การทดสอบว่าเมทริกซ์เป็นค่ากึ่งบวกแน่นอนหรือไม่

ฉันมีรายการของเมทริกซ์สมมาตรที่ฉันต้องการตรวจสอบความแน่นอนกึ่งบวก (นั่นคือค่าลักษณะเฉพาะของพวกเขาไม่ใช่ค่าลบ)${\cal L}$

ความคิดเห็นข้างต้นบอกเป็นนัยว่าเราสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะและตรวจสอบว่าไม่ใช่ค่าลบ (อาจต้องดูแลข้อผิดพลาดในการปัดเศษ)

การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะนั้นค่อนข้างแพงในสถานการณ์ของฉัน แต่ฉันสังเกตว่าห้องสมุดที่ฉันใช้นั้นมีการทดสอบที่รวดเร็วสำหรับความชัดเจนเชิงบวก (นั่นคือถ้าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เป็นบวกอย่างเคร่งครัด)

ดังนั้นความคิดจะเป็นที่ได้รับเมทริกซ์หนึ่งการทดสอบถ้าB + ϵ ฉันเป็นบวกแน่นอน ถ้าไม่ใช่Bจะไม่เป็นกึ่งบวกแน่นอนมิฉะนั้นเราสามารถคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของBเพื่อให้แน่ใจว่าเป็นบวกกึ่งแน่นอนแน่นอน$B \in {\cal L}$$B + \epsilon I$$B$$B$

คำถามของฉันตอนนี้คือ:

มีวิธีการทดสอบที่ตรงและมีประสิทธิภาพมากขึ้นหรือไม่ว่าเมทริกซ์นั้นเป็นกึ่งบวกแน่นอนหรือไม่โดยมีเงื่อนไขว่าการทดสอบที่มีประสิทธิภาพสำหรับความแน่นอนเชิงบวกจะได้รับหรือไม่?

นิยามการทำงานของคุณคือ "positive semidefinite" หรือ "positive positive" ในการคำนวณเลขทศนิยมคุณจะต้องระบุความอดทนบางอย่างสำหรับสิ่งนี้

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

λ $-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

น่าเสียดายที่การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์ค่อนข้างใช้เวลานาน อีกวิธีที่ใช้กันทั่วไปคือเมทริกซ์สมมาตรถือว่าเป็นบวกแน่นอนถ้าเมทริกซ์มีตัวประกอบ Cholesky ในเลขทศนิยม การคำนวณตัวประกอบแบบ Cholesky เป็นลำดับความสำคัญเร็วกว่าการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ คุณสามารถขยายสิ่งนี้ให้เป็น semidefiniteness ที่เป็นบวกได้โดยการเพิ่มเอกลักษณ์จำนวนน้อยลงในเมทริกซ์ อีกครั้งมีปัญหาการปรับขนาด วิธีการหนึ่งที่รวดเร็วคือทำการปรับสัดส่วนของเมทริกซ์เพื่อให้องค์ประกอบในแนวทแยงเท่ากับ 1.0 และเพิ่มลงในแนวทแยงก่อนคำนวณการแยกตัวประกอบแบบ Cholesky $\epsilon$

คุณควรระมัดระวังในเรื่องนี้เนื่องจากมีปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับวิธีการ ยกตัวอย่างเช่นมีสถานการณ์ที่และเป็น postive แน่นอนในแง่ที่ว่าพวกเขามีจุดลอยตัว Cholesky factorizations แต่ไม่มีตัวประกอบ Cholesky ดังนั้นชุดของ "จุดลอยตัวของเมทริกซ์แน่นอนบวกบวกแน่นอนแบบโคลอสกี้" จึงไม่นูน! B ( A + B ) /$A$$B$$(A+B)/2$

• Kerr, TH,“ เมทริกซ์การทดสอบเพื่อความชัดเจนและตัวอย่างการใช้งานที่เกิดความต้องการ ,” วารสาร AIAA ของคำแนะนำ , การควบคุม, และพลวัต, ฉบับที่, 10, ลำดับที่ 5, หน้า 503-506, ก.ย. - ต.ค. , 1987

• Kerr, TH,“ จากการทดสอบที่ผิดพลาดสำหรับการฝึกอบรมเชิงบวก Semidefinite ,” วารสาร AIAA ของการแนะแนว, การควบคุมและพลวัต , ฉบับที่ 13, ลำดับที่ 3, หน้า 571-572, พฤษภาคม - มิถุนายน 2533 (ตามที่เกิดขึ้นในการนำทาง & เป้าหมายการติดตามซอฟต์แวร์ในยุค 70 & ยุค 80 ใช้โต้ตัวอย่าง)

• Kerr, TH, "ความล้มเหลวในการทดสอบการคำนวณของเมทริกซ์ความชัดเจนเชิงบวก / ความหมายเชิงบวก ," ธุรกรรม IEEE บนระบบการบินและอวกาศและอิเล็กทรอนิกส์ , ฉบับที่ 26, No. 2, pp. 415-421, Mar. 1990. [รายการอัลกอริทึมที่ผิดพลาดที่ผู้เขียนพบว่ามีอยู่เป็นประจำในการนำทางใต้น้ำของกองทัพเรือสหรัฐฯและซอฟท์แวร์ sonobuoy ในปลายปี 1970 และต้นทศวรรษ 1980 ]

Python สำหรับคำแนะนำของ @Brian Borchers ลองใช้การสลายตัวของ Cholesky:

from sksparse.cholmod import cholesky, CholmodNotPositiveDefiniteError
    # https://scikit-sparse.readthedocs.io/en/latest/cholmod.html

def testposdef( A, beta=1e-6, pr="" ):
    """ try cholesky( a scipy.sparse matrix  + beta I )

    Why A + beta I, beta say 1e-6 ?
    If A has tiny eigenvalues, 0 to within machine precision,
    about half of these "zeros" may be negative -- tough on solvers.
    Also the condition number improves to ~ rho(A) / beta.
    """
    try:
        solve = cholesky( A, beta=beta )  # A + beta I
        if pr:
            print( "%s + %g I is positive-definite" % (pr, beta ))
        return solve  # x = solve( b )
    except CholmodNotPositiveDefiniteError:
        if pr:
            print( "%s + %g I is not positive-definite" % (pr, beta ))
        return False