ประสบการณ์หลักของฉันคือโครงสร้างคริสตัลและมีจำนวนจุดสมมาตรที่ปรากฏในผลึก ดังนั้นอัลกอริทึมที่ฉันจะใช้จะแตกต่างจากที่คุณใช้ในโมเลกุลเล็กน้อย แต่ไม่น่าเป็นไปได้ที่จะมีโมเลกุลขนาดใหญ่ที่จะแสดงสมมาตรแบบต่อเนื่องเช่นสมมาตรตามแนวแกนใน Hหรือ COดังนั้นวิธีการจึงควรซ้อนทับกันค่อนข้างดี เมื่อพิจารณาความสมมาตรในระบบจะมีความแตกต่างกันสองประการ แต่เกี่ยวข้องกันซึ่งต้องคำนึงถึง: ท้องถิ่นและทั่วโลก222
สมมาตรท้องถิ่น
Local symmetry คือความสมมาตรของสภาพแวดล้อมท้องถิ่นรอบ ๆ จุดที่กำหนด โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสมมาตรในแต่ละตำแหน่งของอะตอมจะกำหนดแยกอะตอมในท้องถิ่นและในระดับหนึ่งในสภาพแวดล้อมทางเคมีและเป็นกลุ่มย่อยของสมมาตรระดับโลก ตัวอย่างเช่นในเบนซีนเบนซินสมมาตรในท้องถิ่นประกอบด้วยระนาบการสะท้อนสองอันและแกน (หมุนแบบ ) (เห็นได้ชัดว่ามีเพียงสองการดำเนินการที่จำเป็นในการสร้างกลุ่มจุดท้องถิ่นทั้งหมด)180 ∘ค2180∘
จากมุมมองของอัลกอริทึมสิ่งที่เราทำคือการหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดของอะตอมเป้าหมายแล้วแจกแจงทุกวิธีที่เราสามารถหมุนสภาพแวดล้อมนั้นเกี่ยวกับอะตอมกลางและทำให้มันคงเดิม ยิ่งไปกว่านั้นมันเป็นการแก้ปัญหาสำหรับเมทริกซ์มุมฉากทั้งหมดเช่นนั้นA
A ( x⃗ ผม- x⃗ ค) = x⃗ J- x⃗ ค
โดยที่และเป็นตำแหน่งของอะตอมของสายพันธุ์เดียวกันและคือตำแหน่งของส่วนกลางหรือเป้าหมายอะตอม แต่ฉันจะดูรูปแบบที่ง่ายกว่าก่อนเช่นมีระนาบการสะท้อนอยู่ก่อนที่จะพยายามหาโดยทั่วไปหรือไม่ → x j → x cAx⃗ ผมx⃗ Jx⃗ คA
อีกความคิดหนึ่งคือการใช้เมทริกซ์โมเมนตัมเชิงมุมเป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของการหมุน
=ประสบการณ์( ฉันϕ n^⋅ ล⃗ )
โดยที่เป็นหน่วยเวกเตอร์เกี่ยวกับการหมุนของมุมดำเนินการและเป็นเวกเตอร์ของเมทริกซ์โมเมนตัมเชิงมุมสามมิติ จากนั้นก็จะมีเพียง 3 ราชวงศ์ไว →การL =(Lx,LY,LZ)n^∈ R3φL⃗ = ( Lx, Ly, Lz)A
ความสมมาตรระดับโลก
เมื่อความสมมาตรของท้องถิ่นกำหนดสภาพแวดล้อมรอบ ๆ อะตอมเดียวความสมมาตรทั่วโลกจะกำหนดว่าอะตอมจะแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันได้อย่างไร ขั้นตอนแรกในการกำหนดสัดส่วนทั่วโลกคือการกำหนดอะตอมที่เทียบเท่า ก่อนกำหนดประเภทและทิศทางสัมพัทธ์กับเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด (และที่ใกล้ที่สุดที่สองหรือสูงกว่าถ้าต้องการ) อะตอม อะตอมสองตัวนั้นเทียบเท่ากันหากเพื่อนบ้านมีการเตรียมพื้นที่เหมือนกัน นี่คือการคำนวณที่ตรงไปตรงมา
