ตัวแก้แบบเส้นวนซ้ำแบบใดมารวมกันสำหรับเมทริกซ์ semidefinite บวก?

ฉันต้องการทราบว่านักแก้ปัญหาเชิงเส้นคลาสสิกประเภทใด (เช่น Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) รับประกันว่าจะมาบรรจบกันสำหรับปัญหาโดยที่คือกึ่งแน่นอนที่เป็นบวกและแน่นอน $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

(ประกาศเป็นแบบกึ่งแน่นอนและไม่แน่นอน) $A$

— olamundo
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงเมทริกซ์กึ่งแน่นอนที่เป็นบวกหรือไม่?

— meawoppl

การใช้การแก้ระบบเชิงเส้นกับเมทริกซ์นั้นคืออะไร? ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดถ้าเมทริกซ์ semidefinite เชิงบวกของคุณไม่ใช่เอกพจน์แล้วมันก็เป็นค่าบวกแน่นอน

— faleichik

ใช่ฉันแน่ใจ. ฉันต้องรีเฟรชหน่วยความจำของฉันสำหรับหลักฐานจริง แต่ตามสิ่งที่คุณพูด - ถ้าตัวหารในการคำนวณเป็นศูนย์ก็หมายความว่าเป็นศูนย์ซึ่งหมายความว่า "ทิศทางการค้นหา" ทั้งหมดที่ A ไม่ใช่เอกพจน์หมดแล้วและสิ่งที่เหลืออยู่คุณไม่เหลืออยู่ในช่วง A (และนี่คือทางออกที่ "ดีที่สุด") ในกรณีที่ในความเป็นจริงสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นเนื่องจากส่วนที่เหลือจะถึงศูนย์ก่อนเป็นครั้งแรก

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

ชุด b จากนั้น(A) CG จะรวมกันเนื่องจากสำหรับทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณไม่เคยออกจากที่เป็นบวกแน่นอน

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Deathbreath

@faleichik: เมทริกซ์ความหนาแน่นลดลงในกลศาสตร์ควอนตัมเป็นกึ่งแน่นอนในเชิงบวกในหลายกรณี

— Deathbreath

คำตอบ:

อัลกอริทึมการไล่ระดับสีคอนจูเกตทำงานสำหรับปัญหา semidefinite และสร้างวิธีแก้ปัญหานอร์มที่สุด

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

ขอบคุณ ความคิดใด ๆ เกี่ยวกับนักแก้ปัญหา "โบราณ" เช่น SOR Gauss-Seidel ฯลฯ

— olamundo

พวกเขาแทบจะไม่เคยใช้อีกต่อไปแล้วและฉันไม่รู้ว่าสิ่งเหล่านี้จะทำงานอย่างไร

— Arnold Neumaier

เพื่อชี้แจง: CG แน่นอนที่สุดไม่ได้ทำงานในรูปแบบวานิลลาสำหรับเมทริกซ์กึ่งแน่นอน มันอาจทำงานได้ในทางทฤษฎีถ้า B อยู่ในรูปของ A; แต่สิ่งนี้ไม่น่าจะจบลงได้ดีในการคำนวณเชิงตัวเลข MINRES ที่ใช้ Krylov ที่คล้ายกันมากเป็นตัวเลือกที่ดีกว่ามากที่นี่ นอกจากนี้ตัวแก้ "โบราณ" เหล่านี้ถูกใช้อย่างกว้างขวางในตัวแก้แบบหลายตอนเพื่อตั้งชื่อตัวอย่างหนึ่ง

— Eelco Hoogendoorn

นี่คือหลักฐานที่ Gauss-Seidel เหมาะกับความต้องการของคุณได้รับว่าอยู่ในภาพของ $b$ $A$

สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงอย่างเดียวกับ Jacobi ซึ่งเป็นความอัปยศตั้งแต่ผู้ที่ต้องการรบกวน Gauss-Seidel กับฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ที่ทันสมัย หากปัญหาของคุณสามารถแบ่งออกเป็นบล็อกแนวทแยงมุมคุณอยู่ในโชค คุณสามารถใช้ Jacobi อัพเดทกับบล็อกเหล่านั้นในแบบ Gauss-Seidel ที่เพิ่มขึ้นและรับประโยชน์ที่ดีที่สุดของทั้งคู่สำหรับปัญหากึ่งแน่นอนเหล่านี้

— Eelco Hoogendoorn
แหล่งที่มา