การเขียนโปรแกรมเชิงเรขาคณิตต่างจากการตั้งโปรแกรมนูนอย่างไร

การเขียนโปรแกรมเชิงเรขาคณิต (ทั่วไป) แตกต่างจากการเขียนโปรแกรมนูนทั่วไปอย่างไร

โปรแกรมเรขาคณิตสามารถแปลงเป็นโปรแกรมนูนและโดยทั่วไปแล้วจะได้รับการแก้ไขโดยวิธีการจุดภายใน แต่อะไรคือข้อได้เปรียบเหนือการกำหนดปัญหาโดยตรงในฐานะโปรแกรมนูนและแก้ปัญหาด้วยวิธีการจุดภายใน?

คลาสของโปรแกรมทางเรขาคณิตประกอบด้วยเซตย่อยของคลาสของโปรแกรมนูนที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยวิธีการจุดภายในหรือไม่? หรือเป็นข้อได้เปรียบง่ายๆที่โปรแกรมเรขาคณิตทั่วไปสามารถระบุได้ง่ายในรูปแบบที่คอมพิวเตอร์อ่านได้

ในทางกลับกันมีโปรแกรมนูนที่ไม่สามารถประมาณค่าได้ดีโดยโปรแกรมเรขาคณิตหรือไม่?

ฉันไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเชิงเรขาคณิตจนกระทั่งคำถามนี้ นี่คือรายงานการตรวจสอบของ Stephen Boyd, et al (Vandenberghe เป็นผู้เขียนร่วมด้วย) ซึ่งเป็นการสอนเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเชิงเรขาคณิต

โปรแกรมทางเรขาคณิตตามที่แสดงไว้ในตอนแรกไม่ใช่แบบนูน ยกตัวอย่างเช่นเป็นคำสั่งบวกและไม่ใช่นูนดังนั้นโปรแกรมเชิงเรขาคณิตจึงไม่ใช่เซตย่อยที่เข้มงวดของการเขียนโปรแกรมนูน$x^{1/2}$

ข้อดีของการแปลงโปรแกรมเรขาคณิตเป็นโปรแกรมนูนคือโปรแกรมเรขาคณิตดั้งเดิมไม่จำเป็นต้องนูน หากคุณแก้ไขโปรแกรมเรขาคณิตเป็นโปรแกรมที่ไม่เชิงเส้น (NLP) คุณจะต้องใช้วิธีการจากการปรับให้เหมาะสมแบบไม่ต้องนูนเพื่อรับประกันโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดระดับโลก วิธีการเหล่านี้มีราคาแพงกว่าวิธีการปรับให้เหมาะสมที่สุดต้องใช้การปรับอัลกอริทึมมากขึ้นและต้องมีการคาดเดาเริ่มต้น

ยิ่งกว่านั้นหากคุณใช้อัลกอริทึมจาก NLP ที่ไม่นูนคุณจะต้องระบุชุดที่เป็นไปได้ของคุณเป็นชุดคอมแพ็คใน ; ในโปรแกรมรูปทรงเรขาคณิตเป็นข้อ จำกัด ที่ถูกต้อง$\mathbb{R}^{n}$$x > 0$

ไม่ชัดเจนว่าชุดของโปรแกรมทางเรขาคณิตแมป (ผ่านการแปลงเลขชี้กำลังเป็นเลขชี้กำลัง) ไปยังชุดของโปรแกรมนูนที่แก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยเฉพาะ ฉันไม่เห็นข้อได้เปรียบใด ๆ ในการเขียนโปรแกรมเชิงเรขาคณิตนอกเหนือจากการแปลงเป็นโปรแกรมนูน

สำหรับคำถามสุดท้ายของคุณฉันไม่คิดว่าชุดโปรแกรมทางเรขาคณิตนั้นเป็นแบบ isomorphic กับชุดโปรแกรมนูนดังนั้นฉันสงสัยว่ามีโปรแกรมนูนที่ไม่สามารถแสดงเป็นโปรแกรมเรขาคณิตและโปรแกรมเหล่านี้ฉันสงสัยว่ามี เป็นบางอย่างที่ไม่สามารถประมาณได้ดีพอสมควรโดยโปรแกรมทางเรขาคณิต อย่างไรก็ตามฉันไม่มีหลักฐานหรือตัวอย่าง

การโปรแกรมเชิงเรขาคณิตสามารถแปลงเป็นคลาสของโปรแกรมนูนซึ่งเป็นเซตย่อยที่เข้มงวดของชุดของโปรแกรมนูนทั้งหมด อย่างไรก็ตามโปรแกรมโดยพลการไม่สามารถแสดงเป็นโปรแกรมทางเรขาคณิต ข้อ จำกัด ในการโปรแกรมเชิงเรขาคณิตถูก จำกัด ให้อยู่ในรูปแบบโดยที่คือตำแหน่ง (ซึ่งคือพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นบวก) Posynomials ถูกปิดภายใต้การเพิ่มการคูณและการปรับสเกลเชิงบวก ตอนนี้ถ้าคุณพิจารณาข้อ จำกัด$f(x) \leq 1$$f(x)$$-x-y \leq 1$$-x-y$$-x^2-y^2\leq 1$