เป็นตัวแทนของตัวเลข Eisenstein โดยไม่ต้องลอย

9

ผมมีโครงการที่ฉันจำเป็นต้องใช้เขตการกำลังสอง โดยเฉพาะตัวเลขของแบบฟอร์มกับ{Q} $a + b \sqrt{-3}$ $a,b \in \mathbb{Q}$

ตัวอย่างเช่นที่นี่มีจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็ม Eisenstein :

ฉันไม่ต้องการใช้ปัญญาชน ฉันต้องการเขียนชนิดข้อมูลของตัวเองเพื่อรวมเข้าnumpyด้วยกัน PARI จะมีประโยชน์ - แต่มันเข้ากันไม่ได้กับ Python

ส่วนเพิ่มเติมสำหรับวัตถุเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจน $(a_{1} + b_{1} \sqrt{- 3}) + (a_{2} + b_{2} \sqrt{- 3}) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) \sqrt{- 3}$ $(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3}$
การคูณนั้นละเอียดอ่อนกว่าเล็กน้อย แต่เราก็สามารถเขียนโค้ดได้ยากเช่นกัน $(a_{1} + b_{1} \sqrt{- 3}) \times (a_{2} + b_{2} \sqrt{- 3}) = (a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) \sqrt{- 3}$ $(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{-3}$
ประเภทข้อมูลของฉันยังต้องรองรับการแบ่ง เพื่อความเรียบง่ายลองใช้ส่วนกลับ: $\frac{1}{a + b \sqrt{- 3}} = \frac{a - b \sqrt{- 3}}{a^{2} + 3 b^{2}}$ $\frac{1}{a + b \sqrt{-3}} = \frac{a - b \sqrt{-3}}{a^2 + 3b^2}$

มีวิธีตามธรรมชาติของเมทริกซ์ในการเข้ารหัสการดำเนินการเหล่านี้คล้ายกับสามารถเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์หรือไม่? $\mathbb{C}$ $2 \times 2$

(\begin{array}{cc} a & b \\ - b & a \end{array})

$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$

บางทีฉันอาจจะยากรหัสการดำเนินงานเป็นสามเท่ากับสามการดำเนินงานที่ระบุไว้ข้างต้น ความคิดใด ๆ

linear-algebra precision

— john mangual
แหล่งที่มา

10

สำหรับคุณสามารถใช้การแทน เติมจะทำงานได้อย่างชัดเจน สำหรับการคูณคุณสามารถยืนยัน ซึ่งเก็บรักษาการแทนไว้ดังนั้นเราจึงมีวงแหวน homomorphism $a+b\sqrt{-3}$

(\begin{matrix} a & - 3 b \\ b & a \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a&-3b\\b&a\end{pmatrix}$

(\begin{matrix} a_{1} & - 3 b_{1} \\ b_{1} & a_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{2} & - 3 b_{2} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2} & - 3 (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) \\ a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} & a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a_1&-3b_1\\b_1&a_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&-3b_2\\b_2&a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2-3b_1b_2&-3(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-3b_1b_2\end{pmatrix}$

การหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะให้ค่าปกติ (กำลังสอง)ดังนั้นการแลกเปลี่ยนกลับจะสอดคล้องกับเมทริกซ์ผกผันตามที่คาดไว้ $a^2+3b^2$

คุณได้พิจารณาใช้triplesแล้วโดยที่ฉันคิดว่าคุณจะใช้จำนวนเต็มและตัวส่วนร่วม วิธีการนั้นอาจมีประโยชน์ในการแทนเมทริกซ์เช่นกัน

