การคำนวณพหุนามลักษณะของเมทริกซ์กระจัดกระจายจริง

รับเมทริกซ์กระจัดกระจายทั่วไป $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ด้วยm << n (การแก้ไข:$m \ll n^2$) องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ (โดยทั่วไป $m \in {\cal O}(n)$) $A$ เป็นเรื่องทั่วไปในแง่ที่ว่ามันไม่มีคุณสมบัติที่เฉพาะเจาะจง (เช่นความชัดเจนเชิงบวก) และไม่มีโครงสร้าง (เช่นความเป็นแถบสี)

อะไรคือวิธีการเชิงตัวเลขที่ดีในการคำนวณทั้งพหุนามลักษณะหรือพหุนามน้อยที่สุดของ$A$?

ถ้า $O(n^3)$ความซับซ้อนไม่ได้เป็นตัวหยุดแล้วคุณอาจต้องการดูวิธี Danilevskii เป็นที่รู้จักกันดีในวรรณคดีรัสเซียเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข แต่มีข้อมูลไม่มากนักในภาษาอังกฤษ คุณสามารถเริ่มต้นจากลิงค์นี้

แนวคิดนี้ค่อนข้างตรงไปตรงมา: เมทริกซ์จะค่อยๆลดลงเป็นรูปแบบปกติของ Frobeniusโดยการแปลงความคล้ายคลึงกันของ "Gaussian elimination-like" หากคุณไม่พบข้อมูลฉันสามารถทำให้อัลกอริทึมซับซ้อนยิ่งขึ้น

คุณสามารถใช้วิธีตัวเลขเช่น QR Factorization หรือ Power Method และ realtives (inverse power เป็นต้น) เพื่อคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ทั่วไปของคุณ หลังจากนั้นคุณสามารถคำนวณพหุนามลักษณะของคุณโดยแยกตัวประกอบเป็น: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 โดยที่λiเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่คำนวณ นี่คือการนำเสนอสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีการใช้พลังงานและ QR:

QR-Power

โดยวิธีการ: คุณต้องการที่จะบอกว่าคุณมี $m \ll O(n^2)$รายการ? ถ้าแน่นอน $m \ll O(n)$ ดังนั้นส่วนใหญ่ของแถวและคอลัมน์จะว่างเปล่าอย่างสมบูรณ์และเป็นไปได้ว่าพหุนามลักษณะในความเป็นจริงไม่ใช่ระดับ $n$ แต่ระดับ $O(m)$.