วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์และวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แบบขยาย (FEM กับ XFEM)

อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่าง FEM และ XFEM เมื่อใดที่เรา (ไม่) ใช้ XFEM แทนการใช้ FEM และในทางกลับกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อฉันพบปัญหาใหม่ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าจะใช้หนึ่งในนั้น

— Anh-Thi DINH
แหล่งที่มา

เวลาส่วนใหญ่ที่ฉันพบ XFEM นั้นคือการจัดการกับความไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับการแพร่กระจายของรอยร้าวและการแตกร้าวในกลไกที่เป็นของแข็ง ฉันไม่ได้เห็นมันใช้นอกแอพพลิเคชั่นนี้

— พอล

จริงๆแล้วยังมีอีกหลายสาขาที่ใช้ XFEM เพื่อแก้ไข นั่นคือเหตุผลที่ฉันจำเป็นต้องรู้วิธีการรับรู้วิธีนี้เมื่อใดก็ตามที่ฉันเริ่มที่จะแก้ปัญหา

— Anh-Thi DINH

คำตอบ:

วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (FEM) เป็นวิธีการปกครองที่ได้รับแรงบันดาลใจมากมายวิธีการอื่น ๆ และวิธีการที่เป็นจริง FEM แต่แสร้งทำเป็นไม่เป็น

ในวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ "ฟังก์ชันรูปร่าง" ถูกใช้เพื่อจัดเตรียมพื้นที่ประมาณเพื่อให้เวกเตอร์สามารถแสดงคำตอบได้ ใน FEM แบบคลาสสิกฟังก์ชันรูปร่างเหล่านี้คือชื่อพหุนาม

ในวิธีการขยายองค์ประกอบ จำกัด (XFEM) ฟังก์ชั่น "การตกแต่ง" เพิ่มเติมจะถูกนำมาใช้เพื่อประมาณค่าโซลูชั่นนอกเหนือจากฟังก์ชั่นรูปร่างพหุนาม ฟังก์ชั่นการตกแต่งเหล่านี้ได้รับเลือกให้มีคุณสมบัติที่เป็นที่รู้จักกันในการแก้ปัญหา

ฟังก์ชั่นเสริมสมรรถนะ XFEM ที่เห็นได้ชัดที่สุดคือฟังก์ชั่นด้านพลังงานที่มีรอยแตกที่มุมที่แหลมเพื่อเป็นตัวแทนของเอกพจน์ในการไล่ระดับสีของสารละลาย XFEM สามารถใช้สำหรับฟังก์ชั่นการตกแต่งอื่น ๆ และโดเมนโซลูชันอื่น ๆ (โดยเฉพาะการถ่ายเทความร้อน) แต่ชื่อมีความหมายเหมือนกันกับการวิเคราะห์การแตกหัก

ความแตกต่างระหว่างวิธีการต่าง ๆ - นี่คือ XFEM หรือไม่? - เป็นเรื่องยุ่งยากและละเอียดอ่อนและไม่สำคัญ

สำหรับการใช้งานนั้น XFEM เห็นการใช้งานจริงน้อยมาก มีแอปพลิเคชั่นจำนวนหนึ่งในรหัสองค์ประกอบ จำกัด จริง ๆ Abaqus ที่สะดุดตาที่สุด แต่ก็ไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง

สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติเกือบทั้งหมดจะใช้ FEM แบบคลาสสิก สำหรับปัญหาการวิเคราะห์การแตกหักส่วนใหญ่ FEM แบบดั้งเดิมอาจยังคงใช้กับการปรับแต่งตาข่ายที่เหมาะสมและ / หรือการปรับแต่ง p-refinement ในพื้นที่ของส่วนปลายของรอยแตก อาจใช้โมเดลอื่นที่มีความแม่นยำน้อยกว่าและแตกหักได้

— ไมค์
แหล่งที่มา

โดยไม่ต้องการที่จะแยกจากคำตอบ (ยอดเยี่ยม) นี้ฟังก์ชั่นเอกพจน์ที่แสดงส่วนประกอบของโซลูชันที่มุม reentrant เป็นประเภท

r^{α}

$r^{\alpha}$ ที่ไหน

r

$r$ คือระยะทางไปยังมุม

0 < α < 1

$0<\alpha<1$ สำหรับการกำจัด (การแก้ปัญหา) และ

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$ สำหรับความเครียด (อนุพันธ์)

— Wolfgang Bangerth

@ WolfgangBangerth ขอบคุณ! ฉันแก้ไขคำตอบของฉันเพื่อพูดว่า 'ฟังก์ชั่นพลังงาน' ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันตั้งใจจะใส่ไว้ในตอนแรก ฉันเกือบจะใส่ sqrt (r) (สำหรับรอยแตกที่ปิด) เพื่อวาดภาพที่ชัดเจนขึ้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันจะทำให้เสียสมาธิหรือเปล่า ฉันรู้รายละเอียดมากกว่านี้เกี่ยวกับการใช้งาน XFEM ที่จริงจัง (บางอย่างที่ฉันได้ศึกษาและอื่น ๆ ไม่ได้)

— Mike

@ ไมค์: อีกคำถามที่เกี่ยวข้องน้อยคือความแตกต่างระหว่าง P1-bubble FEM และ XFEM คืออะไร? แสดงให้ฉันดูได้ไหม?

