จะรวมเงื่อนไขขอบเขตเข้ากับวิธี Galerkin ได้อย่างไร

21

ฉันได้อ่านแหล่งข้อมูลบนเว็บเกี่ยวกับวิธีการของ Galerkin เพื่อแก้ไข PDE แต่ฉันไม่ชัดเจนเกี่ยวกับบางสิ่ง ต่อไปนี้เป็นบัญชีของฉันเองในสิ่งที่ฉันเข้าใจ

พิจารณาปัญหาค่าขอบเขต (BVP) ต่อไปนี้:

L [u (x, y)] = 0 on (x, y) \in Ω, S [u] = 0 on (x, y) \in \partial Ω

$L[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega$

โดยที่ $L$ คือตัวดำเนินการสร้างความแตกต่างแบบเชิงเส้นลำดับที่ 2เป็นโดเมนของ BVP,เป็นขอบเขตของโดเมนและคือตัวดำเนินการเชิงเส้นลำดับที่ 1 Expessเป็น aproximation ของแบบฟอร์ม: $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ $\partial\Omega$ $S$ $u(x,y)$

u (x, y) \approx \sum_{i = 1}^{N} a_{i} g_{i} (x, y)

$u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y)$

ที่เป็นชุดของฟังก์ชั่นที่เราจะใช้ในการใกล้เคียงกับยูการทดแทนใน BVP: $g_i$ $u$

\sum_{i} a_{i} L [g_{i} (x, y)] = R (a_{1}, . . ., a_{N}, x, y)

$\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y)$

เนื่องจากการประมาณของเราไม่ถูกต้องค่าเหลือจึงไม่เป็นศูนย์ ในวิธีการ Galerkin-Ritz-ราลีเราลดเกี่ยวกับการตั้งค่าของฟังก์ชั่นที่ใกล้เคียงโดยที่ต้อง0 ด้วยเหตุนี้ $R$ $R$ $\langle R,g_i \rangle = 0$

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

ดังนั้นเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์เราต้องแก้สมการเมทริกซ์: $a_i$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

คำถามของฉันคือ: ฉันจะรวมเงื่อนไขขอบเขตเข้ากับเรื่องนี้ได้อย่างไร

แก้ไข: แต่เดิมคำถามที่กล่าวว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นเชิงลำดับที่สอง ฉันเปลี่ยนเป็นโอเปอเรเตอร์เชิงเส้นลำดับที่ 1 $S[u]$

pde finite-element boundary-conditions

— becko
แหล่งที่มา

1

เบ็กโก, ยินดีต้อนรับสู่scicomp! นโยบายของเราบนไม้กางเขนโพสต์ต่อว่าของเว็บไซต์อื่น ๆ Stack แลกเปลี่ยน คุณสามารถข้ามโพสต์ได้หากคุณปรับแต่งคำถามเดียวกัน (มากหรือน้อย) ให้กับผู้ชมที่แตกต่างกัน คุณสามารถขอให้คำถามของคุณถูกโยกย้ายไปยังไซต์อื่นหลังจากผ่านไปสักครู่หากคุณรู้สึกว่าคำถามของคุณไม่ได้รับคำตอบที่น่าพอใจ (หรือเลย) ในไซต์ที่มีการโพสต์ครั้งแรก

— Geoff Oxberry

อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปถือว่าเป็นพฤติกรรมที่ไม่เหมาะสมในการข้ามโพสต์ หากคุณดูรายการไซต์เบต้าในพื้นที่ 51 ไซต์เหล่านั้นส่วนใหญ่ยังคงเป็นเบต้าสาธารณะหลังจากผ่านไปหนึ่งปี เราจะยังคงอยู่พักหนึ่ง (อย่างน้อยก็ในระยะเวลานานกว่าที่จะต้องตอบคำถามส่วนใหญ่ในเว็บไซต์นี้) นอกจากนี้หากmathผู้ใช้ที่ตอบคำถามของคุณเป็นscicompผู้ใช้พวกเขาจะไม่ได้รับเครดิตหรือการแสดงที่มาที่เหมาะสมสำหรับคำตอบของพวกเขาที่นี่scicompหากคุณคัดลอกมาจาก mathและในทางกลับกัน

