ข้อ จำกัด ที่เกี่ยวข้องกับ

16

สมมติ

\begin{aligned} min A & v e c (U) \\ subject to U_{i, j} \leq max {U_{i, k}, U_{k, j}}, i, j, k = 1, \dots, n \end{aligned}

$\begin{align*} \min A &\mathrm{vec}(U) \\ &\text{subject to } U_{i,j} \leq \max\{U_{i,k}, U_{k,j}\}, \quad i,j,k = 1, \ldots, n \end{align*}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์แบบสมมาตรและ reshapes เป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติที่มีรายการ $U$ $n\times n$ $\mathrm{vec}(U)$ $U$ $n^2$

ส่วนหนึ่งของโปรแกรมดังกล่าวข้างต้นที่จะช่วยให้ปัญหาผมเป็น }(การ จำกัด การแก้ปัญหาให้กับเมทริกซ์เชิงลบที่ไม่ใช่เชิงลบน่าจะตรงไปตรงมา) $\max\{⋅,⋅\}$

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือหรือการอ้างอิง!

optimization linear-programming

— N21
แหล่งที่มา

เหตุผลใดที่คุณไม่สามารถเพิ่มข้อ จำกัด ทั้งสองได้

— Aron Ahmadia

1

@AronAhmadia: เขาไม่สามารถเพิ่มทั้งข้อ จำกัด เนื่องจากว่าจะเทียบเท่ากับ

สำหรับทุก

K

ฉันไม่คิดว่าจะมีการปฏิรูป LP ของปัญหานี้ แต่อาจมีการปรับโครงสร้าง MILP แม้ว่าจะมีแนวโน้มที่จะมีราคาแพงกว่าในการแก้ปัญหา

U_{i, j} \leq min {U_{i, k}, U_{k, j}}

$U_{i,j} \leq \min\{U_{i,k}, U_{k,j}\}$

i, j, k

$i, j, k$

— Geoff Oxberry

@ N21: คุณคาดหวังว่า

จะเป็นปัญหาที่คุณต้องการที่จะแก้ไข?

n

$n$

— Geoff Oxberry

@Geoff: ขอบคุณ! ในท้ายที่สุดผมหวังว่าจะมีขนาดใหญ่

แต่ตอนนี้ผมมีความกังวลมากที่สุดที่จะได้รับการแก้ปัญหาเบื้องต้นกับ

น้อยกว่าพูด 100 หรือแม้กระทั่ง 10

n

$n$

n

$n$

— N21

ขอบคุณที่ชี้แจง @GeoffOxberry ฉันไม่ได้คิดอย่างเต็มที่ก่อนที่จะโพสต์

— Aron Ahmadia

14

แก้ไข:ลองคำอธิบายนี้อีกครั้งคราวนี้เมื่อฉันตื่นขึ้น

มีสามประเด็นใหญ่ที่มีการกำหนด (ตามลำดับความรุนแรง):

ไม่มีการปรับรูปแบบที่ชัดเจนของปัญหาที่เห็นได้ชัดว่าเรียบนูนหรือเป็นเส้นตรง
มันไม่เรียบ
มันไม่จำเป็นต้องนูนออกมา

ไม่มีการปรับรูปแบบเชิงเส้นเรียบ / นูน / เชิงเส้นอย่างชัดเจน

ก่อนอื่นไม่มีมาตรฐานการปฏิรูปที่ชัดเจนของข้อ จำกัดแต่ละข้อ ข้อเสนอแนะของ Aron นำไปใช้กับข้อ จำกัดทั่วไปซึ่งข้อ จำกัด เช่นจะถูกแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่เทียบเท่ากันสองข้อต่อไปนี้: $\max$ $\min$

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

U_{i j} \leq U_{i k}, \forall k

$U_{ij} \leq U_{ik}, \quad \forall k$

การเปลี่ยนรูปแบบไม่เหมาะข้อ จำกัดแต่ละ

ถูกแทนที่ด้วยข้อ จำกัด เชิงเส้น

แต่มันแปลงโปรแกรมไม่เชิงเส้นไม่เชิงให้เป็นโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งเป็นคำสั่งของขนาดที่เร็วกว่าในการแก้ปัญหา

U_{i j} \leq U_{k j}, \forall k .