ขั้นตอนที่สองนั้นเหมือนกับคร่าว ๆ ที่พบในกรณีสมมาตรในท้องถิ่นยกเว้นว่าจุดศูนย์กลางมวลของโมเลกุลน่าจะเป็นศูนย์กลางของความสมมาตร เมื่อมาถึงจุดนี้หากมีการกำหนดสัดส่วนท้องถิ่นอาจมีการดำเนินการที่ไม่ซ้ำกันเพียงไม่กี่อย่างเพื่อสร้างกลุ่มทั้งหมด ตัวอย่างเช่นในโครงสร้างผลึก B20แต่ละอะตอมมีสมมาตรในท้องถิ่นและกลุ่มจุดเต็มถูกสร้างขึ้นโดยรวมแกนสกรูหมุน2 เท่า ( ) ซึ่งเปลี่ยนอะตอมหนึ่งเป็นอะตอมอื่น ในน้ำมันเบนซินจำเป็นต้องมีการใช้งานสองอย่าง: การหมุน6 เท่า ( ) ผ่านแกนกลางและระนาบการสะท้อนที่แบ่งพันธะC360 ∘180∘60∘
แก้ไข : สำหรับโครงสร้าง B20 คุณสามารถใช้แกนสองแกนแทนเพื่อสร้างกลุ่มแบบเต็ม สิ่งนี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงวิธีการกำหนดแกนสกรูโดยอัตโนมัติC3
ข้อควรระวัง : ข้อควรระวังในการใช้ความคิดในส่วนสมมาตรท้องถิ่นในส่วนส่วนกลางเพื่อให้การดำเนินการสมมาตรต้องเปลี่ยนสภาพแวดล้อมด้วย ดังนั้นถ้าคุณพบจากด้านบนมันจะให้สมมาตรเท่านั้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอาจไม่เปลี่ยนสภาพแวดล้อมอย่างเหมาะสมและการตรวจสอบเพิ่มเติมนั้นจำเป็น ตัวอย่างเช่นถ้าแหวนเบนซีนมีอะตอมไฮโดรเจนยื่นออกมาจากระนาบของวงแหวนด้านหนึ่งจากนั้นเครื่องบินสะท้อนที่ตัดกับพันธะคาร์บอน - คาร์บอนจะดี แต่การคล้ายกับการเกิดพันธะจะไม่ใช่เพราะ มันจะไม่ทำซ้ำสภาพแวดล้อมท้องถิ่น180 ∘A180∘
แก้ไข - การแปล : มีความซับซ้อนอีกอย่างหนึ่งที่การอภิปรายข้างต้นเกี่ยวกับความสมมาตรในท้องที่นั้นไม่สนใจ: การแปล เป็นทางการการดำเนินการสมมาตรที่ถูกต้องคือ
A(x⃗ i−x⃗ c)+t⃗ =x⃗ j−x⃗ c
โดยที่และข้างต้นและเป็นการแปลโดยพลการ ในผลึก symmorphic→ x k → tAx⃗ kt⃗
t⃗ =n1a⃗ 1+n2a⃗ 2+n3a⃗ 3
โดยที่เป็นการแปลแบบดั้งเดิมและดังนั้นกลุ่มจุดและการแปลจึงแยกกันไม่ออก ในคริสตัลที่ไม่ใช่ symmorphicสามารถประกอบด้วยการแปลที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิม ความแตกต่างระหว่างสองอย่างนี้ก็คือว่าสำหรับผลึก symmorphic สามารถพบศูนย์กลางการหมุนเพียงจุดเดียว แต่สำหรับผลึกที่ไม่ใช่ symmorphic สิ่งนี้ไม่เป็นความจริง ระบบโมเลกุลมีแนวโน้มที่จะเป็น "ไม่ใช่ symmorphic" ในความหมายหลังนี้และต้องการการเพิ่มของการแปลเพื่อให้ตระหนักถึงกลุ่มอย่างเต็มที่ni∈Z → ta⃗ ini∈Zt⃗