การประเมินอินทิกรัลแบบแกว่งด้วยช่วงเวลาอิสระจำนวนมากและไม่มีรูปแบบปิด

วิธีการส่วนใหญ่สำหรับอินทิกรัลสโคปที่ฉันรู้เกี่ยวกับการจัดการอินทิกรัลของแบบฟอร์ม

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$ ที่ไหน

ω

$\omega$ มีขนาดใหญ่

ถ้าฉันมีอินทิกรัลของแบบฟอร์ม

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$ ที่ไหน

g_{k}

$g_k$ ฟังก์ชั่นการแกว่งซึ่งมีรากเป็นที่รู้จักกันเพียงประมาณ แต่รูปแบบของซีมโทติคบางชนิด

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$ เป็นที่รู้จักกับความถี่

ω_{k}

$\omega_k$ แตกต่างกันทั้งหมด (และ

Q

$\mathbb{Q}$ - อิสระอย่างแน่วแน่) แล้วฉันจะประเมินอินทิกรัลนี้ได้อย่างไร?

ไม่เหมือนในกรณีของ $e^{i\omega x}$ ปริพันธ์พหุนาม $\int x^a \prod g_k(x)$ ไม่เป็นที่รู้จักดังนั้นฉันจึงไม่สามารถสร้างชุดของพหุนามพหุนามสำหรับ $f(x)$ และรวม interpolants อย่างแน่นอน

ในปัญหาที่แน่นอนของฉัน $g_k$ ฟังก์ชัน Bessel $J_0(\omega_k x)$ และ $f(x)=x^\alpha$ และภูมิภาคของการรวมกลุ่มคือ $[0,\infty)$ . วิธีที่ฉันใช้อยู่ตอนนี้คือการสรุปการมีส่วนร่วมในช่วงเวลา $[x_{k-1},x_k]$ ระหว่างรากถึงการตัดยอด $M$ จากนั้นใช้ส่วนขยาย asymptotic สำหรับ $g_k(x)$ สำหรับขนาดใหญ่ $x$ . ความซับซ้อนของเวลาของอัลกอริทึมนี้มีความซับซ้อน $n$ เพราะมันเกี่ยวข้องกับการขยายผลิตภัณฑ์ $g_1\ldots g_n$ ซึ่งแต่ละอันมีจำนวน $r$ ของข้อตกลงเชิงเส้นกำกับ, การให้ $r^n$ เงื่อนไขทั้งหมด; การตัดคำที่มีขนาดเล็กเกินไปจะไม่ลดเวลาในการรันเพื่อให้เป็นไปได้สำหรับเรื่องใหญ่ $n$ .

คำตอบข้อเสนอแนะและการอ้างอิงที่ไม่ใช้ความรุนแรงนั้นยินดีต้อนรับทุกคน

quadrature

— คิริลล์
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ฉันทำงานกับอินทิกรัลที่ง่ายกว่าซึ่งมีจุดต่าง ๆ ที่อยู่กับที่ ฉันพบสองวิธีที่ใช้งานได้ค่อนข้างดี

หนึ่งคือการแนะนำปัจจัยการทำให้หมาด ๆ ชี้แจงที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นเฟสชนิดของความหนืดประดิษฐ์ถ้าคุณต้องการ

เทคนิคอื่น (ซึ่งมีหลายจุดของช่วงสถิติ) ถูกอธิบายใน:

Tuck, EO, Collins, JL และ Wells, WH, "บนคลื่นเรือและสเปกตรัมของพวกเขา", วารสารวิจัยเรือ, หน้า 11–21, 1971

วิธีการนั้นใช้ปัจจัยการสลายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียลกับอินทิกแรนด์ จุดเฟส แต่ปล่อยให้ integrand ยังคงอยู่ในตำแหน่งที่ไม่อยู่

นั่นคือฉันออกจากความคิด!

