ฉันจะคำนวณพื้นฐานสำหรับพีชคณิตเมทริกซ์ที่ให้ชุดกำเนิดแบบ จำกัด ได้อย่างไร

ได้รับการตั้งค่าโดยพลการของ (ตัวเลข) การฝึกอบรมที่ซับซ้อนตาราง , ฉันสนใจในการคำนวณพีชคณิตจริงเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นโดยเรียกว่านั่นคือฉันต้องการพื้นฐานสำหรับ ที่ถูกกำหนดให้เป็นซ้ำ $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$ และสำหรับ1

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

การคำนวณนี้เกิดขึ้นในทฤษฎีการควบคุม (ควอนตัม)

ขณะนี้ฉันกำลังใช้วิธีการที่พบที่นี่ซึ่งค้นหาผ่านวงเล็บเหลี่ยมแบบซ้ำ ๆ เท่านั้น (เช่นแบบฟอร์ม ) และรับประกันว่าจะยุติ อย่างไรก็ตามฉันสนใจที่จะรู้ว่ามีวิธีอื่นใด (เร็วกว่า) อาจจะใช้ฐานพีฮอลล์? บางทีอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำ? ภาษาเริ่มต้นของฉันในขณะนี้คือ Matlab $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— เอียนฮิงค์
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าดั้งเดิมของคุณคือเฮอร์เมียน มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะจินตนาการว่าขั้นตอนแรกคือการเปรียบเทียบ eigenspaces ของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเนื่องจาก commutators นั้นไม่ใช่ศูนย์เมื่อ eigenspaces แตกต่างกัน

— Jack Poulson

@JackPoulson ใช่เอมาจากมิลโตเนียนและเอียงไปเลย (ไม่ใช่ Hermitian เพราะพวกเขาคูณด้วย i ในสมการชโรดิงเงอร์) ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจว่าทำไมนี่เป็นขั้นตอนแรกที่ดี จะไม่คำนวณค่าคอมมิวเตเตอร์และตรวจสอบเพื่อดูว่าพวกมันไม่ใช่ศูนย์หรือไม่เร็วกว่าการเล่นอีเจ็นสเปซ?

— Ian Hincks

สำหรับสับเปลี่ยนระดับเดียวอาจเป็นไปได้ แต่มีการระเบิดแบบ combinatorial เมื่อคุณเริ่มพิจารณาผู้สับเปลี่ยนหลายระดับ ฉันไม่รู้อัลกอริธึม แต่โดยปกติแล้วมันเป็นความคิดที่ดีที่จะใช้ประโยชน์จากโครงสร้างให้ได้มากที่สุด ฉันจะพิจารณาอย่างรอบคอบว่าคุณรู้จักคุณสมบัติอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของคุณหรือไม่

— Jack Poulson

ลิงค์นี้จะอธิบายวิธีการใช้ฐานพีฮอลล์

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Erik P.
แหล่งที่มา

@EricP ขอบคุณสำหรับลิงค์มีประโยชน์มาก ฉันเคยเห็นฐานของพี. ฮอลล์ในบริบทของจีบราส์อิสระซึ่งฉันไม่มีความเข้าใจที่มั่นคงและฉันดีใจที่รู้ว่าสัญชาตญาณของฉันเกี่ยวกับการกำจัดคอมมิชชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับความถูกต้อง ความแม่นยำเชิงตัวเลขเป็นสิ่งที่ฉันกังวลมาก คุณหมายถึงว่าฉันควรจะเปรียบเทียบมาตรฐานของ p (A) กับมาตรฐานของ A หรือไม่? และนี่จะมีเสถียรภาพมากกว่าการเปรียบเทียบบรรทัดฐานของ Ap (A) กับ 0

— Ian Hincks

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$