การใช้วิธี Jacobi-Davidson สำหรับปัญหาลูกบาศก์ค่าลักษณะเฉพาะ

ฉันมีปัญหาค่า eigenvalue ขนาดใหญ่:

(A_{0} + λ A_{1} + λ^{2} A_{2} + λ^{3} A_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

ฉันสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการแปลงเป็นปัญหาค่าลักษณะเชิงเส้น แต่มันจะส่งผลให้ระบบ $3^2$ มีขนาดใหญ่:

[\begin{matrix} - A_{0} & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & I \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ I & 0 & 0 \\ 0 & I & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

ที่ไหน $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ และ $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$ . มีเทคนิคอื่นใดอีกบ้างที่ช่วยแก้ปัญหาค่าไอคิวลูกบาศก์? ฉันได้ยินมาว่ามีรุ่นของ Jacobi-Davidson ที่จะแก้ปัญหาได้ แต่ยังไม่พบการใช้งาน

นอกจากนี้ฉันต้องสามารถกำหนดเป้าหมายค่าลักษณะเฉพาะเช่นเดียวกับวิธี shift-and-invert ของ ARPACK และค้นหา eigenvectors ที่เกี่ยวข้อง

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
แหล่งที่มา

อะไรคือมิติของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง?

— Bill Barth

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ คือการสั่งซื้อ

10000 \times 10000

$10000\times 10000$ . ฉันมีสองสูตรที่แตกต่างกันของปัญหานี้ซึ่งหนึ่งในนั้น

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ มีความหนาแน่นและในที่อื่น ๆ จะเบาบาง

— OSE

SLEPcมีกิจวัตรสำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะกำลังสองและปัญหาค่าลักษณะไม่เชิงเส้นดังนั้นคุณอาจจะสามารถค้นหาสิ่งที่คุณต้องการได้ นอกจากนี้ยังมีระบบ shift-and-invert และมีส่วนต่อประสานกับ ARPACK

— Geoff Oxberry

ด้วยโปรโตคอลการสื่อสารย้อนกลับของ ARPACK คุณไม่จำเป็นต้องจัดเก็บ $3n \times 3n$ เมทริกซ์อย่างชัดเจน: คุณเพียงแค่ต้องจัดเตรียมสองฟังก์ชันที่คำนวณ:

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ และ $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(คุณยังคงจ่ายราคาของการจัดเก็บ $3\times n$ เวกเตอร์สามมิติ แต่คุณไม่ต้องจ่ายอะไรเลยสำหรับเมทริกซ์)

เกี่ยวกับการแปลงกลับด้านคุณสามารถทำได้เช่นใช้ตัวคุณเองโดยใช้การติดต่อกลับที่คำนวณ $x \mapsto M^{-1} x$ แทน $x \mapsto M x$ และแทนที่การคำนวณ $\lambda's$ กับ $\lambda^{-1}$ . เพื่อคำนวณ $M^{-1}x$ คุณสามารถคาดการณ์เมทริกซ์ของคุณล่วงหน้า $M$ ซึ่งหมายถึงการเตรียมการซื้อล่วงหน้าเท่านั้น $A_0$ (ใช้ LU, Cholesky หรือเวอร์ชันแบบเบาบางขึ้นอยู่กับโครงสร้างของเมทริกซ์) สำหรับการแปลงกลับด้านแบบเต็มรูปแบบฉันคิดว่าสิ่งที่คล้ายกันสามารถทำได้

— BrunoLevy
แหล่งที่มา