คำอธิบายพื้นฐานของฟังก์ชันรูปร่าง

ฉันเพิ่งเริ่มเรียน FEM ในรูปแบบที่มีโครงสร้างมากกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันเคยทำในช่วงหลักสูตรระดับปริญญาตรี ฉันทำสิ่งนี้เพราะแม้ว่าฉันจะสามารถใช้ "FEM" ในซอฟต์แวร์เชิงพาณิชย์ (และอื่น ๆ ที่ไม่ใช่เชิงพาณิชย์) ฉันต้องการที่จะเข้าใจจริงๆเทคนิคใต้ดินที่สนับสนุนวิธีการ นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันมาที่นี่ด้วยอย่างน้อยสำหรับผู้ใช้ที่มีประสบการณ์เกี่ยวกับเทคนิคคำถามพื้นฐาน

ตอนนี้ฉันกำลังอ่านหนังสือยอดนิยม (ฉันคิดว่า) และหนังสือ "เป็นมิตรกับวิศวกร" ที่เรียกว่า "ระเบียบวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ - พื้นฐาน" จาก Zienkwicz ฉันได้อ่านหนังสือเล่มนี้จากหน้าแรก แต่ฉันยังไม่เข้าใจแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชั่นรูปร่างในแบบที่เซียนโควิคซ์อธิบาย

สิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับสิ่งที่ฉันอ่านคือเมทริกซ์ "ความแข็ง" ซึ่งเป็นสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ไม่ทราบด้วยผลลัพธ์ ( ใน: A k = b ) มีส่วนประกอบจาก "ความสัมพันธ์ระหว่างโหนด" และหากว่า "ความสัมพันธ์" เปลี่ยนแปลง (เช่นถ้าเราเปลี่ยนเป็นหน่วยลำดับสูงกว่า) เมทริกซ์ความแข็งนั้นจะเปลี่ยนไปเนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างโหนดทำ$A$$Ak=b$

แต่ในหนังสือเล่มนี้นิยามค่อนข้างคลุมเครือสำหรับฉันเพราะในบางจุดมันบอกว่าคุณสามารถเลือกฟังก์ชั่นโดยพลการเช่นเมทริกซ์เอกลักษณ์:

คำอธิบายเดียวที่ฉันพบคือในบล็อกนี้แต่ก็ยังไม่ชัดเจนสำหรับฉัน ดังนั้นบางคนสามารถให้คำอธิบายง่ายๆแก่ฉันเกี่ยวกับฟังก์ชั่น Shape และวิธีการทำ "วางไว้" ในเมทริกซ์ความแข็งคืออะไร

ฉันพบวิธีการอธิบายวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ที่มุ่งเน้นไปที่ระบบเชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องและทำงานย้อนหลังโดยไม่จำเป็น มันชัดเจนกว่ามากที่จะไปทางอื่นแม้ว่าจะเกี่ยวข้องกับสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์เล็กน้อยในตอนแรก (ซึ่งฉันจะพยายามทำให้น้อยที่สุด)

$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

ในแนวทางวิศวกรรมเพื่อ FEM ในกลศาสตร์โครงสร้างวิธีการที่จะนำเสนอที่คุณสูญเสียความรู้สึกว่าคุณจะแก้บางส่วนสมการเชิงอนุพันธ์

พวกเขาแสดงเมทริกซ์เหล่านี้ให้พวกเขาพวกเขาแนบความหมายทางกายภาพบางอย่างและในความคิดของฉันสิ่งนี้นำคุณไปสู่การพัฒนาสัญชาตญาณทางร่างกายที่น่าสงสัยสำหรับฟิลด์

มันอาจจะเป็นประโยชน์หากคิดเกี่ยวกับหัวเรื่องของมันในแง่ของเรขาคณิต วิธีแก้ปัญหาค่าขอบเขตสำหรับ PDE คือรูปร่างบางส่วน VI Arnol เคยกล่าวไว้ว่าชื่นชมความสำเร็จของนิวตันในสนามเพื่อถอดความ - เขาทำสิ่งมหัศจรรย์โดยการสร้างสมการเชิงอนุพันธ์โดยอนุญาตให้เราปฏิรูปปัญหาของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติถึงปัญหาเชิงเรขาคณิตของเส้นโค้งในระนาบและพื้นผิวในอวกาศ

ใน FEM คุณประมาณวิธีแก้ปัญหา (ใน FD และ FVM คุณประมาณสมการการปกครอง)

ป้อน Boris Gligorievich Galerkin BG Galerkin พูดว่าอะไร?