— Anh-Thi DINH

@PoBo มีความคล้ายคลึงกันเล็กน้อย ทั้งสองวิธีเกี่ยวข้องกับการเพิ่มฟังก์ชั่นรูปร่างโดยไม่ต้องเปลี่ยนเมชและทั้งสองจะขึ้นอยู่กับคณิตศาสตร์พื้นฐานเดียวกันกับตระกูล FEM ทั้งหมด แต่นั่นคือที่ความคล้ายคลึงกันสิ้นสุดลง

— Mike

หากคุณไม่มีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับวิธีการทำงานแบบ p-version หรือ P1-bubble คุณอาจลองใช้คำถามระดับสูงอีกคำถามหนึ่งหรือหยิบหนังสือเล่มใดเล่มหนึ่งขึ้นมา (Szabo และ Babuska นั้นค่อนข้างเข้มงวดโดยรวม แต่ มากน้อยกว่าคนอื่น ๆ ที่ครอบคลุมรุ่น p).

— Mike

ทั้งไมค์คำตอบและเจดหนึ่งบรรยายถึงขั้ว XFEM / FEM และถูกต้องชี้ให้เห็นว่าพื้นที่ที่สำคัญที่สุดของแอปพลิเค 3D กลศาสตร์การแตกหักที่คุณมีรอยแตกเช่นรางต่อเนื่องทั่วพื้นผิวภายในโดเมนของคุณ

รอยแตกนั้นยากที่จะจำลองใน FEM แบบคลาสสิคด้วยเหตุผลสองประการ:

ตาข่ายจะต้องสอดคล้องกันทั่วรอยแตก: รอยแตกที่แม่นยำจะต้องอยู่ที่ขอบเขตของโดเมนย่อยของ FE รอยแตกไม่สามารถวางภายใน (ผ่านแม้ว่า) องค์ประกอบ จำกัด
เขตข้อมูลความเครียดเอกพจน์ที่ปลายแตกต้องใช้องค์ประกอบพิเศษและ / หรือเทคนิคการประกบกัน (องค์ประกอบจุดไตรมาสตาข่ายโฟกัส) ที่จะสร้างแบบจำลองที่มีความแม่นยำที่ดี

จากมุมมองทางวิศวกรรมในกลไกการแตกหักคุณมีสองประเภทหลักของปัญหา:

การคำนวณปัจจัยความเข้มความเครียด
การวิเคราะห์การขยายพันธุ์รอยร้าวเช่นในการวิเคราะห์ความเหนื่อยล้าหรือความเสียหาย

สำหรับชนิดแรกของปัญหา FEM คลาสสิกเป็นมากกว่าเพียงพอและเป็นเครื่องมือมาตรฐานวิศวกรรม (นี่เป็นเพราะโชคดีที่มีวิธีพลังงานในการประเมินปัจจัยความเข้มของความเครียดที่ไม่ไวต่อข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขใกล้กับส่วนปลายของรอยแตก)

การวิเคราะห์การขยายตัวของรอยแตกเป็นเรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง: ในกรณีส่วนใหญ่คุณไม่ทราบล่วงหน้าถึงเส้นทางของรอยแตก คำมั่นสัญญาที่สำคัญของ XFEM คือการยอมให้มีการแพร่กระจายของรอยร้าวภายในตาข่าย FEM แบบคงที่การแตกร้าวตัดทางของเขาไม่เพียง แต่ที่ขอบเขตระหว่างโดเมนย่อย แต่ภายใน FE เอง

XFEM เป็นเทคนิคที่ค่อนข้างใหม่ยังห่างไกลจากการเป็นเครื่องมือทางวิศวกรรมมาตรฐาน คำตอบของฉันสำหรับคำถาม OP อย่างน้อยในกลไกของแข็งและการวิเคราะห์ทางวิศวกรรมคือ XFEM มีเขตข้อมูลแอปพลิเคชันที่แคบและพิเศษในการวิเคราะห์การกระจายและความเสียหายสำหรับเรขาคณิต 3 มิติที่ซับซ้อนเมื่อเส้นทางรอยแตกไม่สามารถประมาณค่าเบื้องต้นได้

