เลขชี้กำลังเมทริกซ์ของเมทริกซ์แบบเอียง - เฮอร์มีเชียนที่มี Fortran 95 และ LAPACK

11

ฉันเพิ่งเข้าสู่ Fortran 95 สำหรับการจำลองกลศาสตร์ควอนตัม สุจริตฉันถูกนิสัยเสียโดย Octave ดังนั้นฉันจึงได้รับการยกกำลังเมทริกซ์สำหรับการรับ ที่กำหนด (ขนาดเล็ก ) ลาดเมทริกซ์ -Hermitian ขนาดสิ่งที่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดของการใช้ LAPACK ที่จะแก้ปัญหานี้หรือไม่ ฉันไม่ได้ใช้เครื่องห่อหุ้ม LAPACK95 เพียงโทรไปที่ LAPACK โดยตรง $n\leq 36$ $n\times n$

fortran lapack

— qubyte
แหล่งที่มา

2

คุณต้องการเมทริกซ์เลขชี้กำลังด้วยตัวเองหรือคุณต้องการเมทริกซ์เลขชี้กำลังคูณด้วยเวกเตอร์หรือไม่?

— เปาโล

@ พอล: ขออภัยไม่เห็นก่อนหน้านี้ ไม่ฉันต้องการเมทริกซ์ทั้งหมด

— qubyte

ทำไมบางคนถึงลงคะแนนคำถามนี้ หากคุณลงคะแนนโปรดทิ้งเหตุผลไว้ในความคิดเห็น! บางทีคำถามนี้สามารถปรับปรุงได้ด้วยวิธีนี้

— qubyte

เราพึ่งพาDGPADMแต่ที่ Jack Poulson กล่าวว่าอาจมีวิธีที่ดีกว่า

— Mike Dunlavey

16

เลขชี้กำลังเมทริกซ์ของเมทริกซ์ความเอียง - Hermitian มีราคาถูกเพื่อคำนวณ:

สมมติว่าเป็นเมทริกซ์เอียงของคุณแล้วคือ Hermitian และผ่านzheevdและเพื่อน ๆ คุณจะได้รับการสลายตัว $A$ $iA$

i A = U Λ U^{H},

$iA = U \Lambda U^H,$

ที่เป็นเมทริกซ์วิคเตอร์รวมกันและเป็นจริงและในแนวทแยง จากนั้นเล็กน้อย $U$ $\Lambda$

A = U (- i Λ) U^{H} .

$A = U (-i \Lambda) U^H.$

เมื่อคุณมีและแล้วมันง่ายในการคำนวณ $U$ $\Lambda$

\exp (A) = \exp (U (- i Λ) U^{H}) = U \exp (- i Λ) U^{H}

$\exp(A)=\exp(U (-i\Lambda) U^H)=U \exp(-i\Lambda) U^H$

โดยการแจกแจงค่าลักษณะเฉพาะครั้งแรกให้ตั้งค่าผ่านzcopyดำเนินการโดยเรียกใช้zscalในแต่ละคอลัมน์ด้วยค่าลักษณะเฉพาะเชิง exponentiated และสุดท้ายตั้งค่าผลลัพธ์ของคุณเป็น $B := U$ $B := B \exp(-i \Lambda)$

\exp (A) := B U^{H}

$\exp(A) := B U^H$

ผ่านzgemm

— แจ็คโพลสัน
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ฉันพลาดเคล็ดลับที่ชัดเจนกับ

i

$i$ ฉันคุณนำฉันไปสู่รูทีนย่อย LAPACK เฉพาะที่ฉันต้องการขอบคุณมากสำหรับสิ่งนั้น ฉันยังไม่ได้ทำเครื่องหมายว่าถูกต้อง (ต้องการทดสอบก่อน)

— qubyte

1

ไม่รีบ. ก่อนหน้านี้ฉันเคยติดตั้งใช้งานจริงดังนั้นฉันค่อนข้างมั่นใจ :-)

— Jack Poulson

นี่จะเป็นส่วนหนึ่งของรหัสขลังที่ฉันใช้ไปทั่ว สำหรับสิ่งที่คุ้มค่าฉันจะใส่คำขอบคุณไว้ในบรรทัดความคิดเห็นที่อาจไม่มีใครเห็น

— qubyte

2

@ JackPoulson: เล่นได้ดีครับ นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับสำหรับการเลือกวิชาเอกที่ไม่เชื่อในจำนวนจินตภาพ (นอกเหนือจากค่าลักษณะเฉพาะ)

— Geoff Oxberry

1

@JackPoulson: มันใช้งานได้อย่างสวยงาม ขอบคุณอีกครั้งสำหรับสิ่งนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งบิต zscal ฉันมีรหัสที่เหลืออยู่ในรูทีนย่อยอื่น แต่นี่คือสิ่งที่ฉันมองข้าม

