การจับคู่กำลังสองน้อยที่สุดในการหมุนล้วนๆ

ใครสามารถแนะนำวิธีการสำหรับปัญหากำลังสองน้อยที่สุดต่อไปนี้:

$R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$R$

ฉันสามารถหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยย่อ$\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ (โดยพลการ$A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ) เมทริกซ์$A$และ:

• คำนวณ SVD: $A = U \Sigma V^T$ , ปล่อย$\Sigma$และประมาณ$R \approx U V^T$
• การคำนวณการสลายตัวของขั้วโลก: $A = U P$ , การลดขนาดแบบสมมาตร (และแน่นอนในเชิงบวกในกรณีของฉัน) $P$และการประมาณ$R \approx U$

ฉันสามารถใช้การสลายตัวของ QR ได้ แต่มันไม่ได้มีมิติเท่ากัน (ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบพิกัด)

ไม่มีใครรู้วิธีที่จะทำอย่างน้อยประมาณ แต่มีการประมาณที่ดีกว่าสองวิธีข้างต้น?

ปัญหาที่เรียกว่าปัญหาของ Wahbaหนึ่งอัลกอริทึมสำหรับเป็นที่เรียกว่าอัลกอริทึม KABSCHและต่อมาได้รับความนิยมมากขึ้นเป็นสิ่งที่เรียกว่าวิธี Q ดาเวนพอร์ต เห็นได้ชัดว่ามันถูกใช้และศึกษาในวิชาการบินเพื่อกำหนดทิศทางของยาน มีความคิดเห็นมากมายเกี่ยวกับวิธีการ

ระวังว่าแบบที่ดีที่สุดอาจรวมถึงการสะท้อน

วิธี Kabsch คำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม 3x3 และลดลงที่เทอม (แบบโมดูโลหนึ่งการสะท้อนซึ่งโดยปกติจะถูกพิจารณาโดยลบคอลัมน์สุดท้ายของใน SVD) ตรงไปตรงมามากที่จะพูดถึงมิติอื่น ๆ$\Sigma$$U$

Davenport q method มักถูกขนานนามว่าเป็นอัลกอริธึมแรกที่ใช้งานได้จริงบางคนอาจแสดงความเห็นว่าทำไม นอกจากนี้ยังสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม 3x3 แต่จากนั้นพาราเมทริกซ์หมุนเมทริกซ์เป็นฟังก์ชั่นของควอเทอเรียนและปัญหากลายเป็นว่าการคำนวณค่าสูงสุด - ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ 4x4 สมมาตร

(บางคน) ส่วนใหญ่การใช้งานที่ตัวเลขที่นิยมเรียกว่าQUEST และ FOMA วิธีการเหล่านี้มักจะมีการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบของการคำนวณค่าสูงสุดสูงสุดโดยการเขียนและเพิ่มประสิทธิภาพพหุนามลักษณะ (ควอร์ทิค) และการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ (การคำนวณที่เกี่ยวข้องสวยผ่านสูตร Kardano) หรือการทำซ้ำนิวตัน

ชูสเตอร์ยังพัฒนาและวิเคราะห์ตัวแปรอัลกอริทึมซ้ำบางอย่าง