 2 - ใช้ C ++:
เขียนRcppArmadilloซ้ำฟังก์ชันทั้งหมดใน C ++ ด้วย คุณจะยังสามารถโทรหาได้จาก R

— อำนาจ
แหล่งที่มา