— Lysistrata
แหล่งที่มา

ขอบคุณ แต่ฉันไม่ค่อยเห็นว่ามันจะทำงานอย่างไรในกรณีนี้ สำหรับสิ่งหนึ่งไม่มีจุดของระยะที่นิ่งอยู่บนเส้นจริงและการมีส่วนร่วมจากการแกว่งมีความสำคัญกับค่าสุดท้ายดังนั้นจะต้องไม่ถูกทำให้ชื้น

— คิริลล์

ตราบใดที่คุณมีค่าที่ถูกต้องสำหรับราก (หรือ extrema) ของส่วนที่แกว่งของ integrand ของคุณวิธีการของ Longman (ดังที่ฉันอธิบายไว้ในคำตอบนี้ ) ยังคงใช้ได้ สิ่งที่คุณต้องทำคือการประเมินกลุ่มอินทิกรัลโดยใช้ช่วงระหว่างรูตโดยใช้วิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่คุณชื่นชอบ จากนั้นคุณสามารถใช้วิธีการเร่งความเร็วแบบคอนเวอร์เจนซ์ (Euler, Levin, Weniger และอื่น ๆ ) จำนวนเท่าใดก็ได้เพื่อ "สรุป" ชุดสลับนี้

ยกตัวอย่างเช่นในคำตอบทางคณิตศาสตร์คำตอบนี้ฉันได้ประเมินอินทิกรัลไม่สิ้นสุดซึ่งส่วนที่แกว่งเป็นผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน Bessel สองฟังก์ชัน

— JM
แหล่งที่มา

มันจะไม่สำคัญหรือไม่ที่รากจะเว้นระยะห่างกันไม่สม่ำเสมอ (ทุกช่วงนั้นไม่มีเหตุผลและเป็นอิสระ) ทำไมคุณถึงเชื่อถือการเร่งความเร็วแบบลู่เข้าสำหรับลำดับที่ผิดปกติเช่นนี้?

— คิริลล์

เมื่อไม่นานมานี้ฉันต้องการประเมินอินทิกรัลเป็นพันหลักและถ้าฉันจำได้ว่าการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกต้องนั้นเป็นสิ่งแรกที่ฉันลอง ฉันจำผลลัพธ์ไม่ได้ แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะทำงานได้ดีในเวลานั้น

— คิริลล์

"ทำไมคุณถึงเชื่อว่าการเร่งความเร็วแบบลู่เข้าสำหรับลำดับที่ผิดปกติเช่นนี้" - ฉันจะไม่ไว้ใจคันเร่งเพียงอันเดียว แต่ถ้ามีอย่างน้อยสามตัวเร่งที่แตกต่างกันให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันฉันคิดว่าตัวเลขที่ฉันได้มานั้นน่าเชื่อถืออย่างน้อย FWIW ฉันใช้ Longman สำหรับการผสานรวมที่ไม่สิ้นสุดของฟังก์ชัน Bessel และฉันไม่เคยผิดหวังโดยเฉพาะเมื่อใช้การแปลงของ Weniger เป็นตัวเร่งความเร็ว

— JM

วิธีที่ฉันอธิบายในคำถามนี้ยังเป็นวิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส oscillatory: ขยาย integrand ในชุดของเงื่อนไขของแบบฟอร์ม

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$ อินทิกรัลไม่สิ้นสุดที่มีรูปแบบปิด ฉันจะไว้วางใจวิธีดังกล่าวมากกว่าการเร่งความเร็วแบบลู่เข้า ความเข้าใจของฉันคือพวกเขาต้องการบางสิ่งบางอย่างเช่นเสียงโมโนโทนิตี้ที่แข็งแกร่งหรือความเข้าใจที่ดีของเงื่อนไขข้อผิดพลาดเพื่อให้แน่ใจว่าทำงานได้ดี

— คิริลล์

หากคุณสามารถทำการขยายฟูริเยร์ (โดยทั่วไป) ได้แน่นอน

— JM