$U_{ij} \leq U_{kj}, \quad \forall k.$

min

$\min$

2 n

$2n$

$\max$ $\max$ $n^2$ $\max$ $2n$

$\max$

Nonsmoothness

$\max$

ความไม่นุ่มนวลเป็นปัญหาใหญ่เพราะ:

มันทำให้ปัญหาของคุณไม่เชิงเส้นทันที
โปรแกรมการเขียนโปรแกรมไม่เชิงเส้นส่วนใหญ่จะทำหน้าที่สองหน้าที่

$\max$

ความไม่เป็นไปได้ที่อาจเกิดขึ้น

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

U_{i j} - max_{k} {U_{i k}, U_{k j}} \leq 0, \forall i, j, k .

$U_{ij} - \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} \leq 0, \quad \forall i,j,k.$

ฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นเว้า

$-U_{ij}$ $\max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

$\mathbf{g}$

ตัวเลือกสำหรับการแก้ปัญหา

$U_{i j} \leq max_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k$ $U_{ij} \leq \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k$ $U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k,$ $U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k,$
ลองเสี่ยงโชคกับสูตรของคุณด้วยโปรแกรมแก้บันเดิลสำหรับโปรแกรมที่ไม่แข็ง ฉันไม่มีประสบการณ์มากนักกับนักแก้ปัญหาประเภทนี้ (เพื่อนร่วมงานของฉันใช้พวกเขาในการวิจัยของเขา) พวกเขาอาจจะช้าเนื่องจากไม่สามารถใช้ข้อมูลอนุพันธ์ได้ (ฉันคิดว่าพวกเขาใช้ข้อมูลการไล่ระดับสีทั่วไปของคลาร์กแทน) ไม่น่าเป็นไปได้ที่คุณจะสามารถแก้ไขกรณีที่มีปัญหาขนาดใหญ่ด้วยเครื่องมือแก้ปัญหากลุ่ม

— Geoff Oxberry
แหล่งที่มา

1

เจฟฟ์สิ่งที่ดี; นี่เป็นประเด็นสำคัญและนำเสนอข้อมูลเชิงลึกและคำแนะนำที่สร้างสรรค์มากมาย ฉันโหวตขึ้น แต่คุณดูเหมือนว่าจะรักษาความไม่ลงรอยกันเป็นสิ่งที่แยกออกจากข้อเท็จจริงที่ว่าในขณะที่คุณพูดว่า "ไม่มีการกำหนดมาตรฐานสูงสุดของข้อ จำกัด สูงสุดในปัญหาการย่อขนาดที่ฉันรู้" แต่ในความเป็นจริงอดีตคือเหตุผลว่าทำไมไม่เป็นไปไม่ได้ ข้อ จำกัด Non-convex ไม่สามารถแสดงในรายการเชิงเส้น --- หยุดเต็ม! นี่เป็นปัญหาที่ไม่นูนและจะต้องมีการจัดรูปแบบใหม่ให้เป็นปัญหาแบบผสมจำนวนเต็มหรือวิธีแก้ปัญหาแบบฮิวริสติกอื่น ๆ

— Michael Grant

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(x) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

1

x \leq max {y, z}

$x \le \max\{y,z\}$

(x, y, z)

$(x,y,z)$

1

max {y, z}

$\max\{y,z\}$

3

$-\infty$

U = (\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{matrix}) .

$U=\left(\begin{matrix} 1&\cdots &1\\ \vdots & & \vdots\\1&\cdots&1\end{matrix}\right).$

A \cdot vec (U)

$A\cdot\mbox{vec}(U)$

U

$U$

t

$t$

\pm U

$\pm U$

min_{V} (A \cdot vec (V)) \leq m i n_{t} (A \cdot vec (t U)) = - \infty

$\min_V(A\cdot\mbox{vec}(V)) \le min_{t}(A\cdot \mbox{vec}(tU))=-\infty$

— Deathbreath
แหล่งที่มา

U

$U$

- \infty

$-\infty$

U

$U$

\leq 0

$\le 0$

2 tr ({\hat{A}}^{*} U) = ‖ \hat{A} - U ‖^{2} - ‖ \hat{A} ‖^{2} - ‖ U ‖^{2}

$2\mbox{tr}(\hat{A}^\ast U)=\|\hat{A}-U\|^2-\|\hat{A}\|^2-\|U\|^2$

2

$f \le \max \{ f_1, f_2,...,f_n \}$ $n$ $b_i \in \{0,1\}$ $1 \le i \le n$ $M$ $f$

$f \le f_i + (1-b_i) M, \forall i$

$\sum_i b_i = 1$

$M := max_i f_i - min_i f_i$ $f_i$

— เควิน
แหล่งที่มา

1

x_{i} <= max (a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$x_i <= \max(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})$

x_{i} <= s_{i}

$x_i <= s_i$

s_{i} >= a_{i 1}

$s_i >= a_{i1}$

s_{i} >= a_{i 2}

$s_i >= a_{i2}$

. . .