อย่างไรก็ตามขอให้ฉันทราบว่ากลศาสตร์การแตกหักเป็นสาขาที่มีความสำคัญมากในด้านวิศวกรรม: เช่น aiplanes ในปัจจุบันมีความปลอดภัยเช่นกันเพราะเป็นไปได้ที่จะทำนายความเสียหายและการแพร่กระจายของรอยร้าวระหว่างช่วงการบำรุงรักษา XFEM หรือเทคนิคใหม่ที่คล้ายคลึงกันจะกลายเป็นเครื่องมือสำคัญในอนาคตอันใกล้

— Stefano M
แหล่งที่มา

คุณเห็นความสำคัญของ XFEM ในกลไกการแตกหัก แต่ยังมีสาขาอื่นที่จำเป็นต้องใช้ XFEM แทน FEM แบบดั้งเดิมหรือไม่? ตัวอย่างเช่นในการเจริญเติบโตของไบโอฟิล์ม, อินเทอร์เฟซของฟิล์มชีวภาพในสารตั้งต้นมีการเปลี่ยนแปลงตามเวลา ขอบเขตสามารถเปลี่ยนได้ (ย้ายขอบเขต) ถ้าเราใช้ FEM แบบคลาสสิกตาข่ายจะต้องถูกสร้างขึ้นในแต่ละขั้นตอนใช่ไหม? มันไม่ดีจริงๆโดยเฉพาะในกรณี 3D หรือถ้าเราพิจารณาของเหลว 2 ช่วงที่มีความเข้มข้นแตกต่างกันก็ต้องใช้ XFEM ด้วยเหมือนกัน?

— Anh-Thi DINH

มีปัญหามากมายที่คุณมีพื้นผิวอิสระหรือขอบเขตการเคลื่อนที่ซึ่งยากต่อการใช้วิธีลากรองจ์บริสุทธิ์ (เนื่องจากมีการใช้ซ้ำบ่อย) XFEM เป็นข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองความไม่ต่อเนื่องภายในโดเมน ฉันรู้เกี่ยวกับกระบวนการเชื่อมต่อที่ใช้ประโยชน์จากความไม่ต่อเนื่องเพื่อเป็นตัวแทนเขตแดนที่กำลังเคลื่อนที่ ... แต่ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในสาขาเหล่านี้

— Stefano M

อีกคำถามที่เกี่ยวข้องน้อยกว่าคือความแตกต่างระหว่าง P1-bubble FEM และ XFEM คืออะไร แสดงให้ฉันดูได้ไหม?

— Anh-Thi DINH

ฉันขอแนะนำให้เปิดคำถามใหม่ สั้น ๆ P1-bubble / P1 เป็นองค์ประกอบ จำกัด เฉพาะ (สำหรับการแก้ปัญหาของสมการสโตกส์) ในขณะที่ XFEM เป็นแนวคิดทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการใช้ฟังก์ชั่นการตกแต่งสำหรับการสร้างแบบจำลองของความไม่ต่อเนื่อง

— Stefano M

FEM เป็นชุดย่อยของ XFEM XFEM เป็นวิธีการในการเพิ่มช่องว่างที่ จำกัด ขององค์ประกอบเพื่อจัดการกับปัญหาเกี่ยวกับความไม่ต่อเนื่อง (เช่นการแตกหัก) ด้วย FEM แบบคลาสสิกการได้รับความแม่นยำที่คล้ายกันโดยทั่วไปต้องใช้การเชื่อมตาข่ายและการปรับแต่งที่ซับซ้อนซึ่ง XFEM ใช้ตาข่ายเดี่ยวทำให้การเคลื่อนย้ายความซับซ้อนทางเรขาคณิตนั้นเข้าสู่องค์ประกอบ (XFEM นั้นซับซ้อนมากในการใช้งานโดยเฉพาะใน 3D) ในขณะเดียวกัน XFEM ให้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่ไม่ดีอย่างยิ่งซึ่งต้องการตัวแก้ปัญหาโดยตรงหรือวิธีการหลายอย่างที่เชี่ยวชาญ (เช่นGerstenberger และ Tuminaro (2012) )

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

ความพยายามในการย้ายความซับซ้อนจากตาข่ายไปยังฟังก์ชั่นรูปร่างนั้นได้ผลจริงหรือไม่? ทั้งสองดูเหมือนจะซับซ้อนในลักษณะเดียวกัน

— shuhalo

บ่อยครั้งที่เกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์การคำนวณมันขึ้นอยู่กับว่าคุณถามใครและปัญหาอะไรที่คุณกำลังแก้ไข ผู้ปฏิบัติงาน XFEM หลายคนถ่อเรือโดยใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแทนการปรับให้เข้ากับความไม่ต่อเนื่องภายในองค์ประกอบ

— Jed Brown