เขากล่าวว่า“ ฉันต้องการให้คุณไม่สามารถทำสิ่งที่เหลือด้วยฟังก์ชั่นพื้นฐานแบบเดียวกันคุณเคยสร้างวิธีแก้ปัญหา ”

(PS เรื่องนี้ไม่จริงอย่างสมบูรณ์และฉันขอให้ผู้อ่านของฉันหาคำอธิบายที่ดีขึ้นของ (Bubnov-) วิธี Galerkin ถ้ามันมีอยู่)

ฟังก์ชันพื้นฐานหรือฟังก์ชันทดลองใช้เป็นฟังก์ชันที่คุณใช้ในการสร้างโซลูชัน คุณใช้พวกเขาเพื่อประมาณรูปร่างของการแก้ปัญหา

$Ku=f$

$Ku=f$

สิ่งที่สำคัญที่สุดที่ต้องรู้เกี่ยวกับ "ฟังก์ชั่นรูปร่าง" คือพวกเขาอธิบายว่าตัวแปรตามที่คุณต้องการคำนวณ (เช่นการกระจัด) แตกต่างกันอย่างไรเมื่อฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่ขององค์ประกอบ (เช่น x และ y) ในแง่ของ พารามิเตอร์สเกลาร์บางตัวที่ไม่รู้จัก

บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันรูปร่างเป็นพหุนามแบบง่ายและพารามิเตอร์สเกลาร์คือค่าของตัวแปรตามที่โหนดองค์ประกอบ

การสร้างสมการไฟไนต์เอลิเมนต์โดยใช้ฟังก์ชั่นรูปร่างเหล่านี้ต้องการแนวคิดพื้นฐานอื่นอีกสองสามประการเช่นการสร้าง "รูปแบบที่อ่อนแอ" ของสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนที่คุณกำลังพยายามแก้ไข

มี "เวทย์มนต์" ที่ไม่จำเป็นจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณลองทำความเข้าใจพื้นฐานอย่างละเอียด

ใช้เวลาของฉันคือในการบรรยายที่ 4 http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันทำให้คุณมีความคิดว่าทำไมเราถึงเลือกฟังก์ชั่นหมวกที่เรามักจะใช้เมื่อเราใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ - นั่นคือเพราะมันนำไปสู่แนวคิดที่สำคัญของการกระจัดกระจายแม้ว่าตัวเลือกพื้นฐานอื่น ๆ ใช้ได้อย่างเท่าเทียมกัน

ทุกองค์ประกอบเกี่ยวข้องกับมันเป็นแบบจำลองการกระจัดซึ่งเป็นการแสดงออกถึงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภาคสนาม (ตัวแปรตาม) ในแง่ของค่าสัมประสิทธิ์ทั่วไปและตัวแปรอิสระ (x, y, z) เช่น: 1D u (x) = a0 + a1x องค์ประกอบ u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 สำหรับองค์ประกอบสมการกำลังสอง 3 อันและอื่น ๆ นี่คือ ai s เป็นสัมประสิทธิ์ทั่วไปจากนั้นเรากำจัด ai s และแสดงการแปรผันของตัวแปรภาคสนามในแง่ของฟังก์ชั่นรูปร่างและค่าที่สำคัญของตัวแปรภาคสนาม เช่น: u (x) = N1 u1 + N2 u2 ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับการแปรผันของตัวแปรภาคสนามกับค่าปมของตัวแปรภาคสนามเรียกว่า“ SHAPE FUNCTION” จำนวนฟังก์ชันรูปร่างจะขึ้นอยู่กับจำนวนโหนดและจำนวนตัวแปรต่อโหนด ฟังก์ชั่นรูปร่างจึงสามารถดูได้ว่าเป็นฟังก์ชั่น ซึ่งแสดงถึงการมีส่วนร่วมของแต่ละค่าปมที่จุดภายในขององค์ประกอบ สำหรับองค์ประกอบที่มีค่าสองตัวที่โหนด 1 การมีส่วนร่วมของ N1 คือความเป็นเอกภาพ & ของ N2 นั้นเป็นศูนย์