ปรับปรุง : วิธีการทั่วไปของการแสดงเมทริกซ์ใช้เมทริกซ์สหาย ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องการแสดงแทนโดยที่ ดังนั้น . เมทริกซ์ที่เป็นคู่หูของคือและสิ่งนี้จะทำงานในการปฏิบัติการวงแหวนทั้งหมดที่เกี่ยวข้องเช่นเอง แน่นอนสามารถแสดงเป็น ; ดังนั้นการแสดงเมทริกซ์ของคือ $a+b\omega$ $\omega=\exp(\frac{2\pi\mathrm{i}}{3})$ $\omega^2+\omega+1=0$ $\omega$ $\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ $\omega$ $1$ $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ $a+b\omega$

(\begin{matrix} a & - b \\ b & a - b \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a-b\end{pmatrix}$ คุณอาจต้องการตรวจสอบว่านี่คือวงแหวนโฮโมมอร์ฟิซึม นอกจากนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็น สำหรับการคูณสูตรที่เกี่ยวข้องตอนนี้

\begin{aligned} (a_{1} + b_{1} ω) (a_{2} + b_{2} ω) & = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) ω \\ (\begin{matrix} a_{1} & - b_{1} \\ b_{1} & a_{1} - b_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{2} & - b_{2} \\ b_{2} & a_{2} - b_{2} \end{matrix}) & = (\begin{matrix} a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} & - (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) \\ a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} & a_{1} a_{2} - a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} (a_1+b_1\omega)(a_2+b_2\omega)&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\omega \\\begin{pmatrix}a_1&-b_1\\b_1&a_1-b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2&-b_2\\b_2&a_2-b_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\\ a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2&a_1a_2-a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix} \end{align}$

— ccorn
แหล่งที่มา

2

ฉันเดาว่าคุณต้องการเลขคณิตเชิงเหตุผลที่ถูกต้องสำหรับทุกสิ่งเนื่องจากข้อผิดพลาดของจำนวนจุดลอยตัวอาจทำให้ไม่อยู่ในแม้ว่าคือ เพื่อที่คุณอาจต้องการดูแพคเกจSymPy ; หากคุณไม่ได้ใช้ประเภทข้อมูลที่มีเหตุผลโดยตรงอาจเป็นแรงบันดาลใจให้กับเวอร์ชันที่รีดด้วยมือของคุณเอง จากนั้นคุณสามารถสร้างประเภทของสมการกำลังสองด้านบนของประเภทจำนวนตรรกยะที่คุณเลือก $1/z$ $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ $z$

ไม่ว่าคุณจะเป็นตัวแทนองค์ประกอบของฟิลด์ของคุณอย่างไรคุณสามารถโอเวอร์โหลดโอเปอเรเตอร์ใน Python ได้โดยใช้ ดูโพสต์ SO นี้ในการสร้างประเภทตัวเลขของคุณเองใน Python

ฉันไม่คิดว่ามันจะมีงานเขียนอีกมากมายที่เป็นตัวแทนขององค์ประกอบของสมการกำลังสองไม่ว่าจะเป็นเมทริกซ์จำนวนตรรกยะ 2 x 2 หรือเป็นคู่ของจำนวนตรรกยะเนื่องจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์นั้นไม่ซับซ้อน อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าวิธีที่สองจะเร็วขึ้น

— Daniel Shapero
แหล่งที่มา

1

มันอาจจะน่าสนใจที่จะเปรียบเทียบประสิทธิภาพในทางปฏิบัติของnumpyเมทริกซ์ -opelerated matrix กับชนิดข้อมูลที่ผู้ใช้กำหนดเอง ไม่แน่ใจเกี่ยวกับสิ่งที่ผู้ชนะจะเป็น

— ccorn

ใช่นั่นเป็นเรื่องจริง numpy มี Cython + จำนวนมากที่ปรับแต่งด้วยมือด้าน C เพื่อทำให้สิ่งต่าง ๆ เร็วขึ้น คุณต้องทำซ้ำสิ่งนั้นด้วยตัวคุณเองเพื่อให้ได้ผลเช่นเดียวกัน อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นควรมาก่อนและหลังจากนั้นหนึ่งสามารถกังวลเกี่ยวกับความเร็ว

— Daniel Shapero