— qubyte

5

เนื่องจากฉันใช้โทรศัพท์ฉันไม่สามารถเชื่อมโยงสิ่งต่าง ๆ ได้ง่ายและจะเพิ่มลิงก์ในภายหลัง คุณอาจต้องการดูกระดาษ "19 วิธีที่น่าสงสัยในการคำนวณเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล", ห้องสมุด Fortran EXPOKIT, กระดาษของ Jitse Niesen ในวิธี Krylov สำหรับการคำนวณเลขยกกำลังของเมทริกซ์และเอกสารล่าสุดของนิก เป็นเรื่องปกติที่ต้องใช้ผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์เลขชี้กำลังและเวกเตอร์มากกว่าเมทริกซ์เลขชี้กำลังเพียงอย่างเดียวและที่นี่วิธี Krylov อาจมีประโยชน์มาก สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดเล็กและหนาแน่นเช่นเดียวกับที่คุณอธิบายวิธีการของPadéอาจดีกว่า แต่ฉันประสบความสำเร็จอย่างมากกับวิธี Krylov เมื่อใช้ภายในวิธีเลขชี้กำลังสำหรับการรวมเชิงตัวเลขของ ODE

— Geoff Oxberry
แหล่งที่มา

ขอบคุณ ฉันตระหนักถึง19 วิธีที่น่าสงสัยและ expokit แต่บางคนที่ฉันทำงานด้วยอยู่ในอุตสาหกรรมดังนั้นฉันต้องการหลีกเลี่ยงด้วยเหตุผลทางลิขสิทธิ์ ฉันกระตือรือร้นที่จะใช้มันกับ LAPACK / BLAS เนื่องจากฉันเชื่อมโยงไปยังห้องสมุดเหล่านี้แล้ว สิ่งหนึ่งที่แม้ว่า; ฉันต้องการเมทริกซ์เลขชี้กำลังแทนตัวเอง ฉันกำลังทำงานเกี่ยวกับการแปรปรวนของเอกซ์เรย์กระบวนการควอนตัมและกระบวนการที่เป็นปัญหานั้นเป็นตัวเป็นตนโดยเมทริกซ์ ต่อมาฉันจะติดต่อกับผู้รวมเข้าด้วยกันกับเลขชี้กำลังเลขชี้กำลังนี้ซึ่งก็คือตอนที่มันน่าสนใจจริงๆ!

— qubyte

1

วิธีการ eigensolution ที่ซับซ้อนนั้นถูกต้องทางคณิตศาสตร์ แต่มันทำงานได้มากกว่าที่จำเป็น น่าเสียดายที่วิธีการปรับปรุงที่ฉันกำลังจะอธิบายไม่สามารถนำไปใช้กับการโทร LAPACK ได้

$X$ เป็น

X = U D U^{T}

$X = U D U^T$

$U$ $D$ $2\times 2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $\exp(0)=1$ $2\times 2$

\exp (\begin{matrix} 0 & - t \\ t & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{matrix})

$\exp \begin{pmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}$

เมทริกซ์เลขชี้กำลังที่คุณต้องการจะได้รับจากนั้น

\exp (X) = U \exp (D) U^{T}

$\exp(X) = U \exp(D) U^T$

ฉันใช้วิธีนี้ในรหัสเคมีควอนตัมของฉันมาหลายสิบปีและฉันไม่เคยมีปัญหาใด ๆ กับซอฟต์แวร์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้อง

— รอนเชพพาร์ด
แหล่งที่มา

สวัสดี @ Ron Shepard และยินดีต้อนรับสู่ Computational Exchange SE คุณสามารถแก้ไขสมการที่สองและสามของคุณได้หรือไม่? พวกเขาเข้าใจยากเล็กน้อย

— nicoguaro

0

หากสิ่งที่คุณต้องการคือเมทริกซ์เลขชี้กำลังคูณด้วยเวกเตอร์รูทีนย่อย fortran นี้อาจมีประโยชน์สำหรับคุณบ้าง มันคำนวณ:

$(e^A)v$

โดยที่ v คือเวกเตอร์และ A เป็นเมทริกซ์เฮอร์ทีเมียปกติ มันเป็นรูทีนย่อยจากEXPOKITไลบรารี

มิฉะนั้นคุณอาจต้องการพิจารณารูทีนย่อยนี้ซึ่งใช้ได้กับเมทริกซ์เชิงซ้อนทั่วไป A

— พอล
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าจะไม่มีการอ้างอิงไปยังไลบรารีของ Fortran

— Geoff Oxberry

@GeoffOxberry: ฉันเขียนใหม่เพื่อรวมรูทีนย่อย fortran

— Paul

@ พอล: ไม่ดีฉันกลัว สิ่งที่ฉันกำลังทำคือการแปรผันแบบเมทริกซ์ทั้งหมดในเอกซ์เรย์ของกระบวนการ นอกจากความเอียง -Hermitian!

— qubyte

ฉันขอขอบคุณที่คุณเขียนคำตอบของคุณใหม่ แต่ดูเหมือนว่าคุณเปลี่ยนคำตอบของคุณอย่างสมบูรณ์โดยใช้องค์ประกอบของคำตอบตามลำดับก่อนหน้าและลิงก์ที่เพิ่มเข้ามา

— Geoff Oxberry

@GeoffOxberry: ในทางกลับกัน ... ผลลัพธ์ของฉันมาจากความเป็นอิสระของคุณ แต่คุณโพสต์ก่อนที่ฉันจะมีโอกาสเขียนคำตอบของฉันอีกครั้ง :)

— Paul