$...$

s_{i} >= a_{i n}

$s_i >= a_{in}$

c * max (s_{i} - max (a_{i}), 0)

$c*\max(s_i-\max(a_i), 0)$

s_{i} - max (a_{i})

$s_i-\max(a_i)$

c

$c$

$s_i>=\max(a_i)$ $x_i=s_i$ $s_i-\max(a_i)$ สำหรับปัญหาที่เข้าสู่ภูมิภาคที่เป็นไปไม่ได้)

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

มันเป็นความคิดที่ดี. สมมติว่าหลักฐานของคุณผ่านไปปัญหาก็จะกลายเป็นความไม่เชิงเส้นและความไม่ราบรื่นจากข้อ จำกัด ไปสู่วัตถุประสงค์ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ยังคงมีคุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์ในสูตร

— Geoff Oxberry

a_{i j}

$a_{ij}$

(x_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

(x_{i}, s_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,s_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

1

ฉันหาปุ่มความคิดเห็นไม่พบ ...

$log(x)<5$

หากเป็นชุดนูนคุณสามารถทำการไล่ระดับสีลงบนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของคุณโดยใช้บางอย่างเช่นDykstra's_projection_algorithmเพื่อฉายกลับสู่พื้นที่ จำกัด

— ทิม
แหล่งที่มา

โหวตขึ้นสำหรับความคิดเห็นเกี่ยวกับฟังก์ชั่นเว้า; ฉันควรจะคิดถึงคำอธิบายของฉันมากขึ้น การฉายภาพบนเซตที่เป็นไปได้คือความเป็นไปได้แม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจว่าอยู่ด้านบนสุดของหัวของฉันถ้าคุณสามารถใช้อัลกอริทึมเหล่านั้นกับข้อ จำกัด ที่ไม่แข็งทื่อ

— Geoff Oxberry

x^{2} + y^{2} < 5

$x^2+y^2<5$

"ปัญหา Nonconvex นั้นเป็นปัญหาแบบ NP-hard หากพวกมันมีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จำนวนมาก" NP ย่อมาจาก "พหุนาม nondeterministic" ฉันหลงทางอย่างสิ้นเชิงกับสิ่งที่คุณพูดถึง ประการที่สองฉันพูดถึงความเว้าเนื่องจากฟังก์ชันเชิงเส้นคือเว้าและนูน ฟังก์ชั่นไม่ได้นูน เพียงเพราะฟังก์ชั่นนั้นเป็นแบบไม่เรียบและเป็นเส้นตรงแบบชิ้นไม่ได้แยกออกจากความเป็นไปได้ที่มีการเปลี่ยนรูปแบบ LP

— Geoff Oxberry

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

ขออภัยฉันต้องแสดงความคิดเห็นสั้น ๆ ดังนั้นฉันจึงใช้ NP สำหรับแบบไม่มีพหุนามและ P สำหรับพหุนาม ประเด็นก็คือการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่ต้องอาศัยนูนไม่ใช่ปัญหายากเสมอไป มันเป็นแค่ NP-hard ถ้าจำนวนของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้นั้นแย่กว่าพหุนาม ขออภัยในความสับสน :) คุณพูดถูกเกี่ยวกับการปฏิรูปเป็นเชิงเส้น ดูเหมือนว่าคุณจะพูดว่า "ดังนั้นจึงไม่มีวิธีในการปรับโปรแกรมของคุณให้เป็นโปรแกรมเชิงเส้น" เนื่องจากความไม่เป็นนูนฉันแค่สังเกตว่ามันไม่เกี่ยวข้องกับความนูน แต่เป็นเชิงเส้น

— ทิม

0

$-\infty$ $0$

$U \ge 0$ $A$ $n$ $-\infty$ $0$

$a \le b \le c$ $c \le \max(a,b)$ $b=c$ $i,j,k$

$U_{ij} < U_{jk} = U_{ik}$
$U_{ik} < U_{jk} = U_{ij}$
$U_{jk} < U_{ik} = U_{ij}$
$U_{ij} = U_{jk} = U_{ik}$

$t$ $G(t)$ $U_{ij}=t$ $U_{ij}=U_{j k}=t$ $\ell$ $U_{j \ell}=t$ $U_{i\ell}=U_{k\ell}=t$ $G(t)$

— PS
แหล่งที่มา