ที่โหนด 2 การมีส่วนร่วมของ N2 คือความสามัคคี & ที่ของ N1 เป็นศูนย์

ที่จุดกึ่งกลางขององค์ประกอบทั้งสองโหนดมีน้ำหนักหรืออิทธิพลเท่ากัน ฟังก์ชั่นรูปร่างไม่เพียง แต่บ่งบอกว่าตัวแปรภาคสนามแปรผันไปตามองค์ประกอบเท่านั้น แต่ยังมีอิทธิพลต่อค่าปมของตัวแปรภาคสนามแต่ละตัวที่มีจุดภายในขององค์ประกอบ เรียนรู้ที่มีความสุข :)

ฉันยังอธิบายฟังก์ชั่นรูปร่างโดยมีรายละเอียดเพิ่มเติมที่นี่: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

มันอธิบายทีละขั้นตอนในลักษณะที่มองเห็นวิธีการทำงานของ Rayleigh-Ritz การเขียนบทความนี้ในที่สุดก็ช่วยให้ฉันได้เข้าใจฟังก์ชั่นรูปร่าง

ตามความเข้าใจของฉัน .. ฟังก์ชั่นรูปร่างไม่ได้มี แต่ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรภาคสนามและจุดสำคัญ

สมมติว่าโลกของเรากำลังถูกกดดันจากภาระภายนอกและโลกของเราก็พังทลาย โดยวิธีการวิเคราะห์เราใช้สูตรหลายสูตรและพบว่าในบางส่วน (เช่นสมมติว่าทวีปเอเชีย) โลกนั้นแตกสลาย ด้วยการใช้วิธีการ FEM เราแบ่งโลกออกเป็นประเทศรัฐและเมืองต่าง ๆ เราเชื่อมโยงแต่ละเมืองและในที่สุดก็เข้าร่วมเมืองทั้งหมดเพื่อสร้างโลกใบเดียวที่เรียกว่าโลก ฟังก์ชั่นรูปร่างเป็นกุญแจสำคัญที่ให้สะพานเชื่อมระหว่างเมืองที่มีตาข่ายเพื่อสร้างรัฐและประเทศและในที่สุดโลก มันเป็นลิงค์ที่เชื่อมต่อตาข่าย เมื่อดำเนินการเสร็จแล้วโหลดจะถูกนำมาใช้และสามารถหาตำแหน่งที่แน่นอนได้เมื่อเริ่มต้นการแตกร้าวและสามารถเพิ่มความแข็งแกร่งได้

หวังว่านี่จะช่วยคุณได้

ตามที่ฉันเข้าใจเกี่ยวกับฟังก์ชั่นรูปร่างก็คือการเชื่อมต่อพิกัดเชิงเรขาคณิตกับการกระจัดองค์ประกอบด้วยฟังก์ชั่นรูปร่างเดียวกัน

พิจารณากรณี 1D แถบที่มี 2 โหนดที่สิ้นสุด

เมื่อฉันเชื่อมต่อองค์ประกอบนี้ด้วยพิกัดที่เป็นโหนดฉันสามารถหาการกระจัดที่จุดใดก็ได้ในองค์ประกอบนี้ด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชั่นการแก้ไข

ดังนั้นฟังก์ชั่นรูปร่างโดยทั่วไปคือการประมาณค่าที่เราทำเพื่อค้นหาการเสียรูป ณ จุดใด ๆ ในอวกาศในลักษณะที่น่ายกย่อง

ฟังก์ชั่นรูปร่างเป็นฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับการกระจัด ณ จุดใด ๆ ขององค์ประกอบกับการกระจัดของโหนดขององค์ประกอบ กราฟของฟังก์ชั่นรูปร่างเทียบกับจุดบนองค์ประกอบแสดงให้เห็นถึง "รูปร่าง" ที่ผิดปกติขององค์ประกอบและด้วยเหตุนี้ฟังก์ชั่นรูปร่างชื่อ