— Geoff Oxberry

1

คุณแน่ใจหรือว่าเป็นผู้ให้บริการลำดับที่สองด้วย โดยทั่วไปนั่นไม่ใช่ปัญหาที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่นถ้าคุณจะขอในซึ่งมีโซลูชันที่ไม่ซ้ำกันอย่างน่ากลัว (เช่นการแก้ปัญหาของ PDE ในโดเมนขนาดใหญ่ที่มีเงื่อนไขขอบเขตใด ๆ ก็เป็นวิธีการเช่นกัน) โดยปกติเราจะขอให้เป็นตัวดำเนินการคำสั่งแรก (อาจเป็นแบบไม่เชิงเส้น)

S

$S$

S = L

$S = L$

L u = 0

$L u = 0$

\bar{Ω}

$\bar\Omega$

S

$S$

— Jed Brown

2

แม้ว่าคุณยังคงมองหาโซลูชันที่ไม่ซ้ำใคร พิจารณาว่าเป็นตัวดำเนินการ laplace หรือไม่และ

เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นลำดับที่สองอื่น ๆ แล้วใด ๆ

ดังกล่าวว่า

สำหรับบางคนคงเวกเตอร์

สามารถเพิ่มเพื่อแก้ปัญหาที่จะทำให้การแก้ปัญหาอื่น

S \neq L

$S \ne L$

L

$L$

S

$S$

u

$u$

\nabla u = k

$\nabla u=\mathbf{k}$

k

$\mathbf{k}$

— ด่าน

1

@GeoffOxberry เพื่อความอุ่นใจของคุณคำถามที่ซ้ำกันที่mathถูกลบไปแล้ว เห็นได้ชัดว่าคุณถูกต้องเกี่ยวกับการรักษาคำถามที่นี่ ฉันได้รับคำตอบที่เป็นประโยชน์มาก

— becko

15

คำตอบที่รวดเร็วและทั่วไปโดยไม่มี abstractions ทางคณิตศาสตร์ มีหลายตัวเลือกในการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตเช่น

พูดอย่างเคร่งครัดวิธี Galerkin ต้องการให้คุณเลือกชุดของฟังก์ชั่นพื้นฐานที่ตอบสนองความ BC ของปัญหา (เช่นผ่านพื้นฐานการรวมตัวกันและ / หรือการแยกของประมาณปัญญารับผิดชอบสำหรับการแก้ปัญหา inhomogenous และผลรวมบางส่วนซึ่งขึ้นอยู่กับฟังก์ชันพื้นฐานที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่เป็นเนื้อเดียวกัน) $u_h=u_0+u_N$ $u_0$ $u_N$

วิธีการลงโทษ / ลากรองจ์ทวีคูณโดยที่หนึ่งเพิ่มเงื่อนไขการลงโทษซึ่งรวมเงื่อนไขขอบเขตเช่น A + ที่เป็นเมทริกซ์ที่รับผิดชอบสำหรับเงื่อนไขขอบเขตที่ไม่ต่อเนื่องและเป็นผู้รับผิดชอบสำหรับเงื่อนไขที่ไม่เหมือนกัน ในข้อ จำกัดมีการกำหนดเงื่อนไขอย่างมากและไม่เช่นนั้นจะถูก จำกัด อย่างอ่อน การเลือกส่งผลต่อการปรับสภาพของระบบ $\tau*B = b + \tau*b_p$ $B$ $b_p$ $\tau\to\infty$ $\tau$
วิธีการเอกภาพที่มีการแลกเปลี่ยนสมการจำนวนมาก (การปรับเปลี่ยนแถวในระบบ Galerkin) ด้วยเงื่อนไขขอบเขตแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งจะมีการบังคับใช้อย่างชัดเจน หมายเหตุ: หนึ่งตัวเลือกคือทำให้ระบบมีการกำหนดขอบเขตขอบเขตเพิ่มเติมเพิ่มเติม
ก่อน discretization (วิธี Ritz) เขียนสูตร Galerkin ผ่านทางทฤษฎีบท Gauss divergence เพื่อแปลงปริพันธ์ปริมาณให้เป็นปริพันธ์ขอบเขตแล้วรวมเงื่อนไขขอบเขตที่แน่นอน (โดยตรงหรือโดยประมาณ) ลงในสูตรก่อนที่จะแยกย่อย
ในที่สุดโดยการใช้ประโยชน์จากการเชื่อมต่อระหว่างการขยายโหนด / Modal ก็เป็นไปได้ที่จะได้รับวิธี Galerkin ที่วิธีการแก้ปัญหาระบบเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพื้นฐาน Lagrange มากกว่าพื้นฐานกิริยา

— อัลลันพี Engsig-Karup
แหล่งที่มา

1

ฉันเดา

คือ

ใช่ไหม

τ

$\tau$

λ

$\lambda$

— shuhalo

อ๋อ การแก้ไข

— Allan P. Engsig-Karup

1

มันควรอ่าน "วิธี Galerkin ต้องการให้คุณเลือกชุดของฟังก์ชั่นพื้นฐานที่ตอบสนอง BC ของปัญหา" หรือไม่?

— knl

@knl: ฉันคิดว่าอย่างนั้นเช่นกันในขณะที่ประโยคอื่นไม่เข้าใจ ฉันจะแก้ไข

— davidhigh

7

ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งคือการรวมเมทริกซ์ระบบและเวกเตอร์ทางด้านขวาโดยมีระดับความเป็นอิสระที่กำหนดเช่นเดียวกับระดับความอิสระอื่น ๆ จากนั้นและ จะถูกแก้ไขโดย zeroing แถวและคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องกับ dofs ที่กำหนดและวางหนึ่งลงในรายการเส้นทแยงมุมที่สอดคล้องกันและปรับเปลี่ยน rhs vector อย่างเหมาะสม $A$ $b$ $A$ $b$ $b$

เมื่อคุณเป็นศูนย์แถวให้ใส่หนึ่งในแนวทแยงและเปลี่ยน rhs เพื่อให้คุณบังคับใช้ค่าที่กำหนดระบบจะไม่สมมาตรอีกต่อไป นั่นเป็นเหตุผลที่คุณเป็นศูนย์คอลัมน์และปรับเปลี่ยน RHS เวกไปยังบัญชีสำหรับค่าที่กำหนด $b$

เป็นไปได้ก็คือการเพิ่มจำนวนมาก (ปกติ 1e10) กับเส้นทแยงมุมของที่กำหนดอานนท์และตั้งค่ารายการ RHS ไปที่ P แล้ว * ที่เป็นค่ากำหนดของอานนท์ว่า $p$ $\bar{u}$ $\bar{u}$

— นายเบอร์นาร์โด
แหล่งที่มา

6

ปัญหาทั่วไปของการจัดการกับขอบเขตของขอบเขตด้วยวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์นั้นค่อนข้างซับซ้อน แต่ถ้า:

เป็นเช่นนั้นเพียงการจัดเก็บภาษีรถในรูปแบบของ ก็คือว่ามันจะมีค่าเท่ากับบางในโอห์ม $S(u)$ $S(u)=0$ $u$ $f(x,y)$ $\delta \Omega$
คุณสามารถ finagle องค์ประกอบของคุณเพื่อให้เป็นทั้งหมดในขอบเขตขององค์ประกอบต่างๆ $\delta \Omega$

มันง่ายมากจริง ๆ สมการของคุณ:

ต้องถูกแทนที่ด้วย

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = b

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=\mathbf{b}$

เมื่อเวกเตอร์ด้านขวาแสดงเงื่อนไขขอบเขต $\mathbf{b}$

เพื่อตรวจสอบตั้งองค์ประกอบพื้นฐานของคุณที่เป็นตัวกำหนดค่าของบนเพื่อสิ่งที่เห็นคุณค่าของพวกเขาจะต้องเพื่อตอบสนองเงื่อนไขขอบเขต ในคุณควรแยกพวกมันออกจากแต่ไม่ใช่ (องค์ประกอบของที่สอดคล้องกับฟังก์ชั่นเหล่านี้ได้ถูกกำหนดไว้แล้วดังนั้นจึงไม่ควรรวมไว้ในเมทริกซ์ สมการ) จากนั้นตั้งค่า $\mathbf{b}$ $u$ $\delta \Omega$ $\langle L[g_j],g_i \rangle$ $g_j$ $g_i$ $\mathbf{a}$ เป็นสมการเมทริกซ์, และค่าขององค์ประกอบของควรปรากฏขึ้นทันทีเนื่องจากผลิตภัณฑ์ภายในของทำงานบนพื้นฐานการตกแต่งภายในของคุณด้วยองค์ประกอบของคุณ ขอบเขตพื้นฐาน

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

b

$\mathbf{b}$

L

$L$

— แดน
แหล่งที่มา

b

$\mathbf{b}$

a \partial^{2} u / \partial x \partial y + b \partial^{2} u / \partial x^{2} = 0)

$a\partial^2 u/\partial x\partial y +b\partial^2 u/\partial x ^2 = 0)$

a, b

$a,b$

— becko

L

$L$

S

$S$

1

ฉันแก้ไขคำถามเล็กน้อยเพื่อให้ชัดเจนขึ้นฉันคิดว่า ฉันไม่ต้องการโพสต์ปัญหาที่แน่นอนฉันพยายามแก้ปัญหาเพราะฉันต้องการเก็บคำถามทั่วไปเท่าที่จะทำได้ ฉันคิดว่าฉันสามารถเข้าใจวิธีการได้ดีขึ้น

— becko

@becko: เราอาจต้องการย้ายสิ่งนี้เพื่อแชทเนื่องจากมันใช้เวลานาน

— ด่าน

2

นี่เป็นวิธีการที่เรียกว่าการรวมตัวกันของพื้นฐานซึ่งไม่ได้กล่าวถึงในเธรดปัจจุบัน ฉันอ้างจากหนังสือของ JP Boyd, "Chebyshev และ Fourier Spectral Methods", 2nd Ed., ตอนที่ 6.5:

$L u = f$ $L u = f$ $B(x)$ $v(x)$ $g(x)$ $u (x) \equiv v (x) + B (x) g (x) \equiv f (x) - L B (x)$ $u(x) ≡ v(x) + B(x)\\ g(x) ≡ f(x) − L B(x)$ $L v = g$ $L v = g$ $v(x)$
$B(x)$

คำอธิบายของฉันมาเอง:

$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = 1.$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 1.$
$B(x)$
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = 0.$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 0.$
$u (x, y) = \sum_{i j} a_{i j} ϕ_{i} (x) φ_{j} (y)$ $u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ $\partial_{x} u (x, y) = \sum_{i j} a_{i j} ϕ_{i}^{'} (x) φ_{j} (y)$ $\partial_x u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi^\prime_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ $x=x_0$
$\phi_i(x)$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 0$ $i$
$=1$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 1$
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = \sum_{i j} a_{i j} φ_{j} (y)$ $\partial_x u(x,y)|_{x=x_0} \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \varphi_{j}(y)\,$ $1$ $y$ $a_{ij}$

สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการทั้งหมดนี้คือมันทำงานในระดับที่ค่อนข้างเป็นนามธรรม ส่วนผสมที่จำเป็นเป็นเพียงเส้นตรงของผู้ประกอบการ BC และ ansatz ในแง่ของฟังก์ชั่นพื้นฐานของผลิตภัณฑ์ ดังนั้นจึงใช้กับวิธีการโดยประมาณ

— davidhigh
แหล่งที่มา