ทำให้งงพูดเกี่ยวกับภูมิภาคความมั่นคงของวิธี Runge-Kutta ลำดับที่ห้า

ฉันเจอข้อความที่น่าสงสัยในกระดาษ

PJ van der Houwen การพัฒนาวิธี Runge-Kutta สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน, Appl Num คณิตศาสตร์. 20: 261, 1996

บนบรรทัด 8ff ในหน้า 264, van der Houwen เขียน:

"สำหรับพหุนามเทย์เลอร์นี่ก็หมายความว่าช่วงเวลาความมั่นคงในจินตนาการว่างเปล่าสำหรับ "$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

โดยที่พหุนามเทย์เลอร์อ้างถึงพหุนามความเสถียร (การขยายส่วนปลายของประมาณ ) ของวิธี Runge-Kutta และ p คือลำดับ (ดูหน้า 263) ฉันคิดว่าฉันเข้าใจผิดบางอย่างเพราะวิธี Runge-Kutta ลำดับที่ห้าไม่มีช่วงเวลาของเสถียรภาพในจินตนาการที่ว่างเปล่าเท่าที่ฉันรู้ จากสิ่งที่ฉันจำได้ขีด จำกัด จินตภาพนั้นประมาณ 3.4 หรือมากกว่านั้น$\exp(x)$$x=0$

ความเข้าใจผิดของฉันคืออะไร

คำสั่งของ van der Houwen ถูกต้อง แต่ไม่ได้เป็นคำสั่งเกี่ยวกับวิธี Runge-Kutta ลำดับที่ห้าทั้งหมด "ชื่อพหุนามเทย์เลอร์" เขาหมายถึงคือ (ตามที่คุณดูเหมือนจะรู้) เพียงชื่อพหุนามของระดับที่ประมาณเพื่อสั่ง :$p$$\exp(z)$$p$

สำหรับพหุนามลำดับที่ห้าปรากฎว่า$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

$P_5(z)$

$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

ในที่สุดมันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำผิดพลาดเมื่อกำหนดขอบเขตของช่วงความมั่นคงในจินตนาการสำหรับวิธี Runge-Kutta ที่มีลำดับสูง นั่นเป็นเพราะขอบเขตของขอบเขตความมั่นคงสำหรับวิธีการดังกล่าวอยู่ใกล้กับแกนจินตภาพอย่างยิ่ง ดังนั้นข้อผิดพลาดของ roundoff สามารถนำไปสู่ข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง ควรใช้การคำนวณที่แน่นอนเท่านั้น (แน่นอนความเกี่ยวข้องของขอบเขตภูมิภาคเสถียรภาพสำหรับการใช้งานจริงภายใต้สถานการณ์เหล่านี้อาจถูกถกเถียงกันอย่างแน่นอน)

ตัวอย่างเช่นนี่คือพล็อตของขอบเขตความมั่นคงของวิธีการลำดับที่ห้าจากคู่ Fehlberg 5 (4):

ช่วงเวลาของเสถียรภาพในจินตนาการนั้นว่างเปล่า แต่คุณไม่สามารถบอกได้จากภาพที่ความละเอียดนี้! โปรดทราบว่าภูมิภาคนั้นมีส่วนของแกนจินตภาพอย่างชัดเจน แต่ไม่มีช่วงเวลาเกี่ยวกับจุดกำเนิด

ในขณะนี้นี่คือพล็อตสำหรับวิธีการเรียงลำดับที่ห้าจากคู่ Dormand-Prince 5 (4):

$[-1,1]$

$P_p(z)$

คุณอาจสนใจแพ็คเกจ NodePyซึ่งสร้างแผนการด้านบนและสามารถใช้ในการกำหนดสิ่งต่าง ๆ เช่นช่วงความเสถียรของจินตภาพของวิธีอย่างแม่นยำ (ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: ฉันสร้